陳駿 盛曉君

上海市高境第一中學 200439

黨的十八大將立德樹人作為教育根本任務以來，學科德育成為一線教師關(guān)注的熱點，課堂教學成為落實該任務的基本形式.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中明確指出：“數(shù)學教育承載著落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質(zhì)教育的功能……在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨特作用.”［1］可見，高中數(shù)學課堂不僅承載著知識的傳遞功能，其學科德育對學生的潤澤和滲透作用同樣值得重視.本文以一節(jié)“雪花曲線的探究”課為例，具體呈現(xiàn)學科德育在課堂教學中的蘊藏形式.

數(shù)學學科德育內(nèi)涵

學科德育是指教師在日常學科教學過程中融合德育，以學科為抓手凸顯育人價值.而數(shù)學學科德育特指數(shù)學教師在數(shù)學教學中進行德育滲透，實現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值.有學者認為［2］，數(shù)學學科德育內(nèi)涵主要有理性、人文、人格和責任四部分（見表1）.

表1

數(shù)學學科德育教學實踐

本文以“雪花曲線的探究”為例，將時事熱點作為課程的引入情境，用數(shù)學文化構(gòu)建例題背景，以課外閱讀的方式采編史料，通過課堂實驗、合作交流、匯報演講等教學活動，設(shè)計有效的問題串和多元化的作業(yè)等方法，實現(xiàn)數(shù)學學科德育在課堂中的滲透，力求在教學各環(huán)節(jié)較為自然地埋設(shè)“德育點”，通過關(guān)注學生言行表現(xiàn)對課堂德育效果進行感知，通過理性、人文、人格和責任四部分對本節(jié)課的數(shù)學學科德育實踐進行分析.

1.教學分析

（1）教學內(nèi)容分析

在《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊（2020年滬教版）》第四章“數(shù)列”第二節(jié)等比數(shù)列中，教材以“科克雪花曲線”為例引入等比數(shù)列，章末復習又以求“雪花曲線”的周長和面積的拓展題形成首尾呼應，章節(jié)中還呈現(xiàn)了關(guān)于“謝爾賓斯基三角形”和“謝爾賓斯基正方形”的練習題.滬教版二期課改教材曾專門將“雪花曲線”作為數(shù)列的章末拓展閱讀.新舊教材都把“雪花曲線”納入其中，旨在通過學生對“雪花曲線”的探索與研究，培養(yǎng)他們應用數(shù)列知識解決實際問題的能力，同時也是對數(shù)學分支——分形幾何的初探和引導.本課將以“雪花曲線”的探究為明線，數(shù)列的綜合應用為暗線，分形幾何的介紹為延伸，揭示事物的本質(zhì)規(guī)律，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，滲透數(shù)學的學科德育.

（2）學情分析

知識方面，學生已完成等差數(shù)列、等比數(shù)列的學習，會求解一般數(shù)列的通項公式，能初步應用數(shù)列知識解決一些問題；能力方面，高二學生有通過相互討論去分析和解決問題的能力；情感方面，借助對雪花的感性認識，激發(fā)學生利用數(shù)列知識探究“雪花曲線”的興趣.

（3）教學目標

①通過計算“雪花曲線”的周長和面積，鞏固數(shù)列與極限的有關(guān)知識，體會從特殊到一般的數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).

②經(jīng)歷動手作圖、合作研究的過程，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、解決問題，得出科學結(jié)論的數(shù)學探究能力.

③了解分形幾何的歷史與發(fā)展，欣賞分形藝術(shù)，讓學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

（4）教學重難點

教學重點：對“雪花曲線”的周長無限大而面積有限的認識；了解分形幾何.

教學難點：求解“雪花曲線”的周長與面積的通項公式.

（5）教學準備

①課堂學習單；

②安排學生志愿者提前搜索有關(guān)分形幾何的資料，并交予教師修改、審核后制成PPT備用.

2.教學過程

（1）環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

情境1：

師：是否存在一種曲線，它的長度可以繞地球好幾圈，卻能畫在一張小小的郵票上？答案如何，學習完本節(jié)課就可以揭曉！

圖1

情境2：

師：2022年北京冬奧會成功舉辦，成為全球上首個“雙奧之城”.在2月4日的開幕式上，一朵小小的雪花成為貫穿開幕式始終的線索，所有參賽國家和地區(qū)名字的雪花引導牌最后組成一個美麗的大雪花.在全球處于疫情的艱難時刻，總導演張藝謀力圖運用藝術(shù)感染力和文化共通性，體現(xiàn)人類團結(jié)，一起走向未來.

