肖 向，黃 健，陳佳豪，陳兵奎

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

擺線針輪行星傳動(dòng)具有傳動(dòng)比大、傳動(dòng)精度高、結(jié)構(gòu)緊湊、扭轉(zhuǎn)剛度高和傳動(dòng)效率高等突出優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、化工、冶金等領(lǐng)域[1-3]。擺線齒廓的精度是影響其傳動(dòng)精度的主要因素，采用金剛石滾輪修整技術(shù)的成形磨削法不僅加工效率和精度高，而且可實(shí)現(xiàn)擺線齒廓的任意修形，已經(jīng)成為擺線齒廓精加工的主流方法[4-5]。

高精度復(fù)雜形面金剛石滾輪一般采用內(nèi)電鍍法制造[6]，滾輪陰模基體形面是金剛石顆粒的定位基準(zhǔn)面，其形面精度是影響滾輪最終制造精度的關(guān)鍵因素[7-8]。金屬陰模基體在數(shù)控精密磨床上加工，對(duì)于擺線金剛石滾輪陰模基體的數(shù)控磨削加工，由于基體形面曲線復(fù)雜，必須用直線或圓弧段逼近原曲線[9]，為了提高其數(shù)控加工精度，插補(bǔ)算法的研究至關(guān)重要。

張敬東等[10]提出了一種等誤差直線插補(bǔ)算法用于擺線齒廓的數(shù)控加工;姚必強(qiáng)等[11]提出用等弧長圓弧擬合任意非圓曲線；CAD/CAM方法也廣泛應(yīng)用于復(fù)雜非圓曲線的數(shù)控加工，該方法的刀具路徑由許多細(xì)小的直線或圓弧段組成[12-13]。用上述方法擬合復(fù)雜非圓曲線，當(dāng)需要較高的插補(bǔ)精度時(shí)，插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)量多，且刀具路徑不具備G1連續(xù)性。采用雙圓弧插補(bǔ)法能有效解決上述問題，劉濤等[14-15]采用最優(yōu)切向量雙圓弧插補(bǔ)算法完成渦旋型線零件的數(shù)控加工，但該方法需要根據(jù)曲線能量極小條件計(jì)算最優(yōu)切向量，計(jì)算量大，擬合效率較低。

筆者基于雙圓弧插補(bǔ)法，求解出擺線滾輪陰?；w形面曲線方程，建立擺線滾輪陰?；w步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件求解插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行誤差分析，通過控制步長伸縮來調(diào)整插補(bǔ)誤差。最后通過計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證了該模型的可行性，在相同允差要求下可以提高加工效率，插補(bǔ)數(shù)據(jù)擬合的加工仿真曲線光滑平整，刀具路徑具備G1連續(xù)性，插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)控機(jī)床即可用于數(shù)控程序編制。

1 擺線滾輪陰?；w形面曲線方程

圖1 擺線滾輪陰?；?體加工坐標(biāo)系Fig. 1 Machining coordinate system of female mold workpiece

擺線滾輪陰?；w加工坐標(biāo)系如圖1所示，陰?；w加工坐標(biāo)系為O1-X1Y1，擺線齒廓坐標(biāo)系為O-XY，O1X1軸線與OX軸線的距離為D。擺線滾輪陰模基體形面曲線除P1O2P2段外皆為過渡圓弧及直線段，P1O2P2段曲線與擺線齒廓曲線形狀相同，且P1O2段曲線與O2P2段曲線關(guān)于Y1軸左右對(duì)稱，因此只需對(duì)陰模基體形面O2P2段曲線進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算。

O2P2段形面曲線在擺線齒廓坐標(biāo)系中的曲線方程式為：

(1)

式中：Rz為針輪中心圓半徑；e為偏心距；zb為針輪齒數(shù)；zg為擺線輪齒數(shù)；rz為針齒半徑；ΔRz為移距修形量；Δrz為等距修形量；K=ezb/(Rz+ΔRz)；θ∈[0,θmax]；θmax=π/zg。

對(duì)O2P2段形面曲線在擺線齒廓坐標(biāo)系中的曲線方程式進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算后，通過簡單的平移變換矩陣即可將插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到陰?；w加工坐標(biāo)系中，再將數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)控機(jī)床便可完成數(shù)控加工程序的編制。

