◎石錦彪

(廣東省珠海市斗門區(qū)蓮洲鎮(zhèn)蓮溪學校，廣東 珠海 519135)

曾經有一名學生拿著一道有關“用頻率估計概率”的數學題問我，題目如下：

小新拋一枚質地均勻的硬幣，連續(xù)拋2次，第一次硬幣落地為正面朝上，那么第二次拋硬幣，硬幣反面朝上的概率為( )

A.0 B.0.25 C.0.5 D.1

學生選擇了D，據他的理解，根據“用頻率估計概率”知識，硬幣正、反面朝上的概率都是05，既然第一次是正面，那么第二次肯定是反面，所以概率是1雖然學生的理由貌似充分，但顯然學生對課本的實驗和大數定律存在一定的誤解

1 教材實驗分析

教材的實驗是以拋擲硬幣為主，分別統(tǒng)計“正面向上”和“反面向上”的頻數與頻率，通過學生實驗、觀察、記錄、歸納出大數定律然而，“拋擲硬幣”實驗過于單調，重復而簡單，學生容易產生厭倦感，易出現隨意應付，亂填實驗數據的情況，從而影響實驗結果

筆者對實驗的材料進行篩選，發(fā)現概率起源于賭博，故設計了一個實驗——骰子大小，這不僅能提高學生的學習興趣，還能在學科教學中滲透德育教育——禁賭教育

2 教學實驗設計

本節(jié)課是數學實驗探究課，所以教師對于實驗設計應花心思，重過程，使趣味性與實用性相結合，培養(yǎng)學生的數學實驗和數據分析素養(yǎng)本次數學實驗以“投骰子買大小”為模擬背景，設計模擬場景，讓學生通過實際操作，感受大數定律的適用條件，并體會為什么可以用頻率估計概率生動的實驗能吸引學生的注意，把實驗的重復性和單調性沖淡，同時進行禁賭教育，把德育教育融入學科教育中具體操作流程如圖1所示

圖1

3 教學實驗過程

3.1 課前預習，熟悉流程

教師在上課前一天布置預習任務，讓學生了解投骰子的規(guī)定；并在班級群上傳演示實驗的視頻，讓學生熟悉實驗的流程和注意事項教師提前準備實驗器材，確保當天實驗物資充足學生了解實驗具體要求和操作事項

3.2 創(chuàng)設情境，提出問題

教師：我們學過求概率的方法有什么？

學生：列舉法求概率

問題1 同時擲三枚質地均勻的骰子，計算下列事件的概率：

(1)三枚骰子的點數相同

(2)三枚骰子點數的和大于或等于11

設計意圖：通過復習回顧概率的基礎知識，幫助學生回憶所學知識，為本節(jié)課的學習準備基礎知識

問題2 列舉法求概率適用范圍是什么？

學生：結果有限，可能性相等的隨機事件

教師：但很多時候事件發(fā)生的可能性并不均等，例如每個骰子的質量和大小都會存在誤差，這使得骰子之間并不一致我覺得列舉法有漏洞，那有沒有更好的辦法？我們不妨從這節(jié)課的知識來解析為什么會出現“十賭十輸”的情況

設計意圖：以舊知識的漏洞，引發(fā)疑問，引出新方法、新理論，為之后的實驗驗證埋下伏筆，引出模擬場景

3.3 師生討論，設置場景

問題3 如果我連續(xù)投骰子40次，結果是“大”的次數應該為20次，你們認為對嗎？

設計意圖：再次混淆頻率與概率的含義，引發(fā)對立矛盾，激發(fā)興趣

學生：正確，因為“大”的概率是05

學生：不正確，40次里面不一定恰好20次“大”

教師：我們不妨做一個投骰子的實驗來體驗一下，看看到底誰對誰錯

設置模擬投骰子：

三個骰子算總點數，總點數為3至10稱作“小”，總點數11至18為“大”

