陳皓然

(西交利物浦大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)系，江蘇蘇州 215123)

1 引 言

1894年，世界上第一項(xiàng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)競(jìng)賽——E?tv?s 競(jìng)賽在匈牙利誕生. 經(jīng)過(guò)了一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)競(jìng)賽已經(jīng)從歐洲推廣到全世界，從主要針對(duì)中學(xué)生發(fā)展到小學(xué)、大學(xué)乃至全社會(huì)參與. 數(shù)學(xué)競(jìng)賽已經(jīng)成為世界各國(guó)宣揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)拔尖人才，促進(jìn)國(guó)際交流的重要形式與載體.

為了開(kāi)拓國(guó)內(nèi)高校數(shù)學(xué)研究、教學(xué)視野，提高教師數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)及教學(xué)水平，特別針對(duì)微積分、線性代數(shù)、概率論等基礎(chǔ)課，開(kāi)拓新問(wèn)題、新思路、新應(yīng)用，同時(shí)也為了增加學(xué)生課余學(xué)習(xí)、鉆研熱情，提高分析、解決問(wèn)題能力，促進(jìn)國(guó)內(nèi)外學(xué)生交流，筆者整理出國(guó)外比較著名的十余項(xiàng)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，特別是在美國(guó)和東歐舉辦的各類(lèi)競(jìng)賽，其中又以普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽和國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽級(jí)別最高，參賽人數(shù)最多，影響力最大.

本文主體分三部分，介紹美國(guó)、東歐和其他國(guó)家的知名大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中美國(guó)篇以普特南競(jìng)賽為主，東歐篇以國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽為主，從歷史、規(guī)模、比賽形式、內(nèi)容一一加以介紹，以求展現(xiàn)不同競(jìng)賽的風(fēng)格特點(diǎn)等.

2 世界各國(guó)的大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2.1 美國(guó)篇

2.1.1 普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽(William Lowell Putnam Mathematics Competition)

威廉·羅威爾·普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，簡(jiǎn)稱普特南競(jìng)賽，是美國(guó)和加拿大本科學(xué)生參加的年度數(shù)學(xué)競(jìng)賽，在世界范圍最負(fù)盛名，被廣泛認(rèn)可. 普特南競(jìng)賽具有以下特點(diǎn)：

(i) 歷史悠久. 該競(jìng)賽始于1927年，由伊麗莎白·羅威爾·普特南(Elizabeth Lowell Putnam)為紀(jì)念她的丈夫威廉·羅威爾·普特南(William Lowell Putnam，美國(guó)銀行家，律師)設(shè)立. 考試自1938年以來(lái)以每年一次的頻率進(jìn)行(1943年、1944年、1945年停辦，1958年舉辦兩次)，2020年因新冠疫情于線上舉行；

(ii) 參賽面廣. 競(jìng)賽面向在美國(guó)和加拿大的本科學(xué)生(無(wú)國(guó)籍限制)，每人最多可參賽四次. 作為北美參與度最高的大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，普特南每年吸引了數(shù)百所大學(xué)學(xué)生參加，最近十幾年的參賽人數(shù)均超過(guò)3000人[1]；

(iii)試題涉及范圍廣且極具挑戰(zhàn)性. 考試一般在每年12月的第一個(gè)星期六舉行，上、下午各3小時(shí)，共12道題，每題10分. 題目涉及大學(xué)數(shù)學(xué)各類(lèi)基礎(chǔ)知識(shí)，如代數(shù)(線性代數(shù)和抽象代數(shù))、微積分、數(shù)論、組合等，要求參賽者具有創(chuàng)造性和敏銳的思維. 以2003年為例，在總共3615名考生中，有1,024 (28%)名總分在10分以上，42分即可進(jìn)入前百名，而中位分?jǐn)?shù)僅為1分；

(iv) 獎(jiǎng)勵(lì)豐厚. 每所參賽學(xué)校按照一定方式計(jì)算團(tuán)體總分，排名第一至第五的團(tuán)隊(duì)分別獲得25,000至5,000美元不等的獎(jiǎng)勵(lì). 個(gè)人成績(jī)前五名的選手被冠以“普特南研究員”(Putnam Fellow)稱號(hào)，并各獲2,500美元獎(jiǎng)勵(lì)； 第六名至第二十五名也獲得1,000至250美元獎(jiǎng)勵(lì). 競(jìng)賽的管理方美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)(Mathematical Association of America)每年四月將前一年的競(jìng)賽結(jié)果以及前百名優(yōu)勝者名單刊登在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》(American Mathematical Monthly)上.

