祁君華

【摘要】“解三角形”的解答題是“新高考”中的必考題型，第一問往往是求三角形的某一個(gè)內(nèi)角，針對一次周練中學(xué)生出現(xiàn)的一些問題，本文歸納總結(jié)出幾種方法.

【關(guān)鍵詞】求角；通法；方法歸納

題目△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2b=3c，tanA=2tanC.

（1）求A；

（2）若D為BC的中點(diǎn)，AD=19，求△ABC內(nèi)切圓的半徑.

解（1）解法1因?yàn)?b=3c，

由正弦定理得2sinB=3sinC.

由tanA=2tanC，得sinAcosC=2sinCcosA，

所以sinAcosC+cosAsinC=3sinCcosA，

即sin（A+C）=3sinCcosA，

所以sinB=3sinCcosA，

于是32sinC=3sinCcosA.

因?yàn)閟inC≠0，

所以cosA=12.

又因?yàn)?<A<π，

所以A=π3.

解法2由tanA=2tanC，得

sinAcosC=2sinCcosA，

又由正、余弦定理得

a·a2+b2-c22ab=2c·b2+c2-a22bc，

化簡整理得3a2=b2+3c2，

將b=32c代入得a2=74c2，

即a=72c，

所以cosA=b2+c2-a22bc=32c2+c2-74c22·32c·c

=12.

又因?yàn)?<A<π，

所以A=π3.

解法3易得A，C均為銳角.

如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，

由tanA=2tanC，得

BHAH=2BHCH，

所以CH=2AH，

于是AH=13AC=b3，

cosA=AHAB=b3c=13×32=12.

又因?yàn)?<A<π，

所以A=π3.

（2）因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，

所以AD=12（AB+AC），

兩邊平方，整理得b2+c2+bc=76，

又2b=3c，

解得b=6，c=4.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=28，

所以a=27.

設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，

由12（a+b+c）r=12bcsinA，

解得r=53-213.