任芳國， 和嘉琪， 周紅軍

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,西安 710119)

1 引 言

矩陣具有豐富的研究內(nèi)容又是研究自然科學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具.矩陣是高等(線性)代數(shù)教學(xué)中重要的內(nèi)容[1]，貫穿于教學(xué)的始終，矩陣的運算是矩陣?yán)碚摰幕A(chǔ) ，矩陣的乘法一般不滿足交換律，矩陣代數(shù)是有限維的非交換代數(shù)典型代表，因此討論矩陣的可換性具有特殊的意義.本文主要在學(xué)習(xí)高等(線性)代數(shù)基礎(chǔ)上，討論矩陣可換的重要特性，隨后給出矩陣中心化子C(A)的維數(shù)及C(A)與P(A)相等的充分必要條件.

定義1[1]設(shè)A,B∈m×m，如果有AB=BA，稱矩陣A與B可換.

定義2設(shè)A∈m×m，B∈n×n，如果存在C∈m×n，使得AC=CB，稱A與B有纏繞關(guān)系.

注 矩陣的可換性就是特殊的纏繞關(guān)系.

定義3[1]給定數(shù)λ0及正整數(shù)k，稱形如

的上三角的k階方陣為一個以λ0為主對角線元素的k階Jordan塊，記作Jk(λ0)，以Jordan塊為主對角線元素的分塊對角矩陣稱為Jordan矩陣.

定義4[1]設(shè)A∈n×n.n×n中和A可換的所有矩陣做成的集合稱為A的中心化子，記作C(A)，即C(A)={X∈n×n|AX=XA}； 將A的所有矩陣多項式做成的集合記為P(A)，即

P(A)={f(A)|f(x)∈C[x]}.

注[6]顯然P(A)?C(A).

定義5[1]設(shè)A∈n×n，稱關(guān)于λ的多項式det(λIn-A)為A的特征多項式，記作pA(λ)； 稱以A為根的次數(shù)最低的首一多項式稱為矩陣A的最小多項式，記作mA(λ).

定義6[1]設(shè)f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an,ai∈,i=1,…n，稱n階方陣

為多項式f(x)的友矩陣，記作Cf.

定義7[3]設(shè)A∈n×n.如果A的每個不同特征值的幾何重數(shù)為1，稱A是無損矩陣.

下面不加證明的羅列出高等(線性)代數(shù)已經(jīng)學(xué)習(xí)的關(guān)于矩陣可換的基本結(jié)果作為引理.

引理1[1]設(shè)A,B∈n×n且A與B可換，則A與B有公共的特征向量.

引理2[1](Hamilton-Cayley定理) 矩陣A是它特征多項式pA(λ)=|λIn-A|的根，即pA(A)=0.

引理3[1]設(shè)A,B∈n×n.

(i) 矩陣A與所有n階方陣可換當(dāng)且僅當(dāng)A是數(shù)量矩陣；

(ii) 矩陣A與所有n階可逆矩陣可換當(dāng)且僅當(dāng)A是數(shù)量矩陣；

(iii) 如果A=diag(d1,…,dn)，其中d1,…,dn互不相同，那么A與B可換當(dāng)且僅當(dāng)B是對角矩陣；

(v) 可換性具有相似不變性，即A與B可換當(dāng)且僅當(dāng)S-1AS與S-1BS可換，其中S∈n×n是可逆矩陣.

引理4[4](中國剩余定理) 設(shè)p1(x),…,pn(x)是數(shù)域F上兩兩互素的多項式，其次數(shù)分別為m1,…,mn，則對數(shù)域F上任意n個多項式f1(x),…,fn(x)，存在唯一的次數(shù)小于m1+…+mn的多項式f(x)，使得f(x)≡fi(x)mod(pi(x)),i=1,…,n.

2 重要結(jié)果

首先看可換矩陣特征值的性質(zhì).

定理1設(shè)A,B∈n×n且A與B可換，則存在可逆矩陣P∈n×n，使得P-1AP，P-1BP都是上三角矩陣.

