陳 亮 蔣洪力

（1.華東師范大學(xué) 地理信息科學(xué)教育部重點實驗室, 上海 200241; 2.華東師范大學(xué) 地理科學(xué)學(xué)院, 上海 200241; 3.自然資源部超大城市自然資源時空大數(shù)據(jù)分析應(yīng)用重點實驗室, 上海 200241; 4.唐山市開灤一中, 河北 唐山 063000）

一、引言

太陽系中的行星按照距離太陽由近到遠(yuǎn)依次是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星。其中金星和水星軌道位于地球軌道內(nèi)側(cè)，稱為地內(nèi)行星。地內(nèi)行星有時是晨星，有時又是昏星；此外，還有上合、下合、東大距、西大距、凌日等星象。這些特殊的星象是由地內(nèi)行星與太陽的會合運(yùn)動造成的。同水星相比，金星距地球更近，體積和質(zhì)量也更大，因此上述星象更為典型。本文以金星為例，對其會合運(yùn)動進(jìn)行深入解讀，通過觀察、分析、模擬、推理和驗證，探究會合運(yùn)動的特征和規(guī)律，將會合運(yùn)動與行星運(yùn)動的本質(zhì)——繞日公轉(zhuǎn)建立聯(lián)系。

二、地內(nèi)行星的會合運(yùn)動

會合運(yùn)動是指在地球上看到的行星和太陽在天球上的相對位置的周期性變化。行星繞日公轉(zhuǎn)的軌道半徑和周期都不相同。從運(yùn)動著的地球上看，太陽和行星都沿黃道（帶）做視運(yùn)動，它們在天球上的位置可以用各自的地心視黃經(jīng)表示，而行星和太陽的相對位置就是它們之間的黃經(jīng)差（即距角）。會合運(yùn)動就是此黃經(jīng)差的周期性變化。

地內(nèi)行星會合運(yùn)動的原理圖如圖1所示，同時考慮了行星和地球的運(yùn)動。如圖所示，地球和地內(nèi)行星都在時刻不停地繞太陽自西向東運(yùn)動，地內(nèi)行星軌道位于地球軌道內(nèi)側(cè)，距太陽更近，公轉(zhuǎn)速度更快。從地球上的觀測者來看，當(dāng)?shù)厍蛟谲壍牢恢?時，地球E、太陽S和地內(nèi)行星P在一條直線上，P在ES連線的延長線上，此時S和P的地心視黃經(jīng)相等（即距角為0°），稱為上合。

圖1 地內(nèi)行星的會合運(yùn)動原理圖[1]

上合后，地內(nèi)行星和地球繼續(xù)以不同的速度繞太陽公轉(zhuǎn)。EP連線為軌道割線，EP連線和ES連線的夾角即為太陽和行星的相對位置，也就是距角。此過程中，從地球角度來看，EP連線向ES連線以左移動，即行星向太陽東方移動，且距角逐漸增大。當(dāng)?shù)厍蜻\(yùn)行到軌道位置2時，EP由割線變?yōu)榍芯€，∠EPS為直角，P是直角頂點。此時距角達(dá)到最大，且行星在太陽東方，稱為東大距。

東大距后，距角逐漸減小，地內(nèi)行星逐漸靠近太陽。當(dāng)?shù)厍蜻\(yùn)行到軌道位置3時，E、P、S又在一條直線上，P和S的黃經(jīng)再次相等。此時P在E和S之間，稱為下合。

下合后，地內(nèi)行星和地球繼續(xù)公轉(zhuǎn)，EP連線和ES連線夾角逐漸增大，即距角逐漸增大，只是此時行星運(yùn)動到了太陽西方。當(dāng)?shù)厍虻竭_(dá)軌道位置4 時，EP再次由割線變?yōu)榍芯€，距角再次達(dá)到最大，稱為西大距。

西大距后，當(dāng)?shù)厍蜻\(yùn)動到軌道位置5時，E、S、P又在一條直線上，P在ES連線的延長線上，P和S地心視黃經(jīng)又相等，再次上合，至此完成一個會合周期。

