褚蕾蕾

（西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710049）

0 引言

2020年6月1日，教育部頒發(fā)了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》[1]，提出了課程思政建設(shè)是全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要任務(wù)。高數(shù)教學(xué)實(shí)施“課程思政”是一種新的教學(xué)改革指向，也是借助高數(shù)課程進(jìn)行思政教育的實(shí)踐活動(dòng)，其目標(biāo)是以“立德樹人”為高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的根本任務(wù)。“育人為本、德育為先”，將社會(huì)主義核心價(jià)值觀作為課程教學(xué)指向，在高等數(shù)學(xué)課程思政案例中融入政治認(rèn)同、國家意識(shí)、文化自信和公民人格的思政元素，并在高數(shù)課堂場(chǎng)景中將案例引入教學(xué)實(shí)踐，以建立滲透德智體美勞知識(shí)的教學(xué)體系，培養(yǎng)學(xué)生正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授、方法啟迪、價(jià)值引領(lǐng)與情感關(guān)懷的統(tǒng)一，將“三全育人”落實(shí)到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)課程中。這就要求將課程思政融入課堂教學(xué)建設(shè)的全過程，要讓課程思政內(nèi)容進(jìn)人才培養(yǎng)方案、進(jìn)教學(xué)大綱、進(jìn)教案課件、進(jìn)課堂、進(jìn)考試，貫穿于教學(xué)的各環(huán)節(jié)，逐步提高課程思政內(nèi)涵融入課堂教學(xué)的水平。教師是高數(shù)“課程思政”教學(xué)改革的主體，要以課程思政案例設(shè)計(jì)為抓手，恰當(dāng)處理高等數(shù)學(xué)、思政課程、數(shù)學(xué)文化的關(guān)系，選用、設(shè)計(jì)教學(xué)案例，通過案例實(shí)現(xiàn)課程功能。

近年來，有學(xué)者對(duì)高數(shù)教學(xué)中滲透課程思政元素進(jìn)行討論，如吳慧卓[2]，俞能福[3]等。本文在分析高等數(shù)學(xué)課程存在豐富思政元素的基礎(chǔ)上，提出了課程思政融入教學(xué)的一種設(shè)計(jì)方案，并給出教學(xué)實(shí)踐的調(diào)查。

1 高等數(shù)學(xué)課程中存在豐富的思政元素

在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，挖掘其思政元素，有如下六大方面可作為思政案例設(shè)計(jì)的參考。

1.1 微積分課程教學(xué)是我國建設(shè)工業(yè)強(qiáng)國的國家意識(shí)的體現(xiàn)

1671—1684年，牛頓和萊布尼茨分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)與幾何學(xué)中直觀的無窮小量出發(fā)建立了微積分。隨后，1764—1782年，英國的詹姆斯·瓦特在格拉斯哥大學(xué)發(fā)明并改進(jìn)了蒸汽機(jī)。人類從此進(jìn)入了工業(yè)化時(shí)代，微積分學(xué)伴隨工業(yè)化的發(fā)展而發(fā)展。到20世紀(jì)50年代，微積分也是我國工業(yè)化的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，全國理工科專業(yè)均開設(shè)高等數(shù)學(xué)的相關(guān)課程，體現(xiàn)了我國工業(yè)化的國家意識(shí)和對(duì)我國發(fā)展戰(zhàn)略的認(rèn)同。今天，它仍然服務(wù)于我國的現(xiàn)代化建設(shè)，并增添了新的廣度和深度，這是開設(shè)與學(xué)習(xí)該課程的目的。

1.2 高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)是認(rèn)識(shí)論問題

首先微積分的研究對(duì)象是實(shí)數(shù)域上連續(xù)函數(shù)的分析性質(zhì)，是人們認(rèn)識(shí)物質(zhì)世界中一些具體事物的抽象，這種抽象概念是人的大腦心智活動(dòng)，而不是既獨(dú)立于客觀世界又獨(dú)立于人類思想而存的一個(gè)實(shí)在，所以，討論微積分中的概念、理論和方法是一個(gè)認(rèn)識(shí)論問題。其二，微積分學(xué)的發(fā)展是一個(gè)由經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)上升到理論知識(shí)的過程，有一個(gè)由觀察、歸納、算法到理論分析的過程，其過程不是從公理出發(fā)經(jīng)邏輯推理而得，也就是說微積分是應(yīng)用數(shù)學(xué)而不是純數(shù)學(xué)，盡管公理化方法在描述數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用。其三，既然這是一個(gè)應(yīng)用型的認(rèn)識(shí)論問題，它的源泉就只能是實(shí)際問題、實(shí)踐問題。其四，檢驗(yàn)微積分真理性的唯一標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐，作為一門數(shù)學(xué)理論，對(duì)它的真理性檢驗(yàn)包括邏輯驗(yàn)證、理論檢驗(yàn)和應(yīng)用驗(yàn)證等三個(gè)方面。實(shí)踐是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的源泉與數(shù)學(xué)真理性的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。