證對n作數(shù)學(xué)歸納證明.結(jié)論對n=1顯然成立； 假設(shè)結(jié)論對n-1成立，現(xiàn)在看n的情況.由引理1知，A與B有公共的特征向量，設(shè)為x1，并設(shè)Ax1=λ1x1,Bx1=μ1x1，將x1擴(kuò)充為n的一組基x1,x2,…,xn，作n階可逆矩陣P1=(x1,x2,…,xn)，則

那么A1B1=B1A1，于是由歸納假設(shè)知存在n-1階可逆矩陣V1，使

綜上，定理得證.

推論1設(shè)A,B∈n×n.如果A與B可換，λ1,…,λn是A的特征值，μ1,…,μn是B的特征值，則

(i) A+B的特征值是λ1+μi1,…,λn+μin，其中i1,…,in是1,…,n的某個排列；

(ii) AB的特征值是λ1μi1,…,λnμin，其中i1,…,in是1,…,n的某個排列；

(iii) 若B是冪零矩陣，則A與A+B的特征值相同.

證由于A,B可換，由定理1知，存在可逆矩陣P∈n×n，使得

那么

再由相似矩陣有相同的特征值知，(i)，(ii)成立；

(iii) 若B是冪零矩陣，則B的特征值為零，即μ1=…=μn=0，因而由(i)知，A與A+B的特征值相同.

注 如果A與B不可換，不一定存在可逆矩陣P，使得P-1AP與P-1BP是上三角矩陣.如

因為它們沒有公共特征向量.

現(xiàn)在看矩陣?yán)p繞關(guān)系的基本性質(zhì)，并為后面討論提供基礎(chǔ).

定理2設(shè)A∈m×m，B∈n×n.

(i) 如果A與B有纏繞關(guān)系，f(x)是任意多項式，那么f(A)與f(B)具有纏繞關(guān)系；

(ii) 如果A與B的特征值互不相同，那么矩陣方程AX-XB=O只有零解.

證(i) 由于A與B有纏繞關(guān)系，即存在C∈m×n，使得AC=CB，那么

A2C=A(AC)=A(CB)=(AC)B=(CB)B=CB2， A3C=A(A2C)=A(CB2)=(AC)B2=CB3，

即f(A)與f(B)具有纏繞關(guān)系.

(ii) 顯然O是矩陣方程AX-XB=O的一個解.如果AX-XB=O有非零解X0∈m×n，即有AX0=X0B，那么由(i)知，對任意多項式f(x)，有f(A)X0=X0f(B).特別地，pB(A)X0=X0pB(B)，由引理2知，pB(B)=O，所以pB(A)X0=O； 設(shè)λ1,…,λn是B的特征值，有pB(x)=(x-λ1)…(x-λn)，進(jìn)而

pB(A)=(A-λ1Im)…(A-λnIm)，

由于A與B的特征值互不相同，則每一個A-λiIm(i=1,…,n)可逆，那么pB(A)可逆，于是由pB(A)X0=O得X0=O,矛盾，故矩陣方程AX-XB=O只有零解.

推論2設(shè)X∈m×n，如果Jm(μ)X=XJn(λ) ，其中λ≠μ，那么X=O.

證由于Jordan塊的特征值就是其對角線元素，則Jordan塊Jm(μ),Jn(λ)的特征值互不相同，因此由定理2知，X=O.

推論3設(shè)A,B,C∈n×n，AB=CA，且

B=B1⊕…⊕Bk， C=C1⊕…⊕Ck

是分塊對角矩陣，它們的分法完全相同.如果Bi,Cj的特征值互不相同，i≠j，那么A=A1⊕…⊕Ak是分塊對角矩陣且AiBi=CiAi,i=1,…,k.

證對矩陣A進(jìn)行分塊，使得A的分法與B完全相同，設(shè)A=(Aij)k，由于AB=CA當(dāng)且僅當(dāng)AijBj=CiAij,i,j=1,…,k，再由Bi,Cj的特征值互不相同，且i≠j及定理2知，Aij=O,i≠j，因此A=A11⊕…⊕Akk，令A(yù)i=Aii,i=1,…,k，有A=A1⊕…⊕Ak且AiBi=CiAi,i=1,…,k.

