張 燕

(運城學(xué)院 工科實驗實訓(xùn)中心,山西 運城 044000)

“彈簧振子實驗”是大學(xué)物理實驗課程中的重要實驗之一。通過對該實驗的研究，學(xué)生可以掌握彈簧振子做簡諧運動的規(guī)律，又加深對胡克定律的理解。該實驗在數(shù)據(jù)處理時，常用的數(shù)據(jù)處理方法有逐差法和作圖法，以往文獻物理實驗教學(xué)和科研工作者也有借助數(shù)據(jù)處理軟件的，如EXCEL、ORIGIN等[1,2]。本文的研究是借助數(shù)理統(tǒng)計的實驗數(shù)據(jù)處理方法，這種實驗數(shù)據(jù)處理的方法在大學(xué)物理實驗數(shù)據(jù)處理中也有應(yīng)用[3,4]。利用SPSS軟件對測量數(shù)據(jù)進行回歸分析，得到回歸模型，利用回歸直線的斜率即回歸系數(shù)，測得彈簧的勁度系數(shù)。

1 原 理

1.1 胡克定律

彈簧在受到外力作用下會產(chǎn)生形變。根據(jù)胡克定律：在彈性限度內(nèi)，彈簧所受應(yīng)力ΔF與單位變形量Δh呈線性關(guān)系[5,6]，即

Δf=kΔh

(1)

式(1)中，k為彈簧的勁度系數(shù)，ΔF的值為彈簧負(fù)載砝碼所受的重力mg。通過依次測量出ΔF所對應(yīng)的Δh值，利用式(1)可以推算出k值。

1.2 簡諧振動

設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，懸掛負(fù)載質(zhì)量為m負(fù)，由于彈簧本身的質(zhì)量對振動周期有影響，在不可忽略彈簧質(zhì)量的情況下，其振動周期為

(2)

式(2)中，m0為彈簧本身的質(zhì)量，c為折合系數(shù)(c<0)，cm0為彈簧的折合質(zhì)量，由上式得：

(3)

由于實驗用彈簧選定不變，那么彈簧質(zhì)量和折合系數(shù)一定，由此可見T2與負(fù)載質(zhì)量m負(fù)呈線性關(guān)系[2,3]，本實驗測出不同負(fù)載質(zhì)量時的對應(yīng)周期，從式(3)的斜率和截距中可求出彈簧的勁度系數(shù)k和折合系數(shù)c。

2 實驗數(shù)據(jù)處理

2.1 原始數(shù)據(jù)

原始數(shù)據(jù)見表1～3。

續(xù)表

表2 彈簧及初始砝碼質(zhì)量

表3 負(fù)載質(zhì)量m負(fù)和對應(yīng)振動周期T

2.2 逐差法

用逐差法對Ai(1,2，……17)的平均值進行處理(見表1)，計算Δh的值：

=28.58 mm

2.3 圖解法

2.4 SPSS模型預(yù)測法

將表1中的數(shù)據(jù)帶入SPSS，對彈簧所受應(yīng)力ΔF和伸長量Δh進行一元線性回歸分析，分析結(jié)果如表4所示：

表4 模型擬合度

從表4的輸出結(jié)果可以看出，復(fù)相關(guān)系數(shù)R=1.000，決定系數(shù)R2=1.000，經(jīng)調(diào)整的判定系數(shù)AdjustedR2=1.000，判定系數(shù)的取值在[0,1]范圍內(nèi)[7,8]，說明彈簧的形變是由彈簧所受應(yīng)力的變化引起的，而且預(yù)測模型擬合度良好。

從表5方差分析結(jié)果可以看出，模型的F統(tǒng)計量的觀察值為8.475E5，統(tǒng)計檢驗的相伴性概率Sig趨于0，置信度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.01，所以回歸是高度顯著，即彈簧應(yīng)變量因所受應(yīng)力變化的影響顯著，可以由彈簧所受的不同大小的應(yīng)力來預(yù)測彈簧的應(yīng)變，它們所建立的線性關(guān)系回歸系數(shù)存在，且表明預(yù)測回歸模型較好，具有統(tǒng)計學(xué)意義[4,5]。

表5 方差分析

a.Dependent Variable：砝碼質(zhì)量

從表6預(yù)測模型系數(shù)可以看出，預(yù)測模型自變量系數(shù)為0.175，常數(shù)為0.000[9，10].可以得到預(yù)測回歸模型為：Y=0.175X以上回歸分析中因變量為砝碼質(zhì)量，所以預(yù)測回歸模型兩邊同時乘以重力加速度得到彈簧所受應(yīng)力與彈簧應(yīng)變的表達式：

表6 預(yù)測模型相關(guān)分析

Δf=0.175×9.8Δh

由上式可測算得彈簧勁度系數(shù)k=1.715 N/m。

3 總 結(jié)

利用SPSS數(shù)理統(tǒng)計測得的彈簧勁度系數(shù)與逐差法和圖解法測得的勁度系數(shù)百分誤差為0.1%。結(jié)果表明：逐差法與圖解法過程復(fù)雜，效率低，容易產(chǎn)生誤差，利用SPSS軟件對測量數(shù)據(jù)進行回歸分析，求出回歸模型，利用回歸直線的斜率即回歸系數(shù)求解彈簧勁度系數(shù)，使實驗數(shù)據(jù)處理更加簡便和直觀。最后，任何實驗數(shù)據(jù)處理的方法都要建立在精確地測量數(shù)據(jù)之上，實驗者的正確的操作步驟、操作技巧和精確地實驗方法同樣很重要。