張漢松,左佳玉,呂 東,高兆輝
(大連海洋大學(xué) 1.食品科學(xué)與工程學(xué)院;2.信息工程學(xué)院;3.海洋科技與環(huán)境學(xué)院,遼寧 大連 116023)
牛頓第二定律是在慣性參考系下研究物體運動的變化情況,所謂慣性參考系是指相對于慣性系靜止或作勻速直線運動的參考系。而非慣性參考系是指相對于慣性系做變速直線運動或曲線運動的參考系[1]。在非慣性系中引入慣性力后,牛頓運動定律的分析方式便可適用于非慣性系動力學(xué)分析,就可用來探討非慣性系中物體的運動規(guī)律[2,3]。當(dāng)珠子處于旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi),相對地面慣性系做加速運動,珠子的運動情況屬于非慣性系動力學(xué)分析。由于旋轉(zhuǎn)體系中珠子運動的復(fù)雜性,牛頓第二定律已不再適用,目前還不存在能夠廣泛適用的運動狀態(tài)分析模型,因而很難討論影響珠子運動的參數(shù)。MATLAB 軟件具有強大的計算和可視化功能,可以較為精確地模擬實驗的結(jié)果,可避開復(fù)雜的理論推導(dǎo)以及條件苛刻的實驗測量,使復(fù)雜、抽象的現(xiàn)象變得具體、直觀。目前,利用MATLAB 軟件對大學(xué)物理實驗進行模擬仿真主要集中在光學(xué)實驗[4-8]、聲學(xué)實驗[9]以及電磁學(xué)實驗[10]等,對力學(xué)以及物體運動實驗的模擬還比較少[11]。本文通過MATLAB仿真軟件,首先模擬了理想狀態(tài)與有摩擦力狀態(tài)下,珠子角速度變化,得到了珠子臨界角速度的條件,然后討論了圓環(huán)半徑、圓環(huán)轉(zhuǎn)速、摩擦系數(shù)對珠子運動情況的影響。
科里奧利力有些地方也稱作哥里奧利力,簡稱為科氏力[12],是對旋轉(zhuǎn)體系中進行直線運動的質(zhì)點由于慣性相對于旋轉(zhuǎn)體系產(chǎn)生的直線運動的偏移的一種描述。科里奧利力來自于物體運動所具有的慣性。科里奧利力的計算公式如下:
(1)
歐拉法是常微分方程的數(shù)值解法的一種,其基本思想是迭代[13]。其中分為前進的EULER法、后退的EULER法、改進的EULER法。所謂迭代,就是逐次替代,最后求出所要求的解,并達到一定的精度,誤差可以很容易地計算出來。
(2)
式(2)中的未知量yn+1可用歐拉公式預(yù)測計算,公式如下:
(3)
這就是改進的歐拉法。關(guān)于改進歐拉法的精度計算,利用半步長的泰勒級數(shù)展開式,由y″(xn+1)=y″(xn+h)=y″(xn)+hy?(η)
(4)
比較上述式(3)和式(4)后,利用yn=y(xn)得到改進歐拉法的精度計算公式:
(5)
對于完整系統(tǒng)用廣義坐標(biāo)表示的動力方程,通常是指第二類拉格朗日方程,是法國數(shù)學(xué)家J.-L.拉格朗日首先導(dǎo)出的。通??蓪懗桑?/p>
(6)
式(6)中T為系統(tǒng)用各廣義坐標(biāo)qj和各廣義速度q′j所表示的動能;qj為對應(yīng)于qj的廣義力;N(N=3n-k)為這完整系統(tǒng)的自由度;n為系統(tǒng)的質(zhì)點數(shù);k為完整約束方程個數(shù)。
圖1為珠子的運動示意圖。圓環(huán)繞著垂直于直徑的軸旋轉(zhuǎn),珠子處于旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi),讓小珠子在環(huán)內(nèi)凹槽中滾動。對珠子的運動進行動力學(xué)分析,分珠子和圓環(huán)之間無摩擦力和有摩擦力兩種情況考慮,討論珠子(用角度來描述)在環(huán)上凹槽中的運動情況。
圖1 珠子的運動示意圖
以圓環(huán)為參考系,珠子受到支持力、重力、摩擦力和離心力。在旋轉(zhuǎn)環(huán)的內(nèi)側(cè),為了便于比較,首先得到點狀珠子的運動。這種處理包括非垂直旋轉(zhuǎn)軸的情況,這會引起一些以前沒有發(fā)現(xiàn)的共振現(xiàn)象。由拉格朗日方程得到以下方程組[14]:
(7)
式(7)中,T是動能,m是珠子的質(zhì)量,R是圓環(huán)半徑,r是珠子半徑,ω是圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度,g是重力加速度,θ是珠子的位置,F(xiàn)N是珠子受到的支持力,K是珠子受到的科式力,f是珠子受到的摩擦力。