推論4設(shè)A,B∈n×n.如果存在可逆矩陣S，使得A=S(A1⊕…⊕Ak)S-1是分塊對角矩陣，其中Aj∈Mnj(j=1,…,k)且Ai,Aj的特征值互不相同，i≠j，那么A與B可換當(dāng)且僅當(dāng)B=S(B1⊕…⊕Bk)S-1，其中Bj∈Mnj(j=1,…,k)且AiBi=BiAi,i=1,…,k.

證由可換具有相似不變性知，A與B可換當(dāng)且僅當(dāng)S-1AS與S-1BS可換，則由推論3知，S-1BS=B1⊕…⊕Bk且Bj∈Mnj(j=1,…,k)，AiBi=BiAi,i=1,…,k，即

B=S(B1⊕…⊕Bk)S-1.

定理3設(shè)A∈n×n.

(i)P(A),C(A)都是n×n的子空間且P(A)中的元素可換；

(ii) dimP(A)=?(mA(x)).

證(i) 顯然零矩陣都在P(A),C(A)中，此外它們關(guān)于矩陣加法及數(shù)乘封閉，這是因為，?f(x)，g(x)∈C[x],?k∈，顯然f(x)+g(x),kf(x)∈C[x]，則f(A)+g(A),kf(A)∈P(A)，于是P(A)是n×n的子空間.同理，?B,C∈C(A),?k∈，顯然B+C,kB∈C(A)，則C(A)是n×n的子空間，又P(A)中的元素可換是顯然的；

(ii) ?f(x)∈C[x]，設(shè)m=?(mA(x))，由多項式帶余除法知，存在唯一的多項式q(x),r(x)，使得

f(x)=q(x)mA(x)+r(x)，

其中r(x)=0或?(r(x))

f(A)=q(A)mA(A)+r(A)=r(A)，

因此f(A)可由I,A,…,Am-1線性表出.假設(shè)I,A,…,Am-1線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)a0,a1,…,am-1，使得

a0I+a1A+…am-1Am-1=O，

令g(x)=a0+a1x+…am-1xm-1，則g(x)是以A為根且次數(shù)比m低的非零多項式，這與mA(x)是A的最小多項式矛盾，故I,A,…,Am-1線性無關(guān)，因此I,A,…,Am-1是P(A)的一組基，所以

dimP(A)=?(mA(x)).

綜上，定理得證.

注 一般地C(A)中的元素不一定可換.如若A是數(shù)量矩陣，則C(A)=n×n.

下面討論P(A)=C(A)的充分條件.

定理4[7]設(shè)A∈n×n，pA(x),mA(x)分別是矩陣A的特征多項式與最小多項式.

(i) 如果A有n個不同特征值，那么P(A)=C(A)；

(ii) 如果A=Jn(0)，那么

(iii) 如果A=Jn(λ0)，那么P(A)=C(A)；

(iv) 如果A是無損矩陣，那么P(A)=C(A).

證(i) 設(shè)λ1,λ2,…,λn是A的n個不同的特征值，則A可對角化，即存在可逆矩陣S，使得

S-1AS=diag(λ1,λ2,…,λn)；

?B∈C(A)，由于S-1AS與S-1BS可換，那么S-1BS就是對角矩陣，即

S-1BS=diag(b1,b2,…,bn)，

再由于λ1,λ2,…,λn互不相同，則由拉格朗日插值多項式基本定理知，存在次數(shù)不超過n-1次的多項式φ(x)，使得φ(λi)=bi,i=1,…,n，即

S-1BS=diag(φ(λ1),φ(λ2),…,φ(λn))=φ(S-1AS)=S-1φ(A)S，

因而B=φ(A)∈P(A)，則再由B的任意性知，C(A)?P(A)，則C(A)=P(A).

(ii) ?B=(bij)n∈C(A)，即Jn(0)B=BJn(0)，那么有

由此可得

① 當(dāng)i>j時，bij=0，即B是上三角矩陣；

②b11=bii,i=1,…,n，b12=b23=…=bn-1,n,…,b1,n-1=b2n，所以

令b1=b11,b2=b12,…,bn=b1n，再由Jn(0)的性質(zhì)知

于是由B的任意性知，C(A)?P(A)，所以C(A)=P(A).

