李英杰 劉 杰 左建平 祝 捷 薛東杰 劉 慶

*(中國礦業(yè)大學（北京）力學與建筑工程學院，北京 100083)

?(遼寧工程技術大學力學與工程學院，遼寧阜新 123000)

一流課程建設目標要求“兩性一度”，即通過增加課程“挑戰(zhàn)度”，突出“創(chuàng)新性”，提高學生“高階性”思維能力。高階性思維有別于低階思維能力中的記憶、理解和應用，其強調認知目標中對知識、能力和素質的有機融合[1]。工程力學專業(yè)中的“力學思維能力”包括力學建模、理論推導、分析和計算、解決實際問題等，是高階性思維的具體體現(xiàn)。實踐選題訓練是一項在實踐教學中培養(yǎng)學生力學思維能力的重要教學手段，因此對具有高度抽象的力學理論基礎課教學尤為重要[2]。

諸多學者在力學專業(yè)基礎課教學改革中提出了高階性思維培養(yǎng)思路：葉紅玲等[1]構建了理論力學的“1+4+N”課堂教學體系，梳理了理論力學知識脈絡，實踐了高階性課程目標建設；李敏等[3]基于相關課程內(nèi)容的關聯(lián)度，力學模型假設及問題的數(shù)理本質設計了具有“挑戰(zhàn)度”的材料力學課程內(nèi)容，為高階性思維能力培養(yǎng)提供了案例實施；王婕等[4]提出大學生創(chuàng)新性思維源于主觀能動性激發(fā)的觀點，強調教師在理論力學課堂教學中應注重引導啟發(fā)以及互動討論。盡管諸多研究成果為以“創(chuàng)新型人才”培養(yǎng)為核心的理論基礎課教學實施提供了寶貴借鑒，但目前高階性培養(yǎng)目標下的實踐選題訓練教學實施仍有待加強。為此，本文圍繞高階性課程目標，構建力學課程知識點關聯(lián)性結構框架，研究實踐選題訓練在知識點關聯(lián)性框架中的定位，從培養(yǎng)學生力學思維能力的角度出發(fā)，設計實踐選題訓練的教學內(nèi)容。同時以工程力學專業(yè)理論力學中的自由剛體運動知識點為例，說明其具體實施過程。

1 知識點關聯(lián)性框架下的實踐選題訓練定位

為了說明實踐選題訓練在知識點關聯(lián)性框架中的布設定位，參照文獻[1]的研究思路闡明高階性教學目標下知識點關聯(lián)性的教學框架構筑。課程知識體系的關聯(lián)性體現(xiàn)在三個層次：一是課程體系內(nèi)部知識點的關聯(lián)；二是課程與課程之間的關聯(lián)；三是課程與實踐的關聯(lián)。構建課程知識點的關聯(lián)性，需按高階性課程體系建設重新設定教學目標，以核心知識點為中心關聯(lián)基礎知識、課程內(nèi)容的相關概念、知識拓展，并結合多種教學方式來完成。本文以自由剛體運動為例探討如何構建知識點的關聯(lián)性，首先重新梳理這部分教學內(nèi)容并設定高階性的教學目標，具體如下。

（1）能夠理解剛體定點運動歐拉角、角速度矢量和角加速度矢量的基本概念；計算定點運動剛體角速度、角加速度以及剛體上各點速度和加速度；分析剛體定點運動中速度和加速度之間關聯(lián)。

（2）理論聯(lián)系實際，能分析生活和工程中相關的運動學問題。

（3）能夠理論推導定點運動歐拉動力學方程及陀螺儀近似理論。

（4）能夠分析陀螺儀的三種動力學特性：定向性、進動性、陀螺效應；能夠應用陀螺近似理論求解陀螺規(guī)則進動的動力學問題。

（5）能夠建立剛體一般運動的運動學與動力學的基本理論與分析方法，提升學生的科學研究創(chuàng)新能力。

依據(jù)設定的教學目標建立了知識點的關聯(lián)性，如圖1所示。剛體繞定點運動的核心知識是推導定點運動剛體歐拉動力學方程及陀螺近似理論公式，以及應用陀螺近似理論分析陀螺儀的三種動力學特性，并求解規(guī)則進動的動力學問題。相關的基礎知識包括剛體簡單運動和平面運動的運動學描述、點的合成運動、動量矩定理，相關概念包括：歐拉角、歐拉定理、瞬時轉動角速度和角加速度、剛體上各點的速度和加速度。自由剛體運動是剛體繞定點運動的知識拓展，教師引導學生如何進行其運動學描述，及推導自由剛體運動中相對于質心的歐拉動力學方程及陀螺近似理論公式，這部分教學內(nèi)容是為了強化學生對核心知識的理解和應用，可以結合實例作為實踐選題訓練提升學生力學思維?？梢?，實踐選題訓練體現(xiàn)在課程與實踐的關聯(lián)層次，定位于知識點關聯(lián)性框架中核心知識點的知識拓展。