1.3 微積分的基本特征是對(duì)立的統(tǒng)一

例如有許多重要的對(duì)立概念，如極限的存在性與不存在性，函數(shù)的連續(xù)性與不連續(xù)性，可微與不可微，可積與不可積，二重極限的可交換與不可交換等，其中最基本的是有窮與無窮的對(duì)立，在無窮的概念中有潛無窮與實(shí)無窮的觀點(diǎn)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、無窮小量的提出和實(shí)無窮集合論的提出，引起了數(shù)學(xué)的三次危機(jī)，也使其在對(duì)立中得以發(fā)展，有的還產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)分支。

1.4 數(shù)學(xué)的無窮觀與無窮小量的存在性

在現(xiàn)代科學(xué)的描述中，人類所認(rèn)識(shí)的宇宙是普朗克尺度（大約10-35米，10-44秒）上的有限宇宙，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)又描繪了一個(gè)與有限物質(zhì)宇宙完全不同的、無窮的數(shù)學(xué)世界。極少的數(shù)學(xué)家采取有窮主義的立場(chǎng)，而大多數(shù)則認(rèn)為自然數(shù)是可以構(gòu)造出來的，且可以一直作下去，這就是潛無窮的觀點(diǎn)?！?語言采用潛無窮的觀點(diǎn)避開無窮小量的術(shù)語建立了精確的極限表述。完備實(shí)數(shù)系建立在集合論的基礎(chǔ)上，是采用實(shí)無窮的觀點(diǎn)。這就產(chǎn)生了直覺主義學(xué)派與形式主義學(xué)派的分野。直到1960年前后，魯賓遜建立非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)域才解決了無窮小量的存在性問題，使其在哲學(xué)本體論的爭(zhēng)論上解決了貝克萊的詰難。高等數(shù)學(xué)滲透了數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本問題。

1.5 數(shù)學(xué)的文化藝術(shù)特征

1872年由德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯構(gòu)造的處處連續(xù)卻處處不可微函數(shù)，是分析中的重要反例，也是高等數(shù)學(xué)并不特別關(guān)注的“病態(tài)”函數(shù)。但是，這些反例卻成了分形幾何思想的源泉，后者提供了數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)藝術(shù)的分形圖形。它們反映出與數(shù)學(xué)和諧美的另一個(gè)奇異性的美感。前者如歐幾里得規(guī)矩美的和諧，后者如曼德勃羅特分形美的熱情奔放。分形就是從奇異中誕生的新穎，這是提升學(xué)生文化素養(yǎng)的優(yōu)良素材。

1.6 數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神和優(yōu)秀品格

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，有許多數(shù)學(xué)家表現(xiàn)出可貴的創(chuàng)新精神、科學(xué)素養(yǎng)與優(yōu)秀的品格，他們積極進(jìn)取、鍥而不舍的治學(xué)精神，獨(dú)立思考、富于創(chuàng)見的治學(xué)態(tài)度，值得我們學(xué)習(xí)。他們崇高的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)，鼓舞和激勵(lì)著學(xué)生們奮勇前行。

2 高數(shù)課程思政的實(shí)踐探索

2.1 高數(shù)課程思政的案例設(shè)計(jì)

在高等數(shù)學(xué)思政案例設(shè)計(jì)中應(yīng)秉承如下原則。首先要服務(wù)于高數(shù)課程思政的總?cè)蝿?wù)，體現(xiàn)“品行養(yǎng)成、知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)、思維創(chuàng)新”四位一體的人才培養(yǎng)理念。其二挖掘高數(shù)課程的思政元素，使高等數(shù)學(xué)與思想政治理論課同向同行。其三要注重高等數(shù)學(xué)“工具性、知識(shí)性、科學(xué)性、思想性、素養(yǎng)性、文化性”的基本要求，體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)基本的思想方法。其四要選取學(xué)生易懂、教師熟悉、便于教學(xué)的案例，要有知識(shí)性、文化性，不生冷硬拗，有大眾化的知識(shí)拓展空間，能引起較為廣泛的興趣或深入的討論，同時(shí)設(shè)計(jì)案例的書寫要規(guī)范，以體現(xiàn)對(duì)案例的理解邏輯。