2 擺線滾輪陰?；w步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)數(shù)學(xué)模型

2.1 雙圓弧插補(bǔ)原理

圖2為雙圓弧插補(bǔ)原理圖，在加工曲線上任取相鄰2點(diǎn)ti(xi,yi)、ti+1(xi+1,yi+1)，Ti、Ti+1分別為曲線上點(diǎn)ti、ti+1的切矢，過ti、ti+12點(diǎn)沿切矢方向作兩線段相交于點(diǎn)T得到△titi+1T，△titi+1T的內(nèi)心是圖2中的M點(diǎn)。

圖2 雙圓弧插補(bǔ)原理Fig. 2 Principle of double arc interpolation

過ti、ti+1點(diǎn)分別作線段tiT、ti+1T的垂線，同時(shí)過M點(diǎn)作線段titi+1的垂線與上述2條垂線交于O1、O2點(diǎn)。以O(shè)1點(diǎn)為圓心，O1ti為半徑作圓弧，圓弧起點(diǎn)為ti，終點(diǎn)為M；同理以O(shè)2為圓心、O2ti+1為半徑確定另一段起點(diǎn)為ti+1、終點(diǎn)為M的圓弧，由此確定了復(fù)雜曲線上任意相鄰2點(diǎn)間的插補(bǔ)雙圓弧段[16]。

當(dāng)完成ti與ti+12點(diǎn)間雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算后，繼續(xù)進(jìn)行下一相鄰2節(jié)點(diǎn)ti+1、ti+2間的計(jì)算，Ti+1、Ti+2分別為原加工曲線上點(diǎn)ti+1、ti+2的切矢，設(shè)ti+1與ti+22點(diǎn)間插補(bǔ)圓弧段對(duì)應(yīng)的圓心分別為O3、O4。由以上雙圓弧插補(bǔ)原理分析可知，圓心O2對(duì)應(yīng)的圓弧與切矢Ti+1相切于ti+1點(diǎn)，圓心O3對(duì)應(yīng)的圓弧同樣與切矢Ti+1相切于ti+1點(diǎn)，故不僅相鄰節(jié)點(diǎn)ti、ti+1間插補(bǔ)的雙圓弧段具有公共切向量，而且同一節(jié)點(diǎn)ti+1兩側(cè)的圓弧段在節(jié)點(diǎn)ti+1處也具有公共切向量Ti+1。因此當(dāng)采用雙圓弧法插補(bǔ)擺線滾輪陰?；w形面曲線時(shí)，插補(bǔ)的圓弧段在任意連接點(diǎn)處均有公共切向量，刀具路徑具有G1連續(xù)性。

2.2 雙圓弧半徑及公切點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)計(jì)算

在圖2中，設(shè)整體坐標(biāo)系為o-xy，o-xy是固定坐標(biāo)系；局部坐標(biāo)系為ti-uivi，ti-uivi是動(dòng)坐標(biāo)系。在o-xy坐標(biāo)系中，設(shè)線段tiT、ti+1T與x軸的夾角為γi、γi+1，線段titi+1與x軸的夾角為θi，線段titi+1的弦長為Li。

γi及γi+1的值可以通過切矢Ti、Ti+1求得，由陰模基體形面曲線方程式(1)可求得Ti、Ti+1，故有

(2)

(3)

線段titi+1與x軸的夾角為

(4)

線段titi+1的弦長為

(5)

設(shè)點(diǎn)M在坐標(biāo)系o-xy、ti-uivi中的坐標(biāo)矢量分別為(xM,yM,1)T、(uM,vM,1)T，局部坐標(biāo)系到整體坐標(biāo)系的變換矩陣為M0i，可求得

(6)

局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量可通過變換矩陣M0i轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中

(xM,yM,1)T=M0i(uM,vM,1)T。

(7)

如圖3所示，局部坐標(biāo)系ti-uivi中，由內(nèi)心幾何性質(zhì)可知，Mti平分∠Ttiti+1(圖中β1)，Mti+1平分∠Tti+1ti(圖中β2)。

圖3 雙圓弧坐標(biāo)計(jì)算Fig. 3 Double arc coordinate calculation

在△titi+1T中，內(nèi)角β1、β2為

β1=γi-θi，

(8)

β2=π-(γi+1-θi)。

(9)

在△titi+1M中，由正弦定理可以推出

(10)

由于∠MNti、∠TtiO1均為90°，可以求出

ltiN=ltiMcos(β1/2)，

(11)

lMN=ltiMsin(β1/2)，

(12)

(13)

(14)

因此在局部坐標(biāo)系下，可以求出公切點(diǎn)M坐標(biāo)為

(15)