學生：我昨天有預習，根據課本知識，我能做到不輸錢，甚至還能贏錢！

教師：有些人正是覺得學習了概率知識，就掌握了骰子大小的規(guī)律，能做到不輸甚至贏錢但他們忽視了一些因素，我們不妨從一會兒的實驗結果來看看大家到底是贏錢了還是輸錢了

設計意圖：制定實驗規(guī)則，模擬投骰子場景，讓學生通過實驗驗證自己的猜想，讓學生體會數學知識來源于生活，體會概率知識在禁賭中的價值

3.4 小組合作，實驗探究

活動1 小組實驗活動

活動要求 ①分組：7人為一組，共8組，其中組長1人，組員6人②分工：組長負責搖骰子和負責記錄“大”“小”出現次數；組員利用道具錢幣進行投注③任務：每個小組搖骰子50次，如表1所示④展示：每個小組派代表把實驗數據填入電腦的Excel總表上，如表2所示

表1 學生投骰子統(tǒng)計表

表2 投骰子出現“大”次數小組統(tǒng)計表

教師：同學們猜想40次的搖骰子，出現20次“大”或“小”的機會相等嗎？請同學們觀察上表，小組討論一下，說說你們小組發(fā)現了什么？

學生：每個小組的結果不一樣，每個小組“大”的頻率不一樣這可能與統(tǒng)計數據太少有關，我們不妨把每個小組的數據統(tǒng)計放一起，看看“大”的頻率是多少

教師：那我們把全部小組的數據進行匯總，大家看一看

3.5 小組交流，探究發(fā)現

每個小組的實驗數據匯總如表3所示

表3 投骰子出現“大”的次數與頻率的總統(tǒng)計圖

投骰子出現“大”的頻率對應的折線圖如圖2所示

圖2

活動2 分析圖表，初探結論

對比各個小組的統(tǒng)計表和對應的折線圖，分析相關圖表的數據內涵

設計意圖：讓學生經歷數據的收集，整理描述與分析的過程，進一步提高學生的統(tǒng)計意識，為下一步發(fā)現數據中隱藏的規(guī)律做好準備

學生：隨著投骰子次數增加，出現“大”的頻率逐漸向 05 靠攏出現“小”的頻率也逐漸向05靠攏

3.6 師生交流，總結結論

教師：由于開始實驗次數太少，得到開“大”的頻率與概率可能有較大的誤差，但通過學生投骰子次數的增加，頻率有什么變化？

學生：頻率逐漸穩(wěn)定在一個數——05

得出結論：大數定律——隨著大量的重復實驗，一個隨機事件發(fā)生的頻率可以估計它的概率

3.7 模擬場景，發(fā)掘誤區(qū)和賦予德育

統(tǒng)計學生投骰子的結果，讓學生分享其中的心理變化過程

活動3 探究學生輸錢的原因

學生1：之前有幾次連續(xù)開“大”，我覺得下一次肯定開“小”，所以全部投注了“小”，但結果還是開“大”

教師：人們常常誤以為，隨機就等同于均勻過去一段時間內發(fā)生的事件不均勻，大家就會以為未來的事情會盡量向“抹平”的方向發(fā)展也就是如果連續(xù)開“大”幾次的話，人們就自認為下一次開“小”的機會就會更大但大數定律工作機制，不是為了和過去已發(fā)生的事情搞平衡與對抗隨機性是不受之前的結果影響的也就是說，每一次投骰子，都與之前的結果是沒聯系的

學生2：根據生活經驗和課本的知識，我每次都投注“大”相同的金額，但還是輸錢了，為什么呢？

教師：這是另一個坑——賭徒破產定理你們覺得投注了50次，開“大”的頻率應該等于概率——05，這是你們對大數定律的誤解，大數定律成立的條件是“大量重復”實驗那具體得多少次才算“大量”，數學家給出了答案是無窮大