(iii) ?B=(bij)n∈C(A)，即Jn(λ0)B=BJn(λ0)，而

Jn(λ0)B=BJn(λ0) ? (λ0In+Jn(0))B=B(λ0In+Jn(0)) ?Jn(0)B=BJn(0)，

于是由(ii)知，存在數(shù)a1,a2,…,an，使得

B=a1In+a2Jn(0)+…+anJn(0)n-1，

則

B=a1In+a2(Jn(λ0)-λ0In)+…+an(Jn(λ0)-λ0In)n-1∈P(Jn(λ0))=P(A),

再由B的任意性知，C(A)?P(A)，所以C(A)=P(A).

使得S-1BS的分法與J的分法完全相同，即Bii與Jni(λi)同階，于是由J與S-1BS可換可得，

Jni(λi)Bij=BijJnj(λj),i,j=1,…,k，

當(dāng)i≠j時，由于λ1,λ2,…,λk互不相同及推論2知，Bij=O,i≠j，即S-1BS是分塊對角矩陣

S-1BS=B11⊕…⊕Bkk，

其中Jni(λi)Bii=BiiJni(λi),i=1,…,k，由(iii)知，存在多項式gi(x)， 有

Bii=gi(Jni(λi))，i=1,…,k；

又Jni(λi)的最小多項式為mi(x)=|xIni-Jni(λi)|=(x-λi)ni，故m1(x),…,mk(x)兩兩互素，根據(jù)中國剩余定理知，存在多項式f(x)，使得f(x)≡gi(x)mod(mi(x))，于是

S-1BS=g1(Jn1(λ1))⊕…⊕gk(Jnk(λk))=f(Jn1(λ1))⊕…⊕f(Jnk(λk))

=f(Jn1(λ1)⊕…⊕Jnk(λk))=f(J)=f(S-1AS)=S-1f(A)S.

因而B=f(A)∈P(A)，再由B的任意性知，C(A)?P(A)，所以C(A)=P(A).

綜上，定理得證.

推論5設(shè)A∈n×n，pA(x),mA(x)分別是矩陣A的特征多項式與最小多項式.

(ii) 如果A的所有初等因子兩兩互素，那么P(A)=C(A)；

(iii) 如果pA(x)=mA(x)，那么P(A)=C(A)；

(iv) 如果A是pA(x)的友矩陣CpA(x)，那么P(A)=C(A).

(ii) 由于A的全部初等因子兩兩互素，則A的同一個一次因式方冪只有一個，因而由矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與矩陣的初等因子之間的一一對應(yīng)關(guān)系知，A的每個不同特征值只對應(yīng)一個Jordan塊，即A是無損矩陣，于是由定理4(iv)可知，P(A)=C(A).

(iv) 由于友矩陣CpA(x)的最小多項式與特征多項式都是pA(x)，則由(iii)知，P(A)=C(A).

最后給定n階矩陣A，考察C(A)的維數(shù)及P(A)=C(A)的充分必要條件.

定理5設(shè)A∈m×m,B∈n×n.A的全部初等因子為(λ-λi)mi，其中的全部初等因子為(λ-μj)nj，其中則矩陣方程AX=XB的線性無關(guān)解的個數(shù)是其中dij表示(λ-λi)mi和(λ-μj)nj的最大公因式的次數(shù).

證由于矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中Jordan塊與初等因子具有一一對應(yīng)關(guān)系，則存在可逆矩陣S∈m×m及T∈n×n，使得

S-1AS=JA≡Jm1(λ1)⊕…⊕Jmp(λp)，T-1BT=JB≡Jn1(μ1)⊕…⊕Jnq(μq).

因此

AX=XB?SJAS-1X=XTJBT-1?JA(S-1XT)=(S-1XT)JB，

令Y=S-1XT∈m×n，由于Y=S-1XT,?X∈m×n是矩陣空間m×n上的同構(gòu)映射，則只討論方程JAY=YJB的線性無關(guān)解的個數(shù)即可.