圖1 剛體繞定點運動知識點關聯(lián)性

2 力學思維能力培養(yǎng)的實踐選題訓練內(nèi)容設計特征

為了培養(yǎng)學生的力學思維能力，實踐選題訓練內(nèi)容設計要體現(xiàn)三方面：（1）強化核心概念和方法；（2）揭示問題的數(shù)理本質及建立力學模型；（3）理論聯(lián)系實際。同時選題要具有可實施性、趣味性及可拓展性并兼具挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性。

剛體繞定點運動的拓展知識點為剛體一般運動，其速度概念及動力學特性是教學的難點[5]。例如：鐵餅運動比賽時，投擲者一手持鐵餅，在投擲圈內(nèi)通過旋轉動作使鐵餅在最后用力前獲得預先動量和對質心的角動量（動量矩），從而擲出盡可能遠的距離，這是典型的剛體一般運動，因此可以將鐵餅的動力學分析作為實踐選題訓練。此外，鐵餅的運動形式較為簡單，且作為奧運會的田徑競技項目較為人熟知，能夠引起學生的共鳴，激發(fā)學習興趣。

結合鐵餅運動，將實踐選題訓練內(nèi)容設計邏輯特征關系繪制如圖2所示。鐵餅運動分析的數(shù)理基礎為剛體相對于質心的歐拉動力學方程及陀螺近似理論公式。實踐訓練要求學生建立鐵餅運動學模型，結合課上重點講授的定點運動公式推導以及學習過的質點系相對于質心的動量矩定理，完成鐵餅運動相對質心的歐拉動力學方程及陀螺近似理論公式的解析推導，具有一定的挑戰(zhàn)性。最后結合理論分析鐵餅動力學特性，分析鐵餅自轉對提高投擲距離的作用，同時分析鐵餅投擲的初速度以及自轉角速度匹配度對投擲距離的影響。學生對問題有更多的思考空間，體現(xiàn)了訓練的可拓展性，能夠培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決實際問題的能力和力學創(chuàng)新思維。

圖2 實踐選題訓練內(nèi)容設計邏輯特征關系圖

3 力學思維能力培養(yǎng)的實踐選題訓練教學架構

實踐選題訓練具體實施可按照模型建立（力學模型或者運動學模型）、數(shù)理基礎、力學原理的三段式來架構，通過反復訓練和強化，逐漸培養(yǎng)學生的力學思維。

3.1 模型建立

首先對鐵餅飛行中的受力狀態(tài)進行分析，如圖3所示。

圖3 鐵餅的受力狀態(tài)圖

當鐵餅以適宜的攻角δ（鐵餅重心線與相對風速vrev夾角）拋出時，流經(jīng)鐵餅上表面的氣流被壓縮，氣流速度增大，流經(jīng)鐵餅下表面的氣流剛好相反，這就導致上表面附近氣體流速高于下表面附近氣體的流速，由伯努利定理可知鐵餅下表面氣體壓強比上表面的壓強大，上下之間形成了壓強差而產(chǎn)生空氣作用力[6]。空氣作用力沿著vrev方向分解的力為空氣阻力D，空氣阻力主要指壓差阻力，其值為：其中Cd1為無量綱的壓差阻力系數(shù)，A為鐵餅在垂直于相對速度vrev方向的截面積。空氣作用力沿與相對速度vrev垂直方向分解的力為升力，其量值為：式中Cl為無量綱的升力系數(shù)。鐵餅受到的空氣阻力、升力的合力作用點在壓力中心處，風壓中心一般情況下并不與重心重合。進一步研究表明[7]：以右手投擲運動員為例，鐵餅按順時針方向轉動，并按圖3中投擲方向拋出。鐵餅前半部分受到的空氣作用力較后半部分要大，另外由于鐵餅自轉導致的左半部分壁面的速度大于右半部分的速度（順著鐵餅投擲方向看），則左面受到的空氣作用力大于右壁面，因此風壓中心在鐵餅質心主軸連體坐標系的Cx′y′第一象限P點?？諝庾饔昧′軸的矩將導致鐵餅前緣在飛行過程中抬頭引起攻角增大，對y′軸之距使得鐵餅左側逐漸傾斜引起翻滾。另一方面，空氣作用力相對于質心會產(chǎn)生力矩MC(F) ，其表達式如式（1）所示，在其作用下鐵餅運動將發(fā)生進動，由于這種運動比較抽象，學生理解難度較大，在3.2節(jié)中將對其進行詳細地推導說明。