首先考慮理想情況,珠子和圓環(huán)之間無摩擦力,即摩擦系數(shù)μ為0。此時有如下方程:
(8)
式(8)中,ω是圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度,R是圓環(huán)半徑,g是重力加速度,θ是珠子的位置。
用MATLAB進行虛擬仿真,用歐拉法進行迭代計算珠子的軌跡,給定角速度(ω=80,μ=0)得到珠子的運動軌跡圖,如圖2所示。
時間/s
探索火星有限公司的首席執(zhí)行官克里斯·卡伯里(Chris Carberry)正在努力琢磨,如何能讓“瘋子”和“火星人”一起通力合作,因為單單哪一派都不會有任何前途。也許我們能成功地選擇去往月球——再去往火星?!拔覀冋趯ふ疫_成那一目標(biāo)的方式,它不會將人類登陸火星一事耽擱上數(shù)十年之久。”他說道。除了研發(fā)協(xié)作,或許商業(yè)公司可以奔著登月目標(biāo)而去,政府則聚焦于登陸火星的任務(wù)。
(9)
式(9)中,μ是摩擦系數(shù),F(xiàn)N是珠子受到的支持力,K是珠子受到的科式力,f是珠子受到的摩擦力。
同樣采用MATLAB模擬仿真,得到珠子的實際運動軌跡,如圖3所示。
時間/s
由圖3可知,珠子的運動為阻尼振動,最后在平衡位置附近停止。由于摩擦力的關(guān)系,珠子最終不會恰好停在平衡位置。如果忽略摩擦力,平衡位置比實際位置要高,當(dāng)存在摩擦力時,雖然也會在某一位置停止運動,但是會低于無摩擦力情況下的位置高度。
因為珠子在圓環(huán)中為滾動摩擦,所以摩擦系數(shù)可以設(shè)置的很小μ=0.1或者暫時忽略不計。當(dāng)摩擦系數(shù)μ為0時,通過改變圓環(huán)不同轉(zhuǎn)速,起初設(shè)定角速度ω很小,達不到珠子的轉(zhuǎn)動臨界速度,珠子一直在圓環(huán)底部。當(dāng)圓環(huán)轉(zhuǎn)速大于等于臨界角速度時珠子會沿圓環(huán)滾動,不同的角速度珠子達到的最大高度不同,上升到最大高度的時間也不同。研究不同角速度ω下珠子運行一個周期(小球從圓環(huán)最低點到最大高度再到圓環(huán)最低點)所需要的時間,即珠子的角度隨時間的變化曲線。用MATLAB進行模擬仿真,結(jié)果如圖4所示。
時間/s
由圖4可知,隨著角速度的增大珠子停滯的最大角度在隨之變大,而且珠子完成一個周期所需要的時間在隨之變短。當(dāng)角速度達到一定值時,珠子的最大停滯位置就不會再發(fā)生變化或者說是變化極小。
由圖5可知,摩擦系數(shù)μ和圓環(huán)半徑R一定時,圓環(huán)轉(zhuǎn)動角速度ω越大,珠子運動的最大角度位置越大。當(dāng)角速度達到一定值時,珠子的最大停滯位置不再發(fā)生變化或者變化極小。
角速度/rpm
運用控制變量法,假設(shè)摩擦因數(shù)μ對珠子的轉(zhuǎn)動有影響,而圓環(huán)材質(zhì)的改變對摩擦因數(shù)的影響微乎其微,通過MATLAB進行模擬仿真,主要通過改變摩擦因數(shù)的大小來分析摩擦因數(shù)對珠子在圓環(huán)上運動的影響,仿真結(jié)果如圖6所示。
摩擦系數(shù)μ
由圖6可知,隨著摩擦因數(shù)的改變,珠子轉(zhuǎn)動所需的臨界角速度ω0也會增大。這是由于摩擦系數(shù)的增大,珠子轉(zhuǎn)動所需要的向心力更大,那么就需要更大的角速度。所以,隨著摩擦系數(shù)的增大,臨界角速度也在增大。
基于上述分析,采用MATLAB軟件仿真對珠子的動力學(xué)進行了分析。結(jié)果表明,圓環(huán)旋轉(zhuǎn)角速度決定珠子最終的平衡位置,珠子初始位置θ和摩擦系數(shù)μ決定珠子開始運動的臨界角速度ω0,當(dāng)圓環(huán)角速度ω大于臨界角速度ω0時,珠子開始運動,最終停在平衡位置。珠子的運動過程類似阻尼振動,珠子到達的最大角度位置和圓環(huán)角速度ω、摩擦系數(shù)μ和圓環(huán)半徑R有關(guān),μ、R一定時,ω越大,珠子運動的最大角度位置越大;ω、R一定時,μ越大,珠子運動的最大角度位置越??;ω、μ一定時,R越大,珠子運動的最大角度位置越小。特征時間與角速度ω及摩擦系數(shù)μ有關(guān),摩擦系數(shù)μ一定時,角速度ω越大,特征時間越小;角速度ω一定時,摩擦系數(shù)μ越大,特征時間越大。