行星自上合至東大距再到下合，始終位于太陽東方，日落后出現(xiàn)在西方天空，為昏星現(xiàn)象。行星自下合—西大距—上合，始終位于太陽西方，日出前出現(xiàn)于東方天空，為晨星現(xiàn)象。古人稱晨星階段的金星為“啟明”，昏星階段的金星為“長庚”。兩千多年前的《詩經(jīng)·小雅·大東》中的“東有啟明，西有長庚”，描述的就是金星的晨星和昏星現(xiàn)象。

值得指出的是，同為地內(nèi)行星的水星，運(yùn)動規(guī)律與金星相似，同樣有上下合、東西大距和凌日等星象。然而水星的公轉(zhuǎn)軌道在金星內(nèi)側(cè)，軌道半徑更小，公轉(zhuǎn)速度更快，公轉(zhuǎn)周期更短，因此會合周期更短（會合周期的討論見第四節(jié)）。同時由于水星距離太陽更近，大距較?。ㄔ?7°～28°之間），加上它的體積和質(zhì)量都比較小，所以對于它的觀測更加困難。因此本文以金星為例，考察地內(nèi)行星的會合運(yùn)動規(guī)律。

三、金星距角的討論

太陽和行星的黃道坐標(biāo)如圖2所示。如前文所述，對于行星P來說，距角是行星P與太陽S對地球E的張角∠PES。由于行星公轉(zhuǎn)軌道面并不完全和黃道面重合（例如金星軌道面與黃道面成3.4°的交角），因此EP連線并不在黃道面上。從圖2中可以看出，太陽與行星的黃經(jīng)差為∠SET，是用黃道面上的平面角來度量的，而距角∠PES是在平面PES上度量的，二平面空間位置是相交關(guān)系，所以距角∠PES并不一定等于太陽和行星的黃經(jīng)差∠SET。

圖2 行星距角示意圖

以金星為例，已知太陽和金星的視黃經(jīng)（分別為λS和λV）和金星的視黃緯（β），可以在球面直角三角形?PTS中應(yīng)用球面三角形的余弦公式求解距角∠PES。

由上式可知，由于金星視黃緯的存在，距角∠PES并不等價于視黃經(jīng)差∠SET。分情況討論如下。

（1）當(dāng)金星位于黃道面上，即β=0°時，∠PES=λs-λv，即距角等于太陽和金星的視黃經(jīng)差。

（2）當(dāng)β≠0°時。

（a）若太陽和金星的視黃經(jīng)相等，即λS-λV=0°，∠PES=arccos[cos0°·cosβ]=β，即距角等于金星的視黃緯β。例如，當(dāng)λS-λV=0°，β=+0.6°時，∠PES= 0.6°。此時金星和太陽在同一條黃經(jīng)線上，PES面垂直于黃道面。

（b）當(dāng)太陽和金星的視黃經(jīng)不相等，即λS-λV≠0°時，根據(jù)距角公式和反余弦函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，則∠PES＞λs-λv，即距角大于視黃經(jīng)差，即如圖2所示的一般位置關(guān)系。

對于會合運(yùn)動中的特殊位置討論如下。

（1）在上下合日，視黃經(jīng)差λS-λV=0°，為最小值；此時如果金星在軌道最北或最南，即視黃緯的絕對值最大（β=±3.4°）時，∠PES=3.4°，即距角大于視黃經(jīng)差，二者差值達(dá)到3.4°的極大值。

（2）在東西大距，(λS-λV)達(dá)到最大值；此時如果金星位于黃道面上，即β=0°，則∠PES=λS-λV，即距角等于視黃經(jīng)差，兩者差值達(dá)極小值0°。

需要指出的是，金星軌道面和黃道面的交角很小，所以距角與視黃經(jīng)的差值很小，最大也不會超過3.4°。為了研究方便，在一般的討論中，可以忽略這些差值，近似地認(rèn)為太陽和金星的視黃經(jīng)差就是距角的大小。