圓心O1、O2坐標(biāo)分別為

(16)

(17)

兩段圓弧半徑R1、R2為

(18)

圓弧半徑值R1、R2和公切點(diǎn)M及圓心O1、O2在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值均已計(jì)算完畢，通過坐標(biāo)變換矩陣M0i即可得到公切點(diǎn)M及圓心O1、O2在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

2.3 擺線滾輪陰?；w雙圓弧插補(bǔ)誤差分析

完成兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)計(jì)算后，需要對(duì)產(chǎn)生的插補(bǔ)誤差進(jìn)行分析控制。插補(bǔ)誤差的理論值是原廓形曲線上任意點(diǎn)沿其法線方向上與插補(bǔ)圓弧曲線間距離的最大值，在實(shí)際應(yīng)用中可簡化計(jì)算，取原廓形曲線上任意一點(diǎn)到插補(bǔ)圓弧圓心的距離與兩段圓弧半徑(R1或R2)之差的最大值為插補(bǔ)誤差。

圖4 插補(bǔ)誤差計(jì)算Fig. 4 Calculation of interpolation error

上圖中Li為兩節(jié)點(diǎn)ti、ti+1之間的直線距離，將Li等分為N+1段，一般N+1取10到15，將等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中求出擺線滾輪陰?；w形面曲線上的點(diǎn)pj(xj,yj)(j=1,2,…,N)，比較xj與xM(圓弧公切點(diǎn)橫坐標(biāo)值)的大小，當(dāng)xj≤xM時(shí)，原形面曲線被擬合成第一段圓弧，此時(shí)的插補(bǔ)誤差為

(19)

式中m是第一段圓弧對(duì)應(yīng)的最后一個(gè)等分點(diǎn)，且m

當(dāng)xj>xM時(shí)，原形面曲線被擬合成第二段圓弧，此時(shí)的插補(bǔ)誤差為

(20)

ε1j與ε2j中的最大值即為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)誤差ε，即

ε=max(ε1j,ε2j)。

(21)

判斷任意相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)誤差ε與所允許的插補(bǔ)誤差σε的大小，如果ε>σε，縮小步長直至滿足ε<σε的要求；而當(dāng)ε遠(yuǎn)小于σε時(shí)，可適當(dāng)增大步長使得插補(bǔ)誤差小于并接近于插補(bǔ)允差，這就是步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法的實(shí)質(zhì)。

2.4 擺線滾輪陰?；w步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法

進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)時(shí)，如果插補(bǔ)段曲線凹凸性不一致，會(huì)出現(xiàn)S型擬合圓弧。因此曲線上若存在拐點(diǎn)應(yīng)將曲線分段再進(jìn)行插值計(jì)算。曲率計(jì)算公式為

(22)

由曲率k=0求得O2P2段曲線拐點(diǎn)處參數(shù)角為

(23)

因此O2P2段曲線需分為[0,θ1]、[θ1,θmax]兩段進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算。

O2P2段曲線的步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法計(jì)算步驟如下：

1)給定初始參數(shù)角θ0和初始步長角Δ，計(jì)算相鄰2節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)ti(xi,yi)和ti+1(xi+1,yi+1)及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的切矢Ti、Ti+1，由雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算原理求出公切點(diǎn)M、圓心O1、O2點(diǎn)坐標(biāo)值及相應(yīng)圓心半徑R1、R2的值。

2)將相鄰2節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)誤差與插補(bǔ)允差σε比較，同時(shí)為了提高加工效率，對(duì)插補(bǔ)允差設(shè)定一個(gè)下限值σεmin。若ε>σε，步長角減小一半調(diào)整曲線上節(jié)點(diǎn)ti+1的位置重新進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算直至滿足誤差要求；若ε<σεmin，適當(dāng)增大步長角使插補(bǔ)誤差接近插補(bǔ)允差，當(dāng)θi≥θmax時(shí)，終止計(jì)算。

擺線滾輪陰?；w步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法流程如圖5所示。

圖5 步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法流程圖Fig. 5 Flow chart of variable-step-double-arc interpolation algorithm

3 計(jì)算實(shí)例分析及仿真

取40E擺線輪工件參數(shù)作為計(jì)算實(shí)例參數(shù)，其中e=1.3，zb=40，zg=39，rz=2.5，Rz=63.7，ΔRz=-0.1，Δrz=0.075，θ∈[0,π/39]。將上述參數(shù)代入擺線滾輪陰模基體形面曲線方程式中，根據(jù)上節(jié)中的插補(bǔ)算法流程在MATLAB軟件中編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

