北京市日壇中學(xué) 初 雨 樊 夢(mèng) 羅曉航

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出運(yùn)算能力是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。

結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科具有的邏輯性、連續(xù)性的特點(diǎn)，在小初高一體化背景下，梳理清楚不同學(xué)段發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的任務(wù)，在課堂上進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐，并積累相關(guān)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，形成一定的教學(xué)方法是十分有必要的。

一、選擇適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)載體，實(shí)現(xiàn)小升初平穩(wěn)銜接

初中數(shù)學(xué)第一章為“有理數(shù)”，探究數(shù)及其運(yùn)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容，有理數(shù)的學(xué)習(xí)是在自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上展開的學(xué)習(xí)，研究有理數(shù)的思想方法是后續(xù)研究數(shù)與式的基礎(chǔ)。學(xué)生在小學(xué)時(shí)對(duì)自然數(shù)的理解比較到位，相關(guān)運(yùn)算掌握得也更為準(zhǔn)確和熟練。而分?jǐn)?shù)則是一個(gè)難點(diǎn)，無論是分?jǐn)?shù)的概念還是分?jǐn)?shù)的相關(guān)運(yùn)算，因其抽象性和復(fù)雜性，造成錯(cuò)誤率還是較高的。為了更好地適應(yīng)初中的學(xué)習(xí)，教學(xué)時(shí)以分?jǐn)?shù)為載體，滲透研究數(shù)的基本思路與方法，不失為一個(gè)承上啟下的有效研究對(duì)象。

在課堂上教師設(shè)計(jì)了與小學(xué)分?jǐn)?shù)來源于實(shí)際生產(chǎn)生活的需要不同，從運(yùn)算的角度，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必然性.學(xué)生從數(shù)系內(nèi)部發(fā)展的需要，感受自然數(shù)對(duì)除法的不封閉，使得數(shù)系得到擴(kuò)充，了解原有的自然數(shù)“不夠用”的沖突，感受分?jǐn)?shù)的引入也是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的必然。

再以分?jǐn)?shù)運(yùn)算為載體，感受數(shù)學(xué)運(yùn)算的探究思路。理解分?jǐn)?shù)的意義，是弄清算理的前提，為后續(xù)研究分?jǐn)?shù)運(yùn)算奠定好認(rèn)知基礎(chǔ)。通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義，有下列三種不同的理解方式：

方式一：把一個(gè)整體平均分成5份，其中的3份。

方式二：把“3”平均分成了5份，其中的一份。

方式三：3除以5的商。

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解蘊(yùn)含著不同的認(rèn)知過程和對(duì)分?jǐn)?shù)概念的不同層次的抽象和理解。方式一反映出學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解是以實(shí)物為背景的，處于具體思維階段。方式二中學(xué)生把“3”理解為一個(gè)數(shù)字，抽象地把“3”進(jìn)行了平分。方式三中學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解是一種運(yùn)算過程，同時(shí)還是一種運(yùn)算的結(jié)果。在教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，深入認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)的深層次含義。

研究數(shù)的核心是研究數(shù)的運(yùn)算，小學(xué)自然數(shù)的運(yùn)算涉及加減乘除四則運(yùn)算，以及相應(yīng)的運(yùn)算律，引入分?jǐn)?shù)后，原有的運(yùn)算法則是否依然適用，是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)研究的核心。在教學(xué)時(shí)，為了達(dá)到掌握算理、理解算法的目標(biāo)，可以從算法入手，明確分?jǐn)?shù)加減法的法則，探究運(yùn)算程序構(gòu)建運(yùn)算流程，達(dá)到掌握算法、厘清算理、得出正確結(jié)論的目標(biāo)。

認(rèn)知發(fā)展心理學(xué)強(qiáng)調(diào)：兒童是認(rèn)知的主動(dòng)建構(gòu)者，兒童在學(xué)習(xí)過程中，不斷將新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念相聯(lián)結(jié)，進(jìn)而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣學(xué)習(xí)才具有意義。在進(jìn)入有理數(shù)概念學(xué)習(xí)之前，先以分?jǐn)?shù)為研究對(duì)象開展學(xué)習(xí)，是符合認(rèn)知發(fā)展心理學(xué)的。

二、大單元活動(dòng)設(shè)計(jì)下，逐步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，教學(xué)中教師對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了整合，以大單元設(shè)計(jì)的理念為指導(dǎo)，幫助學(xué)生逐步達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。以下以“有理數(shù)的加法”為例，對(duì)所開展的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行說明。

有理數(shù)的加法，是學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的相關(guān)概念之后接觸的第一個(gè)運(yùn)算。本單元的教學(xué)以學(xué)生原有對(duì)數(shù)的運(yùn)算能力為基礎(chǔ)，從運(yùn)算封閉的角度認(rèn)識(shí)了負(fù)數(shù)引入的必要性之后，對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行探究。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)從認(rèn)識(shí)運(yùn)算對(duì)象的角度學(xué)習(xí)了有理數(shù)。由于加法在運(yùn)算中的基礎(chǔ)地位，選擇其作為本單元的教學(xué)研究對(duì)象。