將m×n的矩陣Y進(jìn)行分塊，使得Y的行的分法與分塊對角矩陣JA的列的分法一致，Y的列的分法與分塊對角矩陣JB的行的分法一致，記所得分塊矩陣為Y=(Yij)p×q，其中Yij是mi×nj矩陣，則JAY=YJB等價于pq個方程，即

Jmi(λi)Yij=YijJnj(μj)，i=1,…,p;j=1,…,q.

① 當(dāng)λi≠μj時，則由推論2知，Yij=O，此時((λ-λi)mi,(λ-μj)nj)=1，即

?((λ-λi)mi,(λ-μj)nj)=0.

② 當(dāng)λi=μj時，則

Jmi(λi)Yij=YijJnj(μj) ?Jmi(0)Yij=YijJnj(0)，

此時記Yij=(yst)mi×nj，其中1≤s≤mi,1≤t≤nj，

于是

當(dāng)mi=nj時，

此時((λ-λi)mi,(λ-μj)nj)=(λ-λi)mi；

當(dāng)mi

此時((λ-λi)mi,(λ-μj)nj)=(λ-λi)mi；

當(dāng)mi>nj時，

此時

((λ-λi)mi,(λ-μj)nj)=(λ-μj)nj，

推論6設(shè)A∈n×n.A的全部初等因子為(λ-λi)ni，其中則

(ii) dimC(A)≥n；

(iii)C(A)=P(A)當(dāng)且僅當(dāng)A的所有初等因子兩兩互素.

證(i) 由于矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中Jordan塊與初等因子具有一一對應(yīng)關(guān)系，則存在可逆矩陣S∈n×n，使得

S-1AS=JA≡Jn1(λ1)⊕…⊕Jnp(λp).

?X∈C(A)，有

AX=XA?SJAS-1X=XSJAS-1?JA(S-1XS)=(S-1XS)JA，

由定理5知

其中dij表示(λ-λi)ni和(λ-λj)nj的最大公因式的次數(shù)；

(ii) 由于dii=?((λ-λi)ni,(λ-λi)ni)=?((λ-λi)ni)=ni，i=1,…,p，那么

(iii) 由于dimP(A)=?(mA(λ))≤?(pA(λ))=n≤dimC(A)，所以

C(A)=P(A)?dimC(A)=dimP(A)?dimC(A)=n=dimP(A)

?dimC(A)=?(mA(λ))=?(pA(λ))?mA(λ)=pA(λ)?A

的所有初等因子兩兩互素.

最后看一個例子.

例設(shè)A∈6×6，JA=J2(1)⊕J2(1)⊕J2(2)，求

(i) dimC(A)；

(ii)C(JA)中元素的一般形式.

解(i) 由A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形知，A的初等因子為

d1(λ)=(λ-1)2,d2(λ)=(λ-1)2,d3(λ)=(λ-2)2，

并令

dij=?(di(λ),dj(λ)),i,j=1,2,3，

則

dii=2,i=1,2,3，d12=2=d21,d31=d13=d23=d32=0，

(ii) ?Y∈C(JA)，即JAY=YJA，對Y做分塊矩陣，使得它的分法與JA的分法完全一樣，即Y=(Yij)3×3，其中每個Yij是2×2矩陣，于是由JAY=YJA知

其中a,b,c,d,e,f,g,h,j,k是任意數(shù)，則C(JA)中元素的一般形式為

3 結(jié) 論

本文首先歸納了矩陣可換性的一些基本性質(zhì)，并討論了可換矩陣的一個重要特性，通過矩陣?yán)p繞關(guān)系的基本性質(zhì)研究了矩陣的中心化子和矩陣多項式的集合P(A)相等的充分條件，最后獲得了中心化子C(A)的維數(shù)及C(A)與P(A)相等的充分必要條件，并通過一個例子使讀者們進(jìn)一步了解中心化子的性質(zhì).通過研究可交換矩陣，對于更深層次理解矩陣有著積極的意義.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.