張平

【摘要】“數(shù)形結(jié)合法”是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，它可以將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、準(zhǔn)確化、形象化.數(shù)形結(jié)合可以幫助我們更深入、更準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)問題，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文借助于數(shù)形結(jié)合思想通過對一道課本習(xí)題的變式研究，歸納出該類問題的一般解題模型與結(jié)論，并進(jìn)行變式與拓展應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】動靜結(jié)合；定點(diǎn)；旋轉(zhuǎn)直線；斜率

1問題呈現(xiàn)與解

例1經(jīng)過點(diǎn)P（0，-1）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=-1，kPB=1，

則γ=3π4，β=π4.

圖1

如圖1所示，符合題意的直線l只能在圖1中的陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）.設(shè)直線l與線段AB的公共點(diǎn)為M.

過點(diǎn)P作平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)C，則直線PC將陰影區(qū)域分為△PCB、△PAC兩個(gè)三角形區(qū)域.

當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C沿線段CB運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈［0，β］，此時(shí)直線l的斜率k∈［0，1］；

當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A沿線段AC運(yùn)動到點(diǎn)C（不含點(diǎn)C）時(shí)，此時(shí)直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈［γ，π），此時(shí)直線l的斜率k∈［-1，0）.

綜上知，直線l的傾斜角α的取值范圍為0，π4∪3π4，π，斜率k的取值范圍為［-1，1］.

例2經(jīng)過點(diǎn)P32，2作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=8，kPB=-2.

如圖2所示，符合題意的直線l只能在圖中的陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）.

圖2

設(shè)直線l的傾斜角α，直線l與線段AB的公共點(diǎn)為M.

過點(diǎn)P作平行于y軸的直線與線段AB交于點(diǎn)C，則直線PC將陰影區(qū)域分為△PCB、△PAC兩個(gè)三角形區(qū)域.

當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C沿線段CB運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈π2，β，

此時(shí)直線l的斜率k∈（-∞，-2］；

當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A沿線段AC運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈γ，π2，此時(shí)直線l的斜率k∈［8，+∞）.

綜上知，直線l的斜率k的取值范圍是

（-∞，-2］∪［8，+∞）.

例3經(jīng)過點(diǎn)P（-2，-3）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=13，kPB=1.

圖3

如圖3所示，符合題意的直線l只能在圖3中的陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）.設(shè)直線l的傾斜角α，直線l與線段AB的公共點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A沿線段AB運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)直線l的傾斜角逐漸增大，且γ≤α≤β，

從而13≤k≤1，

即直線l的斜率k的取值范圍為13，1.

例4經(jīng)過點(diǎn)P（-2，2）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=-43，kPB=-34.

圖4

如圖4所示，符合題意的直線l只能在圖4中的陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）.設(shè)直線l的傾斜角α，直線l與線段AB的公共點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A沿線段AB運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)直線l的傾斜角逐漸增大，且γ≤α≤β，

從而-43≤k≤-34，

即直線l的斜率k的取值范圍為-43，-34.

圖5

例5經(jīng)過點(diǎn)P32，12作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=5，kPB=1.

如圖5所示，符合題意的直線l只能在圖5中的陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）.設(shè)直線l的傾斜角是α，結(jié)合圖形知α∈［0，β］∪［γ，π］，根據(jù)k=tanα（0≤α<π，α≠π2）的圖象知0≤k≤1或k≥5或k<0，即直線l的斜率k的取值范圍為（-∞，1］∪［5，+∞）.

2類型歸納與結(jié)論

過直線AB外一定點(diǎn)P作直線l與線段AB總有公共點(diǎn)，設(shè)P（x0，y0），不失一般性，設(shè)PA，PB的斜率均存在且kPA<kPB，則直線l的斜率k的取值范圍有如下規(guī)律：

（1）只有直線y=y0在△PAB區(qū)域內(nèi)時(shí)，

kPA≤k≤kPB；

（2）只有直線x=x0在△PAB區(qū)域內(nèi)時(shí)，

k≤kPA或k≥kPB；

（3）直線y=y0與x=x0均不在△PAB區(qū)域內(nèi)時(shí)，kPA≤k≤kPB；

（4）直線y=y0與x=x0均在△PAB區(qū)域內(nèi)時(shí)，

k≤kPA或k≥kPB.

進(jìn)一步簡化為兩大模型：

模型1：直線x=x0在△PAB區(qū)域內(nèi)時(shí)，

k≤PA或k≥kPB.

模型2：直線x=x0不在△PAB區(qū)域內(nèi)時(shí)，

kPA≤k≤kPB.

3拓展應(yīng)用

例6直線l：kx-y-k-1=0與以點(diǎn)A（-3，1），B（3，2）為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解由題意知直線l的斜率為k，

由kx-y-k-1=0得（x-1）k-（y+1）=0，

從而直線l過定點(diǎn)P（1，-1），于是本題轉(zhuǎn)化為過直線AB外一定點(diǎn)P作直線l與線段AB總有公共點(diǎn)求直線l的斜率k的取值范圍問題.

又kPA=-12，kPB=32，

又結(jié)合圖形知本題屬于模型一，則

k≤-12或k≥32，

即實(shí)數(shù)k的取值范圍為

-∞，-12∪32，+∞.

例7經(jīng)過點(diǎn)P（-1，2）作直線l，若直線l與圓C：（x-1）2+（y-4）2=1總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

圖6

解由題意知點(diǎn)P在圓C外，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA，PB，如圖6所示.設(shè)PA，PB的傾斜角分別為γ，β，由圖6知直線PA，PB的斜率均存在.設(shè)直線l的斜率為k時(shí)，直線l與圓C相切，此時(shí)直線l的方程為kx-y+（k+2）=0.

由|2k-2|1+k2=1得k=4±73，

即kPA=4-73，kPB=4+73.

如圖6所示，本題屬于模型二，則

4-73≤k≤4+73，

即直線l的斜率k的取值范圍為4-73，4+73.

例8已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足PQ=9QF，求直線OQ斜率的最大值.

解（1）y2=4x（過程略）.

（2）由題意得F（1，0），

設(shè)P（x1，y1），Q（x，y），

則PQ=（x-x1，y-y1），

QF=（1-x，-y），

由PQ=9QF，得x-x1=9（1-x），y-y1=-9y，

即x1=10x-9，y1=10y，

又y21=4x1，

則（10y）2=4（10x-9），

化簡得y2=25x-925，

即點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=25x-925.

圖7

如圖7所示，當(dāng)直線OQ與曲線y2=25x-925相切時(shí)，直線OQ的斜率存在且不為零.設(shè)相切時(shí)的直線OQ的方程為y=kx（k≠0），

代入y2=25x-925化簡得25k2x2-10x+9=0，

由（-10）2-900k2=0，得k=13或k=-13，

結(jié)合圖7知本題屬于模型二，則-13≤kOQ≤13，

所以直線OQ斜率的最大值為13.

華羅庚先生說過：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”“切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離.”數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數(shù)形結(jié)合的能力，感悟事物的本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

教師在教學(xué)過程中，要注意挖掘教材中的典型例題與習(xí)題，根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，變抽象思維為形象思維，更好地展示了數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合，有助于提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，也更有助于幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，更有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).