設(shè)計意圖：情境1通過一個看似不可能發(fā)生的事情引發(fā)學生的認知沖突，情境2以近期發(fā)生的時事新聞調(diào)動學生的學習興趣，并為探究“雪花曲線”埋下伏筆.

德育點：從理性維度來說，情境1啟發(fā)學生打破思維定式，追求實事求是的品質(zhì)；情境2呈現(xiàn)了2022年北京冬奧會開幕式視頻，展現(xiàn)了震撼人心的美，從人文維度來說，賦予學生民族自豪感.

（2）環(huán)節(jié)2：手動作圖，自主探索

孩子本身的體質(zhì)有熱化的趨勢，即使感受風寒之邪也會迅速化熱，故而孩子的感冒類型中“熱證多于寒證”，即使是寒證也多夾熱證。同時夏天冷飲空調(diào)，冬天厚衣暖氣，使得外寒內(nèi)熱或外熱內(nèi)寒之證變得尤為多見，也一反常態(tài)，出現(xiàn)夏天著涼的多，而冬天上火的多。所以，天冷的時候不一定是風寒，而天熱的時候也不一定是風熱。

師：小小的雪花到底蘊藏著多大的秘密，我們今天不妨來一探究竟！

1904年瑞典數(shù)學家科赫第一次用數(shù)學的方法描述了一種曲線，外形酷似一片雪花，所以我們稱它為“雪花曲線”或“科赫曲線”.下面我們也用數(shù)學的方法嘗試制作一片“雪花”.請同學們進行小組合作，在紙上完成以下操作：

第一步，將圖2-①的正三角形的每邊三等分，并以中間的一條線段為底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；

第二步，將圖2-②的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖2-③；

圖2

第三步，按上述方法無限多次繼續(xù)做下去，得到的曲線將會呈什么形狀？

設(shè)計意圖：合理設(shè)計操作探究活動，可以有效調(diào)動學生的學習興趣和參與的積極性.讓學生帶著對雪花的感性認識轉(zhuǎn)而理性地研究“雪花曲線”，通過操作探究活動，獲得寶貴的活動體驗經(jīng)驗，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).

德育點：在高中數(shù)學教學中，受行為主義影響較深的傳統(tǒng)教學觀念長期存在，教學內(nèi)容呈現(xiàn)出了相對固化的特征，這也就導致數(shù)學教學總體上比較枯燥乏味，教學效果也較為一般，學生一旦面對一些相對抽象的內(nèi)容，基本上都會出現(xiàn)難以理解與掌握的現(xiàn)象［3］.數(shù)學史的融入是數(shù)學教學體現(xiàn)人文性的有力抓手.從數(shù)學德育的責任維度來說，通過“雪花曲線”歷史故事的引入，滲透多元文化，拓展學生的文化視野.

師：通過自己動手，大家都作出了“雪花曲線”.但是我們發(fā)現(xiàn)，隨著生長次數(shù)的增加，小三角形越來越多，作圖也越來越困難.下面我們借助軟件，看看把“雪花曲線”的局部不斷放大后會是什么樣子.

教師利用幾何畫板縮小一個曲線與另一個不變的曲線進行對比，讓學生初步感受分形結(jié)構(gòu)的自相似性，如圖3所示.

圖3

德育點：有效探究活動的設(shè)計是促進學生主動思考的平臺，學生先動手，再通過計算機進行多次迭代，從理性維度出發(fā)，鼓勵學生運用已知的方法或結(jié)論類比未知的問題；從人格維度來說，哪怕學生在作圖時遇到了困難，也能讓他們在事物的曲折發(fā)展中認識挫折的價值.

（3）環(huán)節(jié)3：定量分析，合作研究

師：“雪花曲線”其實蘊藏著一些非常奇特的性質(zhì).剛才大家都體驗了“雪花曲線”的生成過程，觀察你們作出的圖形，查看“雪花曲線”有什么特點.

生1：“雪花曲線”是一條連續(xù)的折線.

生2：曲線到處長滿了“角”.

生3：當?shù)螖?shù)越來越多時，“角”的個數(shù)也越來越多，并且“角”越來越小.

生4：曲線向外生長得越來越慢.

師：大家從“形”的方面對“雪花曲線”有了初步認識.接下來，我們不妨從“數(shù)”的方面來定量研究“雪花曲線”.同學們覺得我們可以研究哪些方面？

生5：可以研究“雪花曲線”的邊長和邊數(shù).

生6：還有“角”的個數(shù).

生7：周長和面積.

師：非常好！同學們已經(jīng)具備了用數(shù)學的眼光觀察世界的能力.

設(shè)計意圖：教師提出問題啟發(fā)學生觀察“雪花曲線”的形狀，發(fā)現(xiàn)它是一個與我們平時研究的多邊形不同的平面多邊形，引導他們從邊長、邊數(shù)、周長、面積等方面提出問題.