在案例設(shè)計(jì)中采用的模板，含案例名稱、主題、情景（結(jié)合章節(jié)、學(xué)情分析、教學(xué)安排、教學(xué)方法）、案例描述（基本描述、問題提出、知識(shí)拓展、元素融合）、思政元素及案例反思，后者是教師備課的注記。

2.2 高數(shù)課程思政的教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)六個(gè)高數(shù)思政案例，可制作為課件，穿插講授共四個(gè)課時(shí)，簡(jiǎn)要介紹如下。

案例1：微積分的產(chǎn)生與思維模式。案例情景：緒論。思政元素：微積分產(chǎn)生于人類的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，創(chuàng)新地發(fā)明了一種無窮小分析的思維模式。實(shí)踐是認(rèn)識(shí)的源泉，也是檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)。

案例2：割圓術(shù)與微積分的應(yīng)用模式。案例情景：逼近的概念。思政元素：認(rèn)識(shí)的過程是由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)；《九章算術(shù)》反映了中華文化對(duì)數(shù)學(xué)研究模式的選擇，這種模型化、算法化的方法，也是高等數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的模式。

案例3：無窮小量的存在性與數(shù)學(xué)的無窮觀。案例情景：無窮小量的概念。思政元素：通過無窮小量存在性問題的解決，認(rèn)識(shí)到對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是事物的普遍規(guī)律。在人的成長(zhǎng)過程中不要懼怕矛盾，要敢于斗爭(zhēng)，善于斗爭(zhēng)，要有正確的方法去解決矛盾。

案例4：導(dǎo)數(shù)計(jì)算與數(shù)學(xué)機(jī)械化。案例情景：導(dǎo)數(shù)的符號(hào)計(jì)算。思政元素：通過我國數(shù)學(xué)家吳文俊在中國古代數(shù)學(xué)機(jī)械化與代數(shù)化思想的影響下提出“吳方法”，建立初等幾何證明機(jī)械化完整體系的實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)精神與文化自信。

案例5：維爾斯特拉斯函數(shù)與數(shù)學(xué)的分形藝術(shù)美。案例情景：可微函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。思政元素：數(shù)學(xué)的藝術(shù)美源于數(shù)學(xué)實(shí)踐，其形式美依賴于人類生產(chǎn)力的水平；學(xué)習(xí)科學(xué)家的品格與人文精神。

案例6：定積分概念的導(dǎo)入、微元法與數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論方法。案例情景：定積分的概念和微元法。思政元素：通過定積分概念導(dǎo)入中的“分、均、合、精”方法，以及微元法的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)實(shí)踐對(duì)數(shù)學(xué)方法論的重要性。說明在數(shù)學(xué)方法上存在演繹、歸納和類比等方法。歸納法也是人工智能的一種方法，歸納與直覺是一種創(chuàng)新性思維。

2.3 高數(shù)課程一個(gè)思政案例的簡(jiǎn)要設(shè)計(jì)

下面給出課程思政案例四“導(dǎo)數(shù)計(jì)算與數(shù)學(xué)機(jī)械化”的簡(jiǎn)要設(shè)計(jì)。通過導(dǎo)數(shù)計(jì)算的導(dǎo)引，引入數(shù)學(xué)證明機(jī)械化的工具──符號(hào)計(jì)算軟件。機(jī)器證明又稱自動(dòng)推理，其基本思想是用一個(gè)固定的算法程式去解決一類問題，屬于人工智能的領(lǐng)域。初等幾何的機(jī)械化證明是數(shù)學(xué)證明機(jī)械化的重要例子。1976年底我國數(shù)學(xué)家吳文俊在中國古代數(shù)學(xué)機(jī)械化與代數(shù)化思想的影響下，提出了現(xiàn)稱為“吳方法”的奠基性論文[4]，隨后又建立了一套求解代數(shù)方程組的理論與方法，是求解代數(shù)方程組精確解最完整的方法之一，并實(shí)現(xiàn)于當(dāng)前流行的符號(hào)計(jì)算軟件包中。1983年，吳方法被介紹到世界上，并于1997年獲得Herbrand自動(dòng)推理杰出成就獎(jiǎng)[5]。吳文俊曾獲得2000年首屆國家最高科技獎(jiǎng)、1956年首屆國家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)，體現(xiàn)了崇高的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)。

下面，簡(jiǎn)述吳文俊一個(gè)建立初等幾何證明機(jī)械化的實(shí)例。其要點(diǎn)簡(jiǎn)述如下。

例1用機(jī)械化方法證明“平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”。

Step1將問題表示為代數(shù)式。設(shè)平行四邊形ABCD在平面上的位置如圖1所示。其對(duì)角線 AC與BD相交于Q。設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為：

圖1

A(0，0)，B(p，0)，C(u，v)，D(x，y)，Q(z，w).

