安徽省合肥市五十中學西校 胡志杰（郵編：230031）

1 背景介紹

1.1 緣起

筆者從事初中數(shù)學教學多年，總體感覺對初中學生而言，數(shù)學知識過于理性有點“冷”，不易理解，很多學生存在畏懼心理，對知識理解的表面化、碎片化，極其容易在整體與局部、本質(zhì)與現(xiàn)象之間迷失方向. 筆者嘗試實施“尊重學生認知邏輯”的數(shù)學教學，將教學引向理解，追求基于理解的教學，致力于提供給學生有助于理解概念的某種框架，促使其獲得可遷移的概念理解力、解決復雜問題的思考力和創(chuàng)造新觀點的生長力，從而使學生切實體驗到數(shù)學的溫度.

1.2 根據(jù)

1.2.1 布魯納（J.S.Bruner） 認知心理學

美國著名的心理學家和教育家，是20 世紀50年代認知革命的倡導者. 他的學習理論倡導：任何學科以一定的知識的適當形式，能有效地教給處于任何發(fā)展時期的任何兒童. 知識是由概念、命題、基本原理及彼此之間的相互聯(lián)系組成的. 促使認知發(fā)展的學習應該以學習“學科知識的結(jié)構”為主要任務，幫助學生在知識的整體與局部、本質(zhì)與現(xiàn)象的聯(lián)系之中掌握知識. 任何一門學科都有一個基本結(jié)構，即具有內(nèi)在的規(guī)律性. 不論教什么學科，都必須理解該學科的基本結(jié)構.

1.2.2 皮亞杰（J.Piaget） 建構主義

知識不是通過教師傳授得到，而是學習者在一定的情景即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習材料，通過意義建構的方式獲得. 學習環(huán)境中的四大要素是情境、協(xié)作、會話和意義建構. 教學過程就是教師、學生、課程和媒體交互作用的動態(tài)過程，并存在兩個主體（教師與學生）及其共同活動. 學生是信息加工的主體、是意義的主動建構者，在學習過程中發(fā)揮主體作用.

2 教學設計

下面筆者以“勾股定理（第一課時）”教學設計的三次修改為例來具體談談自己一些不成熟的想法與做法.

2.1 相關分析

勾股定理（第一課時）選自上?？茖W技術出版社義務教育教科書八年級下冊.

直角三角形是一種特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三邊的關系，它是平面幾何中的一個重要定理

在本節(jié)之前，學生已學習了直角三角形的概念，初步掌握了直角三角形的定義與部分性質(zhì)、及三角形的三邊關系.

本節(jié)學習的主要內(nèi)容是勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明，運用勾股定理解決簡單的實際問題. 教學目標具體如下：

（1）讓學生經(jīng)歷對教師提供的背景材料的觀察、分析、一般化等思維活動，體驗勾股定理的探索過程.

（2）理解證明的必要性，體驗勾股定理的證明方法與證明過程，培養(yǎng)學生良好的思維習慣.

（3）會運用勾股定理解決簡單的實際問題.

（4）結(jié)合“勾股定理”的歷史介紹，培養(yǎng)學生愛國主義的思想情感.

本節(jié)的教學重點是：體驗勾股定理的探索過程；勾股定理及其應用. 教學難點是勾股定理的面積證法.

2.2 教學的三次設計

為了完成本節(jié)教學任務，突出重點突破難點.筆者設計了五個環(huán)節(jié)：（1）設置情境，導入新課；（2）合作探究，獲得猜想；（3）尋找方法，證明猜想；（4）運用定理解決問題；（5）歸納總結(jié)，反思提升.

2.2.1 第一次設計

第一次設計基本按課本內(nèi)容安排

（1）探究：如圖2、圖3，觀察獲得S1、S2、S3的值，并尋找它們之間的關系；

（2）猜想：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方；

（3）證明：用4 個全等的直角三角形拼成如圖7 的正方形，通過面積計算來證明.

（4）應用：選擇課本中例1.

2.2.2 第二次設計

結(jié)合第一次設計，基于知識的結(jié)構，考慮學生的認知基礎及邏輯，在開頭增加情境導入環(huán)節(jié)，問題鏈設計如下：

問題（1）在△ABC中，三邊為a、b、c的數(shù)量關系？

問題（2）如果△ABC是直角三角形呢？

問題（3）在直角三角形這個特殊的三角形中，其三邊有無較|a-b|＜c＜a+b更為特殊的關系呢?

問題（4）在一次的狀態(tài)下受阻，可以做什么樣順其自然的考慮呢？（引導學生做平方的嘗試）

問題（5）觀察a2+b2-2ab＜c2＜a2+b2+2ab,猜想a、b、c之間的等量關系.

2.2.3 第三次設計

針對第一次設計中的證明環(huán)節(jié)，在授課時感覺主線不明確，特別是證明思路的獲得很突然，有“強推”給學生的感覺，通過大數(shù)據(jù)AI 課堂觀察數(shù)據(jù)收集及課后學生反饋分析，證明過程的理解沒有難度，但難在為什么是這個面積計算的理由解釋？為了解決這個問題，使教學過程更加流暢，筆者設計了從圖1?圖2?圖3?圖4?圖5?圖6 的圖形變化鏈，圍繞以斜邊C為邊的正方形面積S3的獲得，從特殊到一般討論探究，直至獲得面積計算的等量關系.