有理數(shù)加法的教學(xué)設(shè)計(jì)通過對(duì)法則的探究明確運(yùn)算法則，清楚運(yùn)算算理從而達(dá)到運(yùn)算能力要求的第一水平；探究運(yùn)算程序并正確執(zhí)行，得出正確結(jié)果，構(gòu)建運(yùn)算流程的意識(shí)，是在明確法則的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的要求，需要學(xué)生不僅會(huì)算，還能通過圖示將運(yùn)算步驟反映出來，達(dá)到運(yùn)算能力要求的第二水平；第三水平需要學(xué)生利用運(yùn)算律，依據(jù)算式的特征，簡(jiǎn)化運(yùn)算。通過三個(gè)水平層次的逐一落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

第一課時(shí)：有理數(shù)的加法法則

通過復(fù)習(xí)有理數(shù)的分類以及小學(xué)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，確定本節(jié)課研究的對(duì)象是兩個(gè)有理數(shù)的加法。通過學(xué)生對(duì)正數(shù)與正數(shù)的加法的解釋，建立具體的情境，學(xué)生通過對(duì)具體情境的分析體會(huì)研究方法，通過觀察算式與數(shù)軸，找到它們之間的聯(lián)系，得出確定符號(hào)和絕對(duì)值計(jì)算的方法，感受數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想，并歸納有理數(shù)加法法則，再有根據(jù)地開展有理數(shù)加法的運(yùn)算。

第二課時(shí)：有理數(shù)的加法運(yùn)算律

通過運(yùn)用流程圖解決課前調(diào)研中學(xué)生提出的假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)乘除法容易出錯(cuò)的問題，體會(huì)流程圖對(duì)理解法則，明確運(yùn)算過程的作用。通過練習(xí)鞏固有理數(shù)加法法則，進(jìn)一步明確運(yùn)算步驟，仿照帶分?jǐn)?shù)乘法流程圖，學(xué)生自主設(shè)計(jì)有理數(shù)加法運(yùn)算的流程圖。通過驗(yàn)證運(yùn)算律的合理性進(jìn)一步開始探究多個(gè)有理數(shù)的加法運(yùn)算的順序，運(yùn)算對(duì)象進(jìn)一步發(fā)展，分析運(yùn)算的思路，發(fā)現(xiàn)可以通過改變運(yùn)算順序簡(jiǎn)化運(yùn)算。

第三課時(shí)：有理數(shù)加法綜合

運(yùn)算對(duì)象進(jìn)一步遞進(jìn)，繼續(xù)探究多個(gè)有理數(shù)的加法，探索具有一定特殊形式的數(shù)字之間的關(guān)系，利用結(jié)構(gòu)特征優(yōu)化運(yùn)算順序，從而優(yōu)化運(yùn)算程序，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果。利用運(yùn)算律優(yōu)化多個(gè)有理數(shù)相加的運(yùn)算過程，形成有理數(shù)加法簡(jiǎn)便運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，通過運(yùn)算律的使用。從對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解和運(yùn)算程序的優(yōu)化兩個(gè)層面繼續(xù)對(duì)有理數(shù)的加法進(jìn)行理解，體會(huì)運(yùn)算思路的進(jìn)一步探索?？偨Y(jié)單元教學(xué)的知識(shí)和方法，學(xué)生提出接下來研究的思路。

通過大單元設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的認(rèn)識(shí)逐漸從低到高得到發(fā)展，對(duì)于運(yùn)算能力的要求也從明確法則—形成運(yùn)算程序—優(yōu)化運(yùn)算順序的不同水平從低到高得到發(fā)展。

三、形成反思習(xí)慣，發(fā)展自我監(jiān)控能力，提升運(yùn)算素養(yǎng)

反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，也是數(shù)學(xué)思維的一種重要形式。涉及運(yùn)算的問題多種多樣，及時(shí)地總結(jié)反思，不僅能夠提升學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的穩(wěn)固度，構(gòu)建穩(wěn)定的知識(shí)鏈，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生擁有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的自我監(jiān)控能力。

引領(lǐng)學(xué)生反思可以從以下五個(gè)問題入手：第一，怎樣做出來的？即解題方法是什么。第二，為什么這樣做？即解題的依據(jù)是什么.第三，怎么想到這種方法？即解題的思路是什么。第四，有無其他方法？哪種方法更好？?jī)?yōu)化解題思路，選取最優(yōu)策略。第五，改變某些條件或結(jié)論能否得出相關(guān)變式？一題多變，促使思維發(fā)散。

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)以某道錯(cuò)題為例，在左側(cè)寫一寫解決問題的思路，在中間寫出正確的解題過程，在右側(cè)寫出本題所涉及的所有知識(shí)點(diǎn)。這樣做可以讓學(xué)生明確自己知識(shí)上的欠缺，也能夠清楚正確的解題思路，有利于學(xué)生反思自己的解題過程，提升自我解題的監(jiān)控能力，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的逐步提升。

誠(chéng)然，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升任重而道遠(yuǎn)，需要長(zhǎng)期的堅(jiān)持培養(yǎng)與不斷的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)的運(yùn)算素養(yǎng)，需要分階段分步驟有計(jì)劃地進(jìn)行培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的訓(xùn)練，使學(xué)生具備基本的運(yùn)算技能，避免繁雜的題型訓(xùn)練，由易到難，明算理，知思路，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也能促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的逐步提升。

史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)基本思想的具體表現(xiàn)，具體地，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。開展提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐研究，能夠幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考、發(fā)展思維能力，進(jìn)一步培養(yǎng)理性精神。