四、會合周期的討論

1. 短會合周期

會合運(yùn)動是一種周期性的運(yùn)動。地內(nèi)行星連續(xù)兩次上（下）合日的時間間隔，叫做地內(nèi)行星的會合周期。由于合日只要求太陽和行星的視黃經(jīng)相等，在這種相對“寬松”的條件下，會合周期相對較短；而行星和太陽發(fā)生交食（如星凌日和日掩星）則要求二者視黃經(jīng)和視黃緯都相等，因此發(fā)生此種條件“苛刻”的會合需要較長的周期（實際上天球上的金星和太陽都非質(zhì)點而有一定的視半徑，因此嚴(yán)格來說發(fā)生凌日時二者視黃經(jīng)與視黃緯未必相等，但必須相差很小，在凌日限之內(nèi)）。為了將兩種會合周期加以區(qū)分，連續(xù)兩次合日的會合周期稱為短會合周期，而連續(xù)兩次凌日的會合周期稱為長會合周期。

地內(nèi)行星短會合周期S的計算如圖3（a）所示。當(dāng)行星P在位置P1，地球E在位置E1時發(fā)生第一次下合，接著P和E以不同角速度繞太陽S公轉(zhuǎn)，P的角速度大于E，到達(dá)位置2時行星比地球多公轉(zhuǎn)一周，發(fā)生第二次下合。若用P表示行星公轉(zhuǎn)周期，E表示地球公轉(zhuǎn)周期，則易得出表示會合周期S的公式為：1/S=1/P-1/E。

圖3 行星會合周期的計算[2]

上述公式說明地內(nèi)行星相對于太陽的會合速度（1/S），就是其公轉(zhuǎn)角速度（1/P）和地球公轉(zhuǎn)角速度（1/E）之差，如圖3（b）所示。由公式可知，地內(nèi)行星速度越接近地球，會合速度越小，會合周期就越大，反之則會合周期越小。值得注意的是，上述公式只是按照勻速圓周運(yùn)動推導(dǎo)出的會合周期公式，其計算結(jié)果只是平均周期。由于軌道偏心率和攝動的影響，實際會合周期與平均周期有一定的差異。

對于金星來說，P=224.701地球日（以下簡稱“日”），地球公轉(zhuǎn)周期（即恒星年）E=365.256日，代入公式得到會合周期S=583.923日，約為584日。由于584日的會合周期，在一個地球年內(nèi)至少會出現(xiàn)1次合日，有時會出現(xiàn)兩次（一次上合一次下合）；有時會出現(xiàn)一次大距，有時會出現(xiàn)兩次（一次東大距一次西大距），有時一次也不會出現(xiàn)；另外金星最亮的時刻發(fā)生在下合與大距之間，那么一年內(nèi)有時會出現(xiàn)一次最亮的金星，有時會出現(xiàn)兩次，有時一次也不會出現(xiàn)。這些推論為金星的觀測提供了依據(jù)。

2.長會合周期

在一個短會合周期583.923日內(nèi)，地球公轉(zhuǎn)了360°×(583.923/365.256)= 575.52°=360°+215.52°，金星公轉(zhuǎn)了360°×(583.923/224.701)=935.52°=720°+215.52°，也就是說地球和金星都從上一次會合位置沿軌道前進(jìn)了215.52°，即會合位置在軌道上是不斷變化的。由于金星軌道和黃道面有3.4°交角，因此經(jīng)過一個短會合周期，太陽和行星的視黃經(jīng)相等，而視黃緯未必相等，所以金星未必和太陽發(fā)生交食，即凌日。金星凌日只能發(fā)生在軌道升降交點或其附近，所以凌日周期是短會合周期的倍數(shù)，這種周期稱為長會合周期。

可以用有理數(shù)逼近實數(shù)的方法計算較精密的長會合周期。[3]將地球與金星公轉(zhuǎn)周期之比365.2564/224.7010展開成連分?jǐn)?shù)，得：365.2564/224.7010=365 2564/2247010=[1; 1, 1, 1, 2, 29, 1, 1, 3, 2, 13, 1, 1, 10]，其漸進(jìn)分?jǐn)?shù)依次為：1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 382/235,395/243, 777/478, 2726/1677, 6229/3832......

