浙江師范大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院 孔勝濤（郵編：321004）

所謂“六何”認知策略是周瑩教授針對數(shù)學(xué)教學(xué)“缺頭少尾燒中段”的現(xiàn)象提出的一種認知策略，即“從何、是何、與何、如何、變何、有何”的認知策略[1]. 近幾年，筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多次嘗試運用“六何”認知策略進行課堂教學(xué)，取得了較好的教學(xué)效果.

下面以人教版高中數(shù)學(xué)普通教科書必修第二冊第六章中“余弦定理”的教學(xué)為例，介紹基于“六何”認知策略的教學(xué)設(shè)計的一些做法和思考，以期為高中數(shù)學(xué)的定理課堂教學(xué)提供參考.

1 教學(xué)過程

1.1 追溯“從何”

“從何”是指新知從哪里來？基于對“余弦定理從哪里來?”的思考，可以創(chuàng)設(shè)問題情境如下：

問題1 修建一條高速鐵路時，要開鑿隧道將一段山體打通，現(xiàn)要測量該山體底側(cè)兩點間的距離，也就是：如圖1，要測量該山體兩底側(cè)A，B兩點間的距離. 同學(xué)們能想出解決這個問題的方法嗎？

問題2 如圖2，在山體的遠處選一點C，然后量出AC=b，BC=a，再測出∠ACB=α，如何求出AB的長度呢？

圖1

圖2

設(shè)計意圖通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引出新問題，旨在激發(fā)學(xué)生去探究新知，這不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

1.2 把握“是何”

“是何”是指新知的本質(zhì)特征是什么？基于對“余弦定理的本質(zhì)特征是什么？”的思考，可以提出“是何”問題串如下：

問題3 三角形以角來劃分，有哪些類型的三角型？同學(xué)們還記得初中學(xué)過的勾股定理嗎？

問題4 在任意的銳角△ABC中，你能用邊a，b和角C表示邊c嗎？

生1：可以，如圖3，過點A作垂線交BC于D，設(shè)AC=b，AB=c，BC=a，則AD=bsinC，CD=bcosC，BD=BC-CD=a-bcosC.

圖3

所以c2=AD2+BD2= (bsinC)2+(a-bcosC)2=a2+b2- 2abcosC.

即c2=a2+b2- 2abcosC.

問題5 在任意的角C為鈍角的三角形和角C為直角的三角形中，是否都有c2=a2+b2-2abcosC仍然成立呢？由此你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計意圖從余弦定理的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，通過問題3,4,5 引導(dǎo)學(xué)生類比直角三角形中的勾股定理，旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣，這有利于學(xué)生把握余弦定理的特點，發(fā)現(xiàn)余弦定理的本質(zhì).

1.3 連接“與何”

“與何”是指新知與舊知有怎樣聯(lián)系及不同？基于本節(jié)課是在系統(tǒng)學(xué)習(xí)勾股定理、平面向量及平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上展開的，可以提出“與何”問題串如下：

問題6 同學(xué)們還記得平面向量數(shù)量積的幾何意義嗎？

問題7 同學(xué)們能嘗試用向量法證明余弦定理：在任意△ABC中，都有c2=a2+b2-2abcosC，a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB成立嗎？

圖4

同理可證：a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.

問題8 同學(xué)們還記得解析幾何中的兩點間距離公式嗎？

問題9 同學(xué)們能嘗試用坐標法證明余弦定理：在任意△ABC中，都有c2=a2+b2-2abcosC，a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB成立嗎？

生3：老師，我能用坐標法證明. 建立如圖5所示的直角坐標系，則A(bcosC,bsinC)，B(a,0).

圖5

根據(jù)兩點間的距離公式，可得

c2=(bcosC-a)2+(bsinC-0)2=a2+b2-2abcosC,

即c2=a2+b2-2abcosC.

同理可證：a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.

設(shè)計意圖通過問題6,7,8,9 引導(dǎo)學(xué)生探究余弦定理的二種不同證法，旨在強化余弦定理與其他舊知識的聯(lián)系，從而促進新舊知識間的融會貫通. 這有利于提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

1.4 操作“如何”

“如何”是指新知如何學(xué)以致用？基于對“余弦定理如何學(xué)以致用？”的思考，可以提出“如何”問題串如下：

問題10 在如圖2 所示的△ABC中，測得a=500 米，b=400 米，C=120°，求AB的長度（邊長精確到0.1 米）.

生4：由余弦定理，得

AB2=a2+b2-2abcosC=5002+4002-2×500×400×cos 120°=6.1×105，

問題11 在△ABC中，已知a=3，b=5，c=7，求角C的大小.

生5：由余弦定理，得

設(shè)計意圖通過問題10,11 引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，使學(xué)生掌握應(yīng)用余弦定理解任意三角形的方法，旨在凸顯余弦定理的應(yīng)用價值，這有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

1.5 重視“變何”

“變何”是指怎樣變式拓展？基于對問題10,11“變一變又會怎樣？”的思考，提出“變何”問題串如下：

設(shè)計意圖問題12,13 分別是問題10,11 的變式題，通過問題12,13 的拓展練習(xí)，旨在拓寬學(xué)生的解題思路，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和變式能力.

1.6 挖掘“有何”

“有何”是指學(xué)完新知后有哪些收獲、體會和困惑？通過對“學(xué)完余弦定理后有哪些收獲、體會和困惑？”的思考，可提出“有何”問題串如下：

問題14 回顧整堂課，我們一起來總結(jié)一下本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有哪些？

問題15 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？對余弦定理有什么認識？對本節(jié)課是否還有疑問？

設(shè)計意圖通過問題14,15 引導(dǎo)學(xué)生從多角度對整堂課進行一次回顧與梳理，旨在培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和理性精神.

2 教學(xué)思考

從上述的“余弦定理”教學(xué)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，運用“六何”認知策略進行高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義主要在于以下兩點：

2.1 有利于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

在基于“六何”認知策略的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“六何”能把新知識的來龍去脈問題化、操作化和完整化.“從何、是何、與何、如何、變何、有何”的具體內(nèi)容，即新知從哪里來？新知的本質(zhì)特征是什么？新知與舊知有怎樣聯(lián)系及不同？新知如何學(xué)以致用？怎樣變式拓展？學(xué)完新知后有哪些收獲、體會和困惑？這“六何”具有思考的根基性、層次性和連貫性，逐次生長、提升和拓展，有利于學(xué)生體會新知識形成的過程，有利于促進學(xué)生對新知識的再創(chuàng)造，從而有利于提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 因此，基于“六何”認知策略的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有利于提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

2.2 有利于提升學(xué)生的提問能力

在基于“六何”認知策略的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圍繞“六何”設(shè)置問題，以“從何”引入新課，以“是何、與何、如何、變何”引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)和思考，以“有何”總結(jié)整節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些何何遞進的問題貫穿于整個課堂教學(xué)過程. 俗話說“看過問題三百遍，不會解題也會問”，在這樣的課堂教學(xué)氛圍下，學(xué)生耳濡目染，問題意識會不斷增強，提問能力就會不斷提升. 因此，基于“六何”認知策略的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有利于提升學(xué)生的提問能力.