截至2019年，哈佛大學(xué)、麻省理工學(xué)院、加州理工學(xué)院等在團(tuán)體和個(gè)人項(xiàng)目上多次取得優(yōu)異成績(jī)，許多普特南研究員已成為數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域的杰出研究人員，其中包括三名菲爾茲獎(jiǎng)得主——米爾諾(John Willard Milnor)、蒙福德(David Bryant Mumford)和奎倫(Daniel Gray Quillen)——以及兩位諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者——費(fèi)曼(Richard Phillips Feynman)和威爾遜(Kenneth Geddes Wilson)等[2].

很多參加過(guò)普特南競(jìng)賽的選手將該競(jìng)賽稱為“普特難”，因?yàn)樗_實(shí)很難，主要在三個(gè)方面：

第一，題目多，時(shí)間緊，平均每道題只有30分鐘，需要選手迅速找到正確的解題思路，還要將論證過(guò)程清晰完整地表達(dá)出來(lái)；

第二，題目涉及范圍廣，綜合性強(qiáng)，需要選手面面俱到；

第三，評(píng)分苛刻，雖然每道題10分，但據(jù)統(tǒng)計(jì)，3～7分的分值幾乎不出現(xiàn)，選手只有做到論證嚴(yán)謹(jǐn)周密才能得到8～10分，而僅僅有思路的證明只能得到1～2分. 一般來(lái)說(shuō)，上午和下午的第一題(A1，B1)比較“親民”，即題目容易讀懂，解答不涉及太多額外的知識(shí)和技巧； 最后兩題(A6，B6)難度最高，得分人數(shù)往往只有個(gè)位數(shù). 在此，筆者試舉幾個(gè)例子一窺普特南競(jìng)賽的風(fēng)格.

2015年B1題設(shè)f:→三階可導(dǎo)且具有至少5個(gè)不同的實(shí)根，求證：f+6f′+12f″+8f?有2個(gè)不同的實(shí)根.

解由所給函數(shù)形式不難聯(lián)系到求導(dǎo)公式

(uv)?=u?v+3u″v′+3u′v″+uv?.

設(shè)v=f，將系數(shù)1,6,12,8分別除以1,3,3,1，得到1,2,4,8，此即為u?,u″,u′,u之間的比例，于是令u=ex/2，得到

因ex/2f有5個(gè)不同的實(shí)根，由羅爾定理推論知其三階導(dǎo)數(shù)必有2個(gè)不同的實(shí)根，而ex/2無(wú)實(shí)根，結(jié)論得證.

前199名參賽者對(duì)該題目的得分情況為(從10分到0分)：61，27，7，0，0，0，0，0，41，32，31.

2009年A3題設(shè)n階矩陣的元從左到右，再?gòu)纳系较乱来螢閏os1，cos2，…，cos(n2)，其中1，2等均為弧度，其行列式之值為dn，例如

解此題看似是行列式與極限的結(jié)合，但實(shí)際上主要考察行列式運(yùn)算與三角函數(shù)性質(zhì)，而北美學(xué)生普遍對(duì)后者比較生疏. 注意到dn(n≥3)的每一行的弧度構(gòu)成等差數(shù)列，由公式

cosx+cos(x+2)=2cos(x+1)cos1

可知，將行列式的第二列乘以2cos1，再減去第一列以及第三列，得到全為零的列，因此當(dāng)n≥3時(shí)，dn=0，故所求極限為0.