上述漸近分?jǐn)?shù)由左到右逐項更加精密。由第6項漸近分?jǐn)?shù)13/8可知，金星公轉(zhuǎn)13周的時間相當(dāng)于地球公轉(zhuǎn)8周的時間，此即8年的短會合周期。在此期間，地球用時365.256×8=2922.051日，金星用時224.701×13=2921.113日，兩者僅相差0.938日。由第7項漸近分?jǐn)?shù)382/235可知，235年的長會合周期比8年周期精密，兩者用時僅相差0.537日。由第8項漸近分?jǐn)?shù)395/243可知，243年是更精密的會合周期，地球和金星兩者用時僅相差0.410日。依此類推，478年比243年更精密，1677年比478年更精密……即可以用漸進(jìn)分?jǐn)?shù)有理逼近的方法得到越來越精確的會合周期。

利用上述有理逼近的方法可以更準(zhǔn)確地預(yù)知金星大距、合日或凌日、日掩金星的日期和時間。上述漸進(jìn)分?jǐn)?shù)得到的周期中，8年周期時間間隔較短，精度較低；1677年周期精度較高，但間隔過長，更適合大距和合日的精確推算；243年長度比較適中，精度也較高，且與歷史上凌日系列周期的組合較為吻合，穩(wěn)定而實用，推算也比較簡便，因此天文學(xué)上將243年作為金星凌日的長周期。

五、晨星昏星軌跡的模擬與討論

1.晨星昏星軌跡概述

所謂晨星昏星軌跡，指的是每天日出（晨星）或日落（昏星）時，朝東或朝西看到的金星在天空中的位置，在整個晨星或昏星過程中位移形成的軌跡。以晨星為例，其軌跡的天文學(xué)意義是：對于某地的觀測者，某日太陽出地平時，金星在東半天球上的投影位置，如圖4所示，這個投影位置就是金星的地平坐標(biāo)的地平高度和方位角。

圖4 晨星軌跡概念圖

地球繞日公轉(zhuǎn)，每天日出日落的時間和方位都不相同。根據(jù)第三節(jié)中的討論，金星與太陽的距角也是不斷變化的。因此日出或日落時金星的地平坐標(biāo)會逐日變化，晨星昏星也就呈現(xiàn)出比較復(fù)雜的軌跡。以晨星為例，對于某地的觀測者，金星的地平方位與其赤緯、某地的地理緯度以及日距角等因素有關(guān)；金星的高度，則由其周日圈相對于地平圈的傾角（和觀測地緯度有關(guān)）和日出時金星已經(jīng)走過的周日圈弧長（和金星與太陽的黃經(jīng)差有關(guān)）共同決定。因此，晨星昏星的軌跡問題，本質(zhì)上是金星的黃道坐標(biāo)和地平坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換并朝東（西）方投影的幾何問題。

高等教育出版社出版的《地球概論》教科書中插圖3-36如圖5所示，該圖概念性地描繪了啟明星和長庚星的軌跡。在關(guān)于晨星昏星軌跡的討論中此圖被廣泛地引用，但是對于圖中軌跡的代表性卻鮮有討論。例如，圖中所示的晨昏星地平坐標(biāo)系的半橢圓形軌跡是否與實際相符？晨星和昏星在天球上的移動均為逆時針方向是否真實存在？前述金星軌跡是復(fù)雜而多變的，而圖5對之描述卻是簡單而單一的，因此有必要采用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒▽Τ啃腔栊堑能壽E圖進(jìn)行驗證。

圖5 《地球概論》教科書圖3-36[4]

