陳方濤

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師與學(xué)生重視對(duì)課本例題的思考，這與現(xiàn)行的新課改理念相吻合，在教學(xué)過程中我們往往只重視問題的解決，而忽視對(duì)問題進(jìn)一步的思考，特別是對(duì)大單元教學(xué)這一理念的關(guān)注不夠.

【關(guān)鍵詞】課本例題；向量；代數(shù)；幾何

1例題再現(xiàn)

如圖1，CD是△ABC的中線，CD=12AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形.

分析由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個(gè)基底表示，本題可取{CD，DA}為基底，用它表示CA，CB.證明CA·CB=0，可得CA⊥CB，從而證得△ABC是直角三角形.

證法1如圖2，

設(shè)CD=a，DA=b，

則CA=a+b，DB=-b，

于是CB=a-b，

CA·CB=（a+b）·（a-b）=a2-b2.

圖2

因?yàn)镃D=12AB，

所以CD=DA.

因?yàn)閍2=CD2，b2=DA2，

所以CA·CB=0，

即CA⊥CB.

故△ABC是直角三角形.

2解法探究

在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生很難想到選取{CD，DA}為基底，實(shí)際上若選擇從同一點(diǎn)C出發(fā)的兩個(gè)向量{CA，CB}為基底來解決這一問題，不僅學(xué)生易于理解解決此類問題的本質(zhì)，更突出利用這一節(jié)課對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，具體解法如下：

證法2如圖2.

設(shè)CA=a，CB=b，

則CD=12（a+b），AB=b-a.

因?yàn)镃D=12AB，

所以|CD|2=14|AB|2，

即14（a+b）2=14（b-a）2，

易得a·b=0，

所以CA·CB=0，

即CA⊥CB，

故△ABC是直角三角形.

3思路總結(jié)

課本安排本例題的目的是借助向量具有數(shù)、形兩重身份來解決平面幾何問題，重點(diǎn)是基底的選擇，關(guān)于基底的選擇，教師教會(huì)學(xué)生按“三步曲”進(jìn)行，第一步，選擇從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量作基底（如證法2）；第二步，選擇與基底相關(guān)向量，一般可從題中所給的條件中確定；第三步，利用向量的三角形法則或平行四邊形法則用基底表示有關(guān)向量，再結(jié)合題中所給的條件，如距離、夾角等，列出向量相關(guān)等式，如例題中，由已知條件CD=12AB，轉(zhuǎn)化為|CD|=12|AB|，再進(jìn)行向量運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素.

值得注意的是選擇什么樣的兩個(gè)向量作基底，一方面要滿足作為基底向量的基本要求，即兩個(gè)向量不共線，另一方面要為后續(xù)相關(guān)向量的表示提供思考角度，如課本中證法選擇了{(lán)CD，DA}為基底，雖然滿足了作為基底向量的條件，但對(duì)后續(xù)有關(guān)向量的表示設(shè)置了障礙，本人認(rèn)為不符合常規(guī)思維，也不便于教學(xué).