德育點：從人格維度來說，通過師生問答，營造良好的課堂氛圍，借助合作學習培養(yǎng)學生尊重他人的思想意識，結(jié)合教學內(nèi)容布置合作學習任務，促使學生在合作完成學習任務的過程中，傾聽他人意見，相互學習優(yōu)點，并對比分析自身不足，逐漸提升自我.

師：方便起見，我們統(tǒng)一數(shù)據(jù)：設(shè)原正三角形的邊長為a，周長為L0，面積為S0，不妨把每一次作圖變化的過程叫做“生長”，則經(jīng)過第n次生長后曲線的周長為Ln，面積為Sn.請同學們嘗試填寫表2.（文中展示的是已經(jīng)填寫好的表格）

表2

設(shè)計意圖：學生經(jīng)歷互相交流、合作探究的過程后歸納出曲線生長的一般規(guī)律，抽象成數(shù)列模型后求得通項公式，最終得到所研究對象的結(jié)果，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的同時收獲成就感和自信心.值得注意的是，面積公式的推導具有一定的難度，需要教師的提示和輔助.

德育點：從理性維度來說，學生運用由特殊到一般的方法，推理曲線生長前后的數(shù)量關(guān)系，嘗試多角度思考問題，訓練嚴密的思維；從人格維度來說，學生在探究中學會傾聽和交流，這是對學生意志力、個性品質(zhì)等的培養(yǎng)，讓學生學會對自己的學習進行審視和反思.

（4）環(huán)節(jié)4：歸納結(jié)論，探源揭秘

師：當n趨于無窮大，即生長無限次時，“雪花曲線”的周長和面積有何性質(zhì)？

師（追問）：這個結(jié)果說明了什么？

生10：“雪花曲線”的周長是無窮大的，但面積是有限的.

師：通過剛才的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)：隨著“雪花曲線”生長次數(shù)的不斷增加，其周長不斷增加至無窮，而它的面積雖然也在不斷增加，但永遠不可能超過這是一個多么奇妙的現(xiàn)象.“雪花曲線”這個圖形，它具有有限的面積，而具有無限的周長.也就是說，存在一條無限長的曲線，圍成了一個有限面積的區(qū)域.

師：現(xiàn)在來看，是否存在一種曲線，它的長度可以繞地球好幾圈，卻能畫在一張小小的郵票上？

學生異口同聲：是！

師：這種現(xiàn)象最初被人們認為是十分怪異和荒誕的，但隨著人們不斷探索與研究，逐漸認識到了它的科學價值，并形成了一個新的數(shù)學分支——分形幾何.客觀自然界中許多事物，具有自相似的結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，適當?shù)胤糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)依然不變，比如各國的海岸線、天上的云朵、身上的血管等.

設(shè)計意圖：通過師生問答、合作討論，引導學生回顧并解決情境中的問題，教師帶領(lǐng)學生對“雪花曲線”從“形”的感性認識，通過“量”的計算過渡，上升到“質(zhì)”的理性認識，突破本節(jié)課的教學重難點.

德育點：從人文維度上來說，一朵小小的雪花蘊含著如此神奇的結(jié)論，培養(yǎng)學生辯證唯物思想和動態(tài)的數(shù)學信念.學生通過探索發(fā)現(xiàn)了事物的本質(zhì)，揭示了現(xiàn)象背后的真理，感受到了數(shù)學學科的實用性和科學性，以此提醒自己用數(shù)學的眼光觀察世界.

（5）環(huán)節(jié)5：分形拓展，教學相長

師：下面我們有請幾位同學，給大家介紹一下分形幾何的相關(guān)知識！

A同學介紹分形幾何的發(fā)展史：

英國的海岸線有多長？

圖5

B同學介紹各種自然界中存在的分形案例和用數(shù)學方式構(gòu)造的分形案例：“大自然的幾何學”

圖6

圖7

C同學從分形幾何的應用角度，展示分形藝術(shù)——曼德勃羅集.

圖8

圖9

設(shè)計意圖：數(shù)學拓展課具有一定的開放性，教師讓學生見識一些課本上學不到的知識——數(shù)學文化.學生通常樂于接收這類知識，參與展示的學生積極性較高，觀看的學生也是興趣盎然，教師亦有教學相長之感.此環(huán)節(jié)可以大大提高學生課堂學習的參與度和積極性.