3 教學反思

3.1 打通新舊知識邏輯生長的路徑

古話說得好，溫故而知新. 教學中一定要關注學情生情，引領學生從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)探究新知，就如同萬丈高樓平地起一層一層向上生長. 本節(jié)課的主題是探究直角三角形的三邊關系，因此我設計如下兩個問題：（1）在△ABC中，三邊為a、b、c的數(shù)量關系？（2）直角三角形呢？第一問最好的答案是|a-b|＜c＜a+b. 我不失時機地提示：相較第一問，第二問里注入直角元素形成直角三角形，這種特殊性是否會給我們帶來更特殊的三邊關系，當學生思維受阻時，我又適時提示，在一次方的情形下不行，可以考慮二次方情形，于是就有如下的師生對話，師：對于a2+b2-2ab＜c2＜a2+b2+2ab，如果需要一個等式表示a、b、c之間的關系，你覺得最有可能的是什么？生：a2+b2=c2(通過思考討論，大部分學生都能給出),師:說說你這樣猜的理由,生:因為這個不等式成對稱性，c2最完美的狀態(tài)應該是在中點處，c2最有可能等于兩端值的平均數(shù). 這是一個非常大膽且美妙的猜想，這是基于已學知識的基礎上，通過有邏輯的方法引領而來. 全過程憑借經(jīng)驗和直覺的歸納類比，很好地培養(yǎng)學生的合情推理意識與能力.

3.2 打造驗證猜想的邏輯探究階梯

3.2.1 借助幾何直觀，追求簡明形象

面對直角三角形，如何去描述a2、b2、c2的大小呢？我啟發(fā)學生從圖形的角度去思考尋找，最終找到用以△ABC為邊的正方形面積來表示：S1=a2，S2=b2，S3=c2(如圖1 所示)，從而明確尋找面積的目標任務.

圖1

圖2

3.2.2 由特殊到一般經(jīng)歷思考探究

（1）對于學生來講首先想到的是直接獲得面積，于是我選擇了直角邊為3 個單位長度的等腰直角三角形的格點圖形，如圖3 所示，學生很容易就數(shù)出了S1、S2、S3并獲得S3=S1+S2即a2+b2=c2.

圖3

圖4

（2）如圖3 展示直角邊為3 個單位長度和4 個單位長度的直角三角形的格點圖形，學生直接數(shù)出S1與S2，但S3就很難直接數(shù)出了，此時我設計小組合作探究S3大小的環(huán)節(jié). 學生在已有知識經(jīng)驗的基礎上，很快就提出用割補這兩種方法，獲得S3的思路（如圖4、5）繼續(xù)驗證得到S1+S2=S3即a2+b2=c2，同時獲得等量關系S大正方形=S小正方形+4SRt△ABC.

圖5

圖6

（3）把圖3 中的背景格隱去，提出問題：此時如何獲得S3，此時的重點是引導學生思考并明晰：沒有了格子后雖然無法直接獲得邊長和面積，但是依然保留S大正方形=S小正方形+4SRt△ABC這樣的等量關系，這一點至關重要，這將引發(fā)從特殊到一般的跨越，如圖6 所示可獲得

（4）引出勾股定理的一般性證明，用4 個全等直角三角形圍成如圖7 的EFGH和A1B1C1D1一大一小兩個正方形，這樣就可以很輕松地完成勾股定理的證明. 關于圖5 的割法證明可以交由學生課后自主完成. 回顧整個探究過程，我首先從特殊情形入手，驗證并發(fā)現(xiàn)不變的等量關系，并以此搭建了由特殊到一般的邏輯階梯，從而使一般情形下的論證水到渠成，一蹴而就.

圖7

3.3 引領從一般到具體應用的邏輯回歸

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，把直角三角形中的形的特征（三角形中一個角是直角）化為三邊的數(shù)量關系，（三邊之間滿足a2+b2=c2），建立了數(shù)形結(jié)合關系，在應用中就是知兩邊可求第三邊. 這奠定了直角三角形在初中幾何中的重要地位，在教學中筆者特別注意引導學生有意識地去發(fā)現(xiàn)直角三角形，并利用它來解決實際問題，從而完成從一般結(jié)論到具體應用的邏輯回歸. 這里我使用書上的例1，具體如下：現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災，消防隊員決定用消防車上的云梯救人，如圖8. 已知云梯最多只能伸長到10m，消防車高3m. 救人時云梯伸至最長，在完成從9m 高處救人后，還要從12m 高處救人，這時消防車要從原處再向著火的樓房靠近多少米？（精確到0.1m）

圖8

在本題中，筆者試圖引導學生發(fā)現(xiàn)圖中所示的Rt△ABO與Rt△ODC,在兩個直角三角形中利用云梯的長度這個不變量提供的等量關系列出方程解決問題，整個過程中勾股定理的運用是關鍵.

3.4 信息化手段助力課堂提質(zhì)增效

縱觀整個磨課過程，全程運用大數(shù)據(jù)平臺對課堂教學進行實時監(jiān)測，在線提供相關數(shù)據(jù)，通過課堂活動時序分析、S-T 教學分析、CTOP 教學分析、教師巡視軌跡分析、教師巡視駐留時段分析、教學環(huán)節(jié)時段累計分析、教學環(huán)節(jié)次數(shù)累計分析、學生參與互動分析、學情時段累計分析，這九個維度的數(shù)據(jù)分析，及時提供改進策略指導每一次修改，不斷突顯學生主體地位提高教師的主導效率，最終實現(xiàn)了講授型課堂向?qū)υ捫驼n堂的轉(zhuǎn)型.

以上是筆者對“勾股定理（第一課時）”教學的一些不成熟的思考. 總而言之，在教學的組織實施過程中，要認真理清數(shù)學教材知識間的邏輯結(jié)構主線，明確找到學生數(shù)學認知基礎的起點，充分尊重學生數(shù)學思維邏輯，構建符合學生認知特點和邏輯順序的課堂教學結(jié)構，幫助學生實現(xiàn)對教學內(nèi)容的理解，鞏固和內(nèi)化，達到認知邏輯與學科知識邏輯的統(tǒng)一.