設計意圖：通過實驗情況與理論知識的矛盾，加強學生對大數定律的進一步理解，使學生認識在具體情境中運用大數定律時要注意隨機性與大量性

學生3：我開始時小額投注，贏了一點，之后膽子大了，加大投注的金額，反而輸錢了

學生4：我也是這種情況，想加大投注，贏回之前的本錢，但越是這樣想，越輸得多

教師：因為賭徒的心理一般是一贏錢，就開始變得大膽；一輸錢，就想回本往往以血本無歸收場

設計意圖：通過分析實驗情況與學生心理狀況，加強學生對禁賭的進一步理解，使學生認識在具體情境中運用實驗結論，探究賭博的危害，培養(yǎng)學生禁賭和反賭的意識

3.8 運用新知，堂上小測

活動4 學生根據剛才的知識，解決具體問題

①小新拋一枚質地均勻的硬幣，連續(xù)拋三次，硬幣落地都為正面朝上，如果她第四次拋硬幣，那么硬幣正面朝上的概率為( )

②下列說法正確的是( )

A.“明天晴天的概率是90%”表示明天有90%的時間都有太陽

C.“彩票中獎的概率是01%”表示買1000張彩票肯定會中獎

③在一個不透明的口袋中裝有6個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他相同通過多次摸球試驗后發(fā)現，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有( )

A.16個 B.18個 C.20個 D.22個

④在一個不透明的盒子中裝有個小球，它們只有顏色上的區(qū)別，其中有3個綠球，每次摸球前先將盒子中的球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現，摸到綠球的頻率穩(wěn)定在03，那么可以推算出大約是________

⑤某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結果出現的頻率折線圖，如圖3所示，則符合這一結果的試驗可能是( )

圖3

A.拋一枚硬幣，出現反面朝上

B.擲一個正六面體的骰子，出現4點朝上

C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是黑桃

D.從一個裝有2個白球1個紅球的袋子中任取一球，取到的是紅球

⑥在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種球共60個，小穎做摸球實驗，她從中隨機摸出一個球記下顏色放回，不斷重復上述過程，下面是實驗中的一組統(tǒng)計數據：

摸球的次數n1003005008001000摸到白球的次數m65178302481599摸到白球的頻率0.650.5930.6040.6010.599

(1)請估計：當很大時，摸到白球的頻率將會接近________；(精確到01)

(2)假如你摸一次，你摸到黑球的概率(黑球)=______；

(3)試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少只

思考題：魚塘主想知道魚塘里有多少條魚，但又不想全部撈起來小明想到一個辦法，首先捕撈30條魚，在魚身上做上記號然后放回池塘，接著第二天再捕撈一網，這次捕到50條魚，其中5條魚是有記號，則可以算出池塘中魚的條數約為________

設計意圖：培養(yǎng)學生用頻率估計概率解決實際問題的能力

4 教學反思

在教學實驗的設計中，如果教師采用課本的實驗，教學課題會因為學生缺乏興趣而變得枯燥乏味，不利于學生對實驗的操作與探究，造成學生對知識理解不到位，出現文章開頭的因學生理解錯誤而做錯題的情況從這次實驗活動的過程看，學生對投骰子活動非常感興趣，自主探究，對相關知識的記憶、理解和掌握更加深刻在教學中，教師和學生共同解決各種疑問，實驗探究結論，分析結論的成因，可以培養(yǎng)學生發(fā)現問題、實驗操作、小組合作、獨立思考的能力，使學生體驗數學發(fā)現和探究精神和樂趣

5 結 語

初中階段數學教材中，實驗操作內容較少，有些實驗過于單調和枯燥，教師可以根據生活實際對此進行調整數學實驗的設計可以從趣味性、實用性、德育滲透等方面進行修改，讓學生重視數學實驗，認真對待實驗操作環(huán)節(jié)并思考實驗結論，從而培養(yǎng)學生的數學思維和核心素養(yǎng)