德育點：此處的德育有多個維度，數(shù)學史的融入幫助學生感悟數(shù)學人文的內(nèi)涵，是滲透多元文化的良好契機；通過展示，學生的視野得到拓寬，感受多彩的自然現(xiàn)象與奇妙的數(shù)學世界的聯(lián)系，對數(shù)學之美有一個重新的認識，體現(xiàn)數(shù)學學科的人文價值；展示者前期對資料的收集整理，可以培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度，課內(nèi)的登臺亮相可以鍛煉他們的表達能力，同時有助于提升他們的文化自信.

（6）環(huán)節(jié)6：課堂小結(jié)，作業(yè)布置

課堂小結(jié)：

①“雪花曲線”有哪些特征？

②本節(jié)課你用到了哪些數(shù)學思想？

③談談分形幾何給你留下的印象.

作業(yè)布置：

思考題：上網(wǎng)查閱有關(guān)“謝爾賓斯基海綿”的資料.請你從數(shù)學的角度解釋：為什么它被稱為“有皮沒肉”的結(jié)構(gòu)體？另外，這樣的分形結(jié)構(gòu)體有何實際意義？

設(shè)計意圖：通過課堂小結(jié)和作業(yè)布置，以問題驅(qū)動的方式讓學生進行歸納總結(jié)，明確本節(jié)課學習的主要內(nèi)容和重難點，發(fā)展學生歸納概括的能力.

德育點：教師設(shè)計多元化數(shù)學作業(yè)，試圖從理性維度和責任維度，讓學生在掌握課堂知識的基礎(chǔ)上學會遷移應用，體會數(shù)學的文化價值和應用價值.

數(shù)學學科德育實踐反思

學科德育是一個不斷探索、逐步推進的過程，若以數(shù)學學科德育視角再次審視本節(jié)課，課堂從理性維度訓練學生嚴密的思維，從人文維度培養(yǎng)學生動態(tài)的數(shù)學信念，從人格維度鍛煉學生遭遇挫折時應具備的意志力，從責任維度提升學生的文化自信.

1.求真設(shè)計，落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

基于學科德育的高中數(shù)學教學設(shè)計，在教學過程中應充分挖掘發(fā)展核心素養(yǎng)的機會和載體，基于真實的情境設(shè)計，訓練學生嚴密的思維，在培養(yǎng)學生知識和能力的同時，注重學生數(shù)學思維和數(shù)學情感的發(fā)展.例如，在探究“雪花曲線”周長與面積的過程中，教師通過設(shè)置“問題串”引導學生觀察曲線生長前后的邊長、邊數(shù)、周長、面積的變化，并將數(shù)據(jù)填表做進一步分析，發(fā)展學生直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)；在根據(jù)遞推公式求解通項公式的教學中，通過歸納分析、累加求和，滲透邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；在通過極限結(jié)論解釋曲線生長變化的本質(zhì)規(guī)律時，引導學生將數(shù)學模型的結(jié)論返回到實際問題中去，用數(shù)學的語言表達世界.

2.崇善構(gòu)建，凸顯“學生中心”課堂

數(shù)學教育家波利亞說過，學習任何知識的最佳途徑，都是由學生自己去發(fā)現(xiàn)、探索、研究，因為這樣理解更深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.新課改強調(diào)“以人為本”的學生觀，主張將課堂還給學生.教師在課堂上要給予學生足夠的自主探究、獨立思考的機會和時間，讓學生在自主探究、合作交流的過程中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

本節(jié)課在體現(xiàn)學科德育的同時堅持以“學生為中心”的教學原則，創(chuàng)造機會與平臺，讓學生合作、交流、展示、聆聽、提升、構(gòu)建，通過學生自行動手，形成對“雪花曲線”的直觀感受；通過小組合作填表，生成對“雪花曲線”的理性認識；在解決問題與困難的過程中培養(yǎng)學生動態(tài)的數(shù)學信念，鍛煉學生的意志力；在師生、生生的互動中實現(xiàn)數(shù)學學科德育價值，落實學生數(shù)學關(guān)鍵能力和必備品格.

3.唯美滲透，蘊含數(shù)學文化價值

數(shù)學家羅素指出，“數(shù)學不但擁有真理，而且也擁有至高無上的美”.“雪花曲線”帶來的視覺沖擊吸引著學生去探索數(shù)學的奇異之美；數(shù)學文化的滲透讓學生對分形幾何概念的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程以及數(shù)學家運用的思想方法有了一定的了解，引導學生從不同的角度欣賞數(shù)學的統(tǒng)一之美；通過對“雪花曲線”通項公式的挖掘及極限的計算，感受數(shù)學的抽象之美……課堂教學不僅完成知識傳遞，更培養(yǎng)學生的審美能力與文化自信，滲透了數(shù)學德育的功效，傳遞著數(shù)學文化的情感溫度，以人性化的數(shù)學將“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”［4］，讓“理性”的數(shù)學呈現(xiàn)出“感性”之美.