將所設(shè)條件用坐標(biāo)的代數(shù)等式來表示。條件DC//AB表示為

條件AD//BC表示為

條件點(diǎn)Q在AC上表示為

條件點(diǎn)Q在BD上表示為

Step2將z、w作為未知量，求解上兩式組成的代數(shù)方程組，得

即證明結(jié)論|AQ|＝|QC|。由此可得

即結(jié)論|BQ|＝|QD|成立，完成該命題的證明。

吳方法給兩千多年的公理化演繹體系帶來了強(qiáng)烈沖擊，到20世紀(jì)80年代，吳文俊不僅建立了數(shù)學(xué)機(jī)械化證明的基礎(chǔ)，而且擴(kuò)張成廣泛的數(shù)學(xué)機(jī)械化綱領(lǐng)，解決了一系列理論及實(shí)際問題。吳文俊積極進(jìn)取、鍥而不舍的治學(xué)精神,獨(dú)立思考,富于創(chuàng)見的治學(xué)態(tài)度，是數(shù)學(xué)工作者的楷模，是中國數(shù)學(xué)界的一面旗幟。

2.4 對(duì)初步實(shí)施高數(shù)課程思政的評(píng)估

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)課程及許多專業(yè)課程的基礎(chǔ)，我校每年有二十多個(gè)班同時(shí)進(jìn)行周期一年的教學(xué)，面寬量大，內(nèi)容繁重，是課程思政的一個(gè)重要戰(zhàn)場(chǎng)。

在今年電類大班的高數(shù)教學(xué)中初步引入思政案例，調(diào)查顯示在學(xué)生普遍感到課業(yè)壓力大的情況下，要?jiǎng)?chuàng)新課堂教學(xué)模式，關(guān)注學(xué)生思想動(dòng)態(tài)。學(xué)生對(duì)課程中增加思政內(nèi)容是抱有積極態(tài)度的，認(rèn)可品德教育融入高數(shù)課程的必要性。將課程思政融入高等數(shù)學(xué)課，寓價(jià)值觀引導(dǎo)于知識(shí)傳授和能力培養(yǎng)之中，起到了幫助學(xué)生塑造正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀的作用，提高了學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問題、分析問題和解決問題的能力。在潛移默化中堅(jiān)定了學(xué)生的理想信念，培養(yǎng)了學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感，激發(fā)了學(xué)生的民族文化自信，科技報(bào)國的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)。從開展課程思政以來，明顯看到班上學(xué)習(xí)風(fēng)氣的改變，擦黑板不用老師催促，上課遲到和打瞌睡的少了，課間打游戲的沒有了，學(xué)生之間談?wù)摰亩鄶?shù)是與學(xué)業(yè)相關(guān)的問題。在和學(xué)生的談話中，感受到滿滿的正能量，并沒有因?yàn)檎n程思政占用了一部分教學(xué)時(shí)間而影響教學(xué)質(zhì)量。師生互動(dòng)增多，學(xué)生的作業(yè)質(zhì)量和答疑狀況比之前都有明顯改善，學(xué)習(xí)成績(jī)也提高了，所以課程思政對(duì)高數(shù)課程的教學(xué)發(fā)揮了良好的促進(jìn)作用。

3 結(jié)語

本文在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，通過思政元素挖掘、案例設(shè)計(jì)、課程設(shè)計(jì)、課件制作等過程進(jìn)行高數(shù)課程思政建設(shè)，既是將課程思政融入高數(shù)教學(xué)的教學(xué)，體現(xiàn)“品行養(yǎng)成、知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)、思維創(chuàng)新”四位一體的人才培養(yǎng)理念，又是教師進(jìn)行課程思政建設(shè)的實(shí)踐性活動(dòng)，有利于促進(jìn)教師專業(yè)的發(fā)展。