初始參數(shù)角θ0=0，初始步長角選取0.001 2 rad，插補(bǔ)允差σε=0.01 μm。以初始步長角等分參數(shù)角取相同插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)，可以得到69個(gè)插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)。分別采用雙圓弧插補(bǔ)法與直線插補(bǔ)法對(duì)O2P2段曲線進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算，在O2P2段曲線上隨機(jī)連續(xù)選取8個(gè)插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)，插補(bǔ)誤差對(duì)比結(jié)果如表1所示。

表1 雙圓弧與直線插補(bǔ)誤差對(duì)比結(jié)果

當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同時(shí)，表中結(jié)果顯示直線插補(bǔ)只有最后2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的插補(bǔ)誤差小于插補(bǔ)允差，其他節(jié)點(diǎn)間的誤差遠(yuǎn)大于插補(bǔ)允差σε，而雙圓弧插補(bǔ)誤差均小于插補(bǔ)允差σε。直線插補(bǔ)最小誤差為0.009 μm，雙圓弧插補(bǔ)最大誤差為2.176 nm，雙圓弧插補(bǔ)最大誤差比直線插補(bǔ)最小誤差降低了75%，對(duì)比任意節(jié)點(diǎn)處得到的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)插補(bǔ)誤差均降低75%以上。

等步長角得到的雙圓弧插補(bǔ)誤差曲線如圖6(a)所示，通過分析插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)可知，在超過一定參數(shù)角后，繼續(xù)以滿足插補(bǔ)誤差的步長角插補(bǔ)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)過于集中，從而插補(bǔ)誤差的最值出現(xiàn)數(shù)量級(jí)的差距，加工程序更加冗長，且加工零件表面質(zhì)量不均勻。

采用圖5所示的步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法，對(duì)加工允許誤差設(shè)定一個(gè)下限值σεmin=0.001 μm，當(dāng)插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)間的誤差小于下限值時(shí)，適當(dāng)增加步長角調(diào)整節(jié)點(diǎn)ti+1在曲線上的位置，使得插補(bǔ)誤差小于并接近插補(bǔ)允差。

圖6(b)是控制步長角伸縮后的插補(bǔ)誤差曲線圖，插補(bǔ)誤差均小于插補(bǔ)允差σε。在滿足同一插補(bǔ)允差時(shí)，等步長角的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)為69個(gè)，控制步長角伸縮后插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)為30個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)目減少了55%，插補(bǔ)的圓弧段也減少了55%。因此在相同插補(bǔ)允差要求下控制步長角伸縮可以提高擺線滾輪陰模基體工件的加工效率，同時(shí)可以保證加工表面質(zhì)量均勻。

圖6 等步長角與伸縮步長角誤差曲線對(duì)比圖Fig. 6 Comparison of interpolation error curves of equal step angle and telescopic step angle

圖7曲線是由步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合的O2P2段加工仿真曲線，由于擬合的圓弧段在每個(gè)離散點(diǎn)處都有公共切向量，因此擬合曲線一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，擬合曲線表面光滑平整，刀具路徑具有G1連續(xù)性，保證了工件的加工質(zhì)量。

圖7 O2P2段曲線加工仿真圖Fig. 7 Processing simulation diagram of O2P2 curve

4 結(jié) 論

以擺線金剛石滾輪陰?；w為加工對(duì)象，基于雙圓弧插補(bǔ)法，建立了擺線滾輪陰?；w步長伸縮雙圓弧插補(bǔ)數(shù)學(xué)模型，該模型插補(bǔ)點(diǎn)求解方便，控制步長伸縮可以調(diào)整插補(bǔ)誤差。對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)例計(jì)算及仿真，得出結(jié)論如下：

1)雙圓弧插補(bǔ)誤差小于0.01 μm，在節(jié)點(diǎn)數(shù)相同時(shí)其插補(bǔ)誤差比直線插補(bǔ)誤差降低75%，滿足擺線滾輪陰?；w高精度加工要求。

2)控制步長伸縮，在同精度允差下擬合圓弧段數(shù)減少55%，可以提高擺線滾輪陰模基體工件的加工效率。

3)由插補(bǔ)算法原理及插補(bǔ)數(shù)據(jù)擬合的加工仿真曲線可知，插補(bǔ)的任意相鄰圓弧段彼此相切，擬合曲線表面光滑連續(xù)，刀具路徑具備G1連續(xù)性。