前200名參賽者對(duì)該題目的得分情況為(從10分到0分)：81，6，6，0，0，0，0，0，6，2，99.

法1先考察所有階數(shù)不超過(guò)3，P(0)=0，在[0,1]上P(x)≥0的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式P(x)，設(shè)對(duì)于這樣的P(x)不等式總成立的最小C值為C0. 顯然由P(x)的選取方式可知C0≤C. 另一方面，如果P(x)在[0,1]上的零點(diǎn)將[0,1]分成子區(qū)間I1,…,Ik，則P(x)在每個(gè)子區(qū)間Ii上不變號(hào)，且至少在一個(gè)端點(diǎn)處取零，于是通過(guò)線性變換可將Ii變成[0,1]，P(0)=0，這樣在Ii上便有

其中l(wèi)(Ii)為Ii的長(zhǎng)度. 將上式對(duì)i=1,…,k相加即可得到C0≥C. 因此C0=C.

法2在計(jì)算C0時(shí)，注意到多項(xiàng)式P(x)的階數(shù)不超過(guò)3，因此由辛普森公式得

其余論證與第一種方法相同.

前187名參賽者對(duì)該題目的得分情況為(從10分到0分)：2，0，0，0，0，0，0，0，1，1，183.

以下是一些關(guān)于普特南競(jìng)賽的網(wǎng)站.

注 本文中所引用的網(wǎng)站鏈接除特別指明外，均為英文.

1938～2003年普特南試題和解答(https:∥prase.cz/kalva/putnam.html)；

1985年至今普特南試題、解答、得分統(tǒng)計(jì)、獲獎(jiǎng)?wù)呙麊魏推渌P(guān)于普特南競(jìng)賽的文章、書(shū)籍等(https:∥kskedlaya.org/putnam-archive/)；

“解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)上的普特南試題和討論(https:∥artofproblemsolving. com/ community/c3249_putnam).

2.2.2 伊利諾伊大學(xué)本科生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(UI Undergrad Math Contest)，模擬普特南競(jìng)賽(Mock Putnam Exam)，大學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(Freshman Math Contest)

競(jìng)賽信息(https:∥faculty.math.illinois.edu/～hildebr/putnam/)；

1996年至今試題和解答(https:∥faculty.math.illinois.edu/～hildebr/putnam/localcontestproblems.html).

2.2.3 密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(U-M Undergraduate Mathematics Competition)

官方網(wǎng)站(包括1995年至今試題和解答等)(https:∥lsa.umich. edu/math/ undergraduates/ extracurricular-activities/competitions/undergraduate-mathematics-competition.html).

2.2.4 新澤西大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(New Jersey Undergraduate Mathematics Competition)

2004年至今試題和解答等(https:∥pages.ramapo. edu/～kkowal/KPWebpage/NJUMC/NJUMChome.htm).

2.2.5 弗吉尼亞理工大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(Virginia Tech Regional Mathematics Contest)

1979年至今試題，解答和比賽結(jié)果(https:∥personal.math.vt. edu/plinnell/Vtregional/)； “解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)上的相關(guān)討論區(qū)(https:∥artofproblemsolving.com/community/c694592_vtrmc).

2.2 東歐篇

2.2.1 國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(International Mathematics Competition for University Students)

國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，簡(jiǎn)稱IMC，是一項(xiàng)發(fā)源于保加利亞，在世界范圍具有很大影響力的國(guó)際賽事，參賽者須為本科生，年齡原則上不能超過(guò)23歲. 從1994年第一屆在保加利亞普羅夫迪夫起，IMC至今已成功舉辦27屆，有超過(guò)50個(gè)國(guó)家，200余所大學(xué)參加，其中77個(gè)代表隊(duì)的總共360名選手參加了第26屆IMC.