2.一個長會合周期內(nèi)的模擬

根據(jù)第四節(jié)中長會合周期的討論，經(jīng)過一個長會合周期，太陽、地球和金星又回到幾乎完全一樣的相對位置上，即太陽和金星在天球上的位置幾乎沒有變化，因此晨星昏星的軌跡是以長會合周期重復(fù)再現(xiàn)的。受篇幅所限，本文選取較為簡單的8年長會合周期，使用了計算機(jī)模擬軟件Stellarium繪制晨星昏星軌跡圖，模擬從2022年至2030年8年中的5次晨星和5次昏星過程。在實際模擬過程中，為使金星清晰可辨，其距角不能太小，即忽略上下合日前后肉眼看不到金星的時段，故模擬如下5次晨星和5次昏星的時間段。

2022年1月7日至2022年10月14日晨星；

2022年11月12日至2023年8月7日昏星；

2023年8月15日至2024年5月13日晨星；

2024年6月23日至2025年3月10日昏星；

2025年3月17日至2025年12月22日晨星；

2026年1月29日至2026年10月14日昏星；

2026年10月26日至2027年7月23日晨星；

2027年9月1日至2028年5月28日昏星；

2028年6月5日至2029年3月12日晨星；

2029年4月13日至2030年1月3日昏星。

借助Stellarium軟件，在每個模擬日的日出或日落時東地平或西地平天空標(biāo)注金星的位置，每10日標(biāo)注一個點，圓點代表金星在空中的位置，并標(biāo)注了軌跡的方向，以及每個晨星昏星過程首尾（即上合與下合）太陽出沒地平的方位，最終得到8年周期內(nèi)的晨星昏星軌跡，如圖6所示。需要指出的是，經(jīng)過8年周期后，2030年1月開始的晨星軌跡（受篇幅所限此圖略去）與第一個晨星軌跡幾乎完全相同，也充分驗證了金星具有明顯的長會合周期的結(jié)論。

圖6 8年會合周期中的5次晨星（左）和5次昏星（右）的軌跡圖

從圖中可以看出，在一個8年周期內(nèi)，晨星昏星的軌跡呈現(xiàn)出比較復(fù)雜的特征。

（1）軌跡形狀復(fù)雜且不規(guī)則，有重疊和交叉現(xiàn)象，并非理想半橢圓形的一部分。

（2）軌跡方向在不斷變化，并非簡單的逆時針，且不存在同一短會合周期內(nèi)晨星和昏星在地平的軌跡方向同為逆時針的情況。

（3）上合與下合太陽的出沒地平方位是不同的。

（4）大距點高度并不是軌跡的最高點，根據(jù)紫金山天文臺數(shù)據(jù)，在整個模擬過程中出現(xiàn)西大距的日期為2022年3月20日、2023年10月24日、2025年6月1日、2027年1月4日和2028年8月11日，而圖中顯示這些大距點都不是軌跡最高點。[5]

由此可見，圖5表示的并不是實際觀測到的晨星昏星軌跡。晨星昏星軌跡復(fù)雜，是由于會合周期遠(yuǎn)大于地球年，造成會合位置和各星象位置不斷移動以及距角不斷變化，同時再將金星的黃道坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地平坐標(biāo)時，有相對復(fù)雜的幾何投影關(guān)系造成的。為了方便研究和學(xué)習(xí)，需要繪制晨星昏星三維立體模式圖，取大同、去小異，去個性化，保留共性，找出各星象和相位之間的時空聯(lián)系，完整體現(xiàn)整個短會合周期運(yùn)動過程的普遍性規(guī)律和特點，圖5描繪的就是這種三維立體模式圖。

圖5將晨星昏星復(fù)雜的軌跡化繁為簡，進(jìn)行了模式化處理，這種抽象的模式圖可以幫助我們通俗理解晨昏星軌跡這種復(fù)雜現(xiàn)象的形成過程和原理。例如，圖中標(biāo)識了上合（鄰近凸月形的地平位置）、大距（弦月形）、下合（鄰近細(xì)彎月形的地平位置）的位置和相位變化順序以及整個晨星軌跡相對于太陽向西傾斜、昏星軌跡向東傾斜的特點；顯示了各相位的距角變化（軌跡任意點的地心連線與太陽的地心連線的夾角是距角）；也顯示了晨星由下合到西大距的軌跡距離短、用時短（約72日），由西大距到上合軌跡距離長、用時長（約220日），昏星由上合到東大距用時長（約220日）、由東大距到下合用時短（約72日）的特點；并給出了判斷晨昏星的方法，即從上合到下合為昏星，從下合到上合為晨星。