倫敦大學(xué)學(xué)院參與IMC的組織，約翰·E·杰恩(John E. Jayne)教授從1994年起擔(dān)任主席. IMC在每年7月下旬或8月上旬舉辦，賽程約6天. 正式比賽分兩天進(jìn)行，每天5個(gè)小時(shí)，5道題目(2020年起改為每天4道題目)，題目范圍包括分析(復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù))、代數(shù)、幾何和組合. 比賽結(jié)果分特等獎(jiǎng)，一至三等獎(jiǎng)和榮譽(yù)獎(jiǎng)，此外還評(píng)選團(tuán)體獎(jiǎng)項(xiàng)及公平參賽獎(jiǎng). IMC比賽期間要求所有參賽者住在官方指定的酒店，旨在提供一個(gè)友好、舒適和安全的環(huán)境，讓他們與來(lái)自世界各地的同齡人一起享受數(shù)學(xué)，拓寬他們的世界視野，并受到啟發(fā)為自己設(shè)定以前可能無(wú)法想象的數(shù)學(xué)目標(biāo).

近年來(lái)，IMC吸引了包括圣彼得堡國(guó)立大學(xué)、格羅寧根大學(xué)、哥廷根大學(xué)等在內(nèi)的諸多高等學(xué)府組隊(duì)參加. 2018年，一名年輕數(shù)學(xué)家、第七屆IMC參賽者，獲得了數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)——菲爾茲獎(jiǎng).

從整體難度上來(lái)看，筆者認(rèn)為IMC與普特南不分伯仲，且難度結(jié)構(gòu)類(lèi)似，IMC的第1，6題較易，第5，10題較難； 從內(nèi)容上來(lái)看，IMC中微積分和線性代數(shù)所占比重比普特南稍高，技巧性更強(qiáng)(因?yàn)槠仗啬厦款}30分鐘，IMC每題1小時(shí))，有些題目非常適合國(guó)內(nèi)大學(xué)生課余思考、研究. 試舉兩例如下.

2021年第1題設(shè)A是n階方陣，滿足A3=O.

(i)求證：存在唯一的n階方陣X，使得下式成立： X+AX+XA2=A.

(ii)試求出X關(guān)于A的表達(dá)式.

解對(duì)于唯一性，注意到等式為線性方程，不妨設(shè)X1，X2滿足等式，需證Y=X1-X2=O. 將X1，X2代入等式并相減，得

Y+AY+YA2=O，

(1)

在上式中右乘A并由A3=O得到Y(jié)A+AYA=(I+A)YA=O. 從

(I+A)(I-A+A2)=I+A3=I，

得出I+A可逆，這說(shuō)明YA=O，于是(1)式轉(zhuǎn)化成(I+A)Y=O，推得Y=O.

再求X的表達(dá)式.由A3=O猜測(cè)X=aA2+bA+cI，代入等式可解出a=-1,b=1,c=0.故X=-A2+A.

解存在. 事實(shí)上有更強(qiáng)的結(jié)論：對(duì)于任意的=C∪D，C∩D=?，存在復(fù)數(shù)列{an}滿足對(duì)p∈C收斂，對(duì)p∈D發(fā)散. 下證該推廣結(jié)論. 記Ck=C∩[1,k]，Dk=D∩[1,k].

首先，對(duì)每個(gè)k∈，構(gòu)造復(fù)數(shù)“單元列”x1,x2,…,xk滿足

(2)

現(xiàn)在從單元列出發(fā)，令

M=max1≤m≤k,p∈Ck∑mj=1xpj≥1, Nk=k·(kM)k,

設(shè)m=kr+s，1≤s≤k，則(ii)后半部分可由下式推出：

最后將所有k-基本列(k=1,2,…)合并成一列，定義為{an}，即

{a1,a2,…}={z1,1,…,z1,N1,z2,1,…,z2,N2,…,zk,1,…,zk,Nk,…}.

IMC官方網(wǎng)站(包含1994年至今試題及解答等)(https:∥www.imc-math.org.uk/)；

“解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)上的IMC試題和討論(https:∥artofproblemsolving. com/community/c3250_imc).