真實的晨星昏星軌跡比較復(fù)雜，方向又多變，因此解讀模式圖時一定要注意區(qū)分模式圖與真實金星軌跡的差異性。

（1）模式圖的逆時針箭頭方向并不是地平坐標(biāo)系上晨昏星的實際移動方向，而是表示隨著時間的推移金星相位發(fā)生變化的方向。

（2）模式圖中半橢圓形軌跡并不是晨昏星真實的軌跡形狀，太陽位置也非上合與下合時太陽的實際出沒地平方位。

（3）根據(jù)天體力學(xué)的計算和紫金山天文臺數(shù)據(jù)，上、下合可能出現(xiàn)在一天中的任何時刻，即未必出現(xiàn)在如圖5所示的太陽正好出沒地平的時刻（實際上其他星象如東、西大距亦如是），只是本文主要討論肉眼可見的晨昏星，因此采用了太陽出沒地平時刻的金星位置進(jìn)行說明。[6]需要指出的是，在白天或黑夜的其他時刻即使金星不可見，其位置和移動軌跡仍然是真實存在的。

3.不同緯度晨星軌跡的模擬

晨星昏星軌跡雖然復(fù)雜，但是也具有一定的規(guī)律性。例如對于不同緯度的觀測者，金星的周日圈和地平圈所成傾角不同，因此日出日落時金星高度也不同。另外太陽出沒地平的方位與太陽赤緯和地理緯度有關(guān)（具體計算公式較為復(fù)雜，此處略去）?；镜囊?guī)律是日出日落方位在中低緯度差別不大而在高緯度差別明顯，那么“伴日左右”的金星出沒地平的方位也會因緯度而不同。為了驗證上述推理，本文選取了0°N，20°N，40°N和60°N這四個緯度進(jìn)行一次晨星過程的模擬。因為緯度高于66.5°N的地區(qū)會出現(xiàn)極晝極夜現(xiàn)象，金星和太陽的周日圈幾乎與地平圈平行，晨星的過程不明顯，故不進(jìn)行模擬。模擬時間段選取2022年1月10日到2022年9月27日這一晨星過程。由于不同緯度金星和太陽的位置關(guān)系會有細(xì)微差別，所以晨星過程首尾會有一兩日的不同。這4個緯度的晨星軌跡對比如圖7所示。

從圖7可以看出，同一晨星或昏星的時段，緯度越高，金星的高度越小，移動范圍越大，因此軌跡也越“扁”且越“寬”。另外由于距角的存在，金星的軌跡范圍比太陽移動的范圍更廣。

圖7 不同緯度晨星軌跡的對比圖

六、結(jié)語

地球上的人類無法感知地球和行星的公轉(zhuǎn)運(yùn)動，人類所能感知的就是行星與太陽的會合運(yùn)動。行星各自以不同軌道速度圍繞太陽公轉(zhuǎn)，運(yùn)動的過程中，太陽、行星及地球三者之間相對位置不斷變化，會合運(yùn)動就是此相對位置的周期性變化在地球上的反映。會合運(yùn)動是表象，而公轉(zhuǎn)運(yùn)動是本質(zhì)。本研究以金星為例，通過觀察、分析、模擬、推理和驗證的研究方法，跳出地球，透過現(xiàn)象探尋和理解行星運(yùn)動的本質(zhì)，得到了地內(nèi)行星的運(yùn)動規(guī)律。對地內(nèi)行星會合運(yùn)動的研究，可以推知從地外行星角度觀測地球與太陽會合運(yùn)動的規(guī)律，促進(jìn)人類對太陽系其他行星甚至太陽系外行星的運(yùn)動規(guī)律的探索。