2.2.2 施魏策爾·米克洛什數(shù)學(xué)競(jìng)賽(Miklós Schweitzer Competition)

施魏策爾·米克洛什數(shù)學(xué)競(jìng)賽(MSC)是匈牙利的一項(xiàng)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，以二戰(zhàn)布達(dá)佩斯圍城戰(zhàn)中犧牲的年輕數(shù)學(xué)家Miklós Schweitzer的名字命名. 該競(jìng)賽始于1949年，以題目高水平著稱，內(nèi)容涵蓋代數(shù)，組合，函數(shù)論，幾何，測(cè)度論，數(shù)論，算子理論，概率論，拓?fù)鋵W(xué)以及集合論等多個(gè)數(shù)學(xué)分支，很多題目直接源于當(dāng)代數(shù)學(xué)研究. 參賽者限匈牙利的本科學(xué)生或在匈牙利讀本科的國(guó)際學(xué)生. 考試形式為開(kāi)卷，共有10-11道題目，參賽者有10天時(shí)間應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)[3].

MSC試題和各類(lèi)資源(http:∥www.math.u-szeged.hu/～mmaroti/schweitzer/)；

“解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)上的MSC試題和討論(https:∥artofproblemsolving. com/community/c3253_mikls_schweitzer).

2.2.3 東南歐大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students)

東南歐大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，簡(jiǎn)稱SEEMOUS，由東南歐數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(Mathematical Society of South Eastern Europe，MASSEE)主辦，面向大一，大二學(xué)生，時(shí)間在每年二、三月份，至今已舉辦15屆. SEEMOUS的舉辦形式類(lèi)似國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹亞(IMO)，選手在5小時(shí)內(nèi)挑戰(zhàn)4道題目，內(nèi)容主要涵蓋微積分，代數(shù)，幾何. 2020年SEEMOUS有保加利亞，羅馬尼亞，北馬其頓，希臘和土庫(kù)曼斯坦的近60名學(xué)生參加.

SEEMOUS官方網(wǎng)站(http:∥www.massee-org.eu/index.php/mathematical/seemous)；

SEEMOUS-2020網(wǎng)站(https:∥www.seemous2020.auth.gr)；

“解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)上的SEEMOUS試題和討論(https:∥artofproblemsolving. com/community/c648676_seemous).

2.2.4 Vojtěch Jarník 國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽

由捷克主辦的一項(xiàng)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，官方網(wǎng)站(https:∥vjimc.osu.cz/)；

“解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)上的相關(guān)討論區(qū)(https:∥artofproblemsolving.com/community/c433368_vojtch_jarniacutek_imc).

2.3 其他國(guó)家篇

2.3.1 伊比利亞美洲大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria)

伊比利亞美洲大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(OIMU)，參賽國(guó)為西班牙、葡萄牙以及拉丁美洲西班牙語(yǔ)及葡萄牙語(yǔ)國(guó)家，主要包括墨西哥，巴西，阿根廷等. OIMU由各國(guó)輪流主辦，參賽者須為該地區(qū)的本科生. 截至2020年，OIMU共舉辦了23屆.

第23屆OIMU官方網(wǎng)站(包含往年試題及解答等，網(wǎng)站為西班牙文)(https:∥oimu.eventos. cimat.mx/).

2.3.2 北歐大學(xué)生數(shù)學(xué)團(tuán)體賽(Nordic Mathematical Team Contest)

北歐大學(xué)生數(shù)學(xué)團(tuán)體賽(NMTC)是活躍在北歐五國(guó)的大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，筆者未能找到官方網(wǎng)站或歷年競(jìng)賽信息，但以下網(wǎng)頁(yè)包含2016年競(jìng)賽規(guī)則、試題及解答、獲獎(jiǎng)名單，以及2007-2012年試題鏈接(https:∥www.math.ku.dk/english/research/conferences/2016/nmc/).

2.3.3 PUMA純數(shù)學(xué)競(jìng)賽

由比利時(shí)根特大學(xué)(Ghent University)主辦的一項(xiàng)競(jìng)賽，官方網(wǎng)站(包含2009年至今試題及解答等，網(wǎng)站為荷蘭語(yǔ))(http:∥prime.ugent.be/activiteiten/puma/).

2.3.4 MOAWOA數(shù)學(xué)競(jìng)賽

由荷蘭烏特勒支大學(xué)(荷蘭語(yǔ)：Universiteit Utrecht)主辦的一項(xiàng)競(jìng)賽，MOAWOA是Mathematical Olympiad for All/Wiskunde Olympiade voor Allen的縮寫(xiě)，意為“所有數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生皆可參加”.

MOAWOA比賽信息及試題鏈接(荷蘭語(yǔ))

(https:∥www.a-eskwadraat.nl/Vereniging/Commissies/cieinfinity/moawoa.html).

2.3.5 西蒙·馬賴斯數(shù)學(xué)競(jìng)賽(Simon Marais Mathematics Competition)

西蒙·馬賴斯數(shù)學(xué)競(jìng)賽(SMMC)是澳大利亞主辦的大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，以南非裔澳大利亞業(yè)余數(shù)學(xué)家Simon Marais的名字命名，從2017年起舉辦，在東南亞和大洋洲具有影響力. SMMC的題目類(lèi)型與普特南或IMC類(lèi)似，選手可以選擇單獨(dú)或雙人組隊(duì)參賽.

SMMC官方網(wǎng)站(包括2017年至今試題及解答等)(https:∥www.simonmarais.org/).

附：關(guān)于“解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)(Art of Problem Solving Online)

“解題的藝術(shù)”數(shù)學(xué)社區(qū)，Art of Problem Solving Online，簡(jiǎn)稱AoPS，是美國(guó)數(shù)學(xué)教育家理查德·魯斯奇克(Richard Rusczyk)于2003年創(chuàng)建的在線論壇，主要為中學(xué)生提供課外數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是數(shù)學(xué)競(jìng)賽方面的幫助，后來(lái)推廣到從小學(xué)高年級(jí)到大學(xué)，目前是北美最大的綜合性數(shù)學(xué)教育論壇. AoPS主要有四大板塊：

(i)在線授課：有償提供從小學(xué)到高中，不同難度、主題的競(jìng)賽輔導(dǎo)；

(ii)網(wǎng)上書(shū)店：提供各類(lèi)教輔書(shū)籍；

(iii)競(jìng)賽論壇：極為詳實(shí)地收錄了全球超過(guò)80個(gè)國(guó)家和地區(qū)的各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題(見(jiàn)https:∥artofproblemsolving. com/community/c13_contests)，以每道題一篇主題帖的形式交流討論，到2021年為止已有逾70萬(wàn)學(xué)生參與，論壇共有超過(guò)130萬(wàn)篇主題帖和超過(guò)1500萬(wàn)篇討論帖；

(iv)資源區(qū)：提供各種教學(xué)視頻、數(shù)學(xué)公式、維基百科等.

3 結(jié) 論

本文以普特南和國(guó)際大學(xué)生兩項(xiàng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽為重點(diǎn)，詳細(xì)介紹了其歷史、參賽規(guī)模、考試形式、題目類(lèi)型、獲獎(jiǎng)情況等等，每種競(jìng)賽配以兩三道題及詳細(xì)解答以展現(xiàn)其風(fēng)格. 對(duì)于其他競(jìng)賽，也簡(jiǎn)要介紹了主辦方與參賽情況等. 文中涉及的所有競(jìng)賽，均附有官方網(wǎng)站或往年試題解答以供有需要的讀者進(jìn)一步了解、學(xué)習(xí)、研究. 此外，還介紹了北美最大的網(wǎng)上數(shù)學(xué)社區(qū)“解題的藝術(shù)”(Art of Problem Solving)，其競(jìng)賽論壇板塊具有豐富的資源，值得借鑒和學(xué)習(xí).

致謝作者感謝審稿專家的寶貴意見(jiàn).