圖4 為鐵餅飛行的運動學模型。如圖4(a)，賦予鐵餅一定的角動量，則鐵餅可以靠初速vdiscus作慣性飛行，同時又繞其質量對稱軸（垂直于餅面的軸）高速旋轉，在重力和空氣作用力下形成如圖4(a)曲線運動軌跡。對于能保持平穩(wěn)飛行的鐵餅（圖4(b)），與陀螺運動特性對比，鐵餅質量對稱軸（垂直于餅面的軸）相當于陀螺軸z′軸，其自轉角速度為ω，與鐵餅質心的速度相對風速vrev方向（空氣阻力方向）垂直的軸為z軸。z和z′軸之間的夾角δ就是攻角，陀螺受到重力矩作用產(chǎn)生進動，鐵餅所受重力過重心，但空氣作用力相對質心產(chǎn)生力矩MC(F) ，在其作用下鐵餅運動與陀螺相似也將產(chǎn)生進動。模型建立過程使學生對核心知識點包含的深刻內(nèi)涵有所理解，并且使學生在從剛體定點運動到一般運動分析的過程中拓展思維。

圖4 鐵餅飛行的運動學模型

3.2 鐵餅進動動力學的數(shù)學本質

建立如圖5所示的慣性參考系oxyz和隨體參考系o′x′y′z′，隨體參考系的原點取在鐵餅質心C上，以C為基點，建立一個始終保持平移的坐標系Cζηξ，鐵餅的運動可分解為隨質心C的平移和繞質心的定點運動。

圖5 鐵餅飛行運動學參考系

參照定點運動歐拉動力學方程推導過程[8]，完成鐵餅對質心的動量矩公式推導（式(2)）。

式中在平移參考系Cζηξ下，ri′為任一質點mi的相對矢徑，vir為相對速度，vi為絕對速度。

當x′y′z′是通過剛體質心的慣量主軸時

此式為鐵餅對質心的動量矩表達式。公式推導過程需要學生根據(jù)核心知識點拓展后自主完成，實踐選題訓練中要注重力學模型的建立及數(shù)學推導的嚴密性以及公式簡化的依據(jù)。這個過程使得學生對力學問題數(shù)理推導的嚴謹性有了更加深刻的認識。

在某一瞬時，鐵餅自轉角速度為ω，繞z軸的角速度為ωH，因此LC=Jx′ωHx′i′+Jy′ωHy′j′+Jz′(ω+ωHz′)k′；LC對時間t求導得

結合式（1）和式（4）可得鐵餅規(guī)則進動公式為

3.3 鐵餅的動力學特性分析

如果鐵餅初始投出時不施加旋轉角動量，空氣作用力將使鐵餅翻轉，從而使攻角δ變大（如圖6(b)所示），攻角在一定范圍內(nèi)增大將增加升力，有利于延長鐵餅在空中的飛行時間，但如果攻角過大，鐵餅上表面的氣流會分離，導致阻力劇增，升力突然下降產(chǎn)生失速[6]。

圖6 鐵餅不旋轉攻角增大示意圖

鐵餅在空中飛行同時高速自轉，如果不考慮空氣作用力，重力對質心的矩為0，此時鐵餅在飛行中將繞垂直餅面的質心軸z′轉動，并且質心軸的方位保持不變，具有定向性。當考慮空氣作用力時，鐵餅所受力矩矢量如圖4(b)所示，與陀螺運動相似，鐵餅的對稱軸Cz′不會“傾倒”，但繞著z軸發(fā)生進動，鐵餅偏離運動軌跡平面，但由式（5）可知，由于鐵餅的自轉角速度很大，進動角速度較小，鐵餅進動導致偏離量很小，實驗結果也證實這一結論[9]。高速自轉使鐵餅在空中進動飛行抑制了翻滾和縱轉使鐵餅飛行平穩(wěn)，保持其穩(wěn)定性可以抑制攻角增大延遲失速。為了分析運動員出手時鐵餅的自轉角速度ω對投擲距離影響，需結合質心運動定理求得鐵餅運動方程，對比有無自轉條件下鐵餅投擲距離。

鐵餅在自轉穩(wěn)定飛行情況下的受力圖如圖6(a)，建立Cxy直角坐標系，得鐵餅質心運動定理在x和y方向投影式

為了簡化計算，假設風速方向和鐵餅質心運動方向共線，則相對速度vrev=v±vwind?？諝庾枇在x和y方向上的分量Dx和Dy可以寫成

同理，Lx和Ly分別為升力L在x和y方向上的分量，可以寫成

式中vx和vy分別為鐵餅質心速度vdiscus沿x和y方向的分量；θ為速度vdiscus與水平方向的夾角，其正弦和余弦可用速度分量表示

將式（8）～式（13）代入式（6）和式（7），可得速度表征的運動微分方程（14）和（15）。

在給定鐵餅相關初值條件的情況下，可以得到微分方程的數(shù)值解。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)[10]可得到Cl和Cd隨攻角變化結果，如圖7所示。質量m=1900 g，重力加速度g= 10 m/s2，空氣密度ρ=1200 g/m3，出手時質心速度vx(0) = 18 m/s，vy(0) = 18 m/s。設自轉穩(wěn)定飛行條件下鐵餅面與x軸平面夾角保持30°不變，此時鐵餅迎風的最大橫截面面積A取0.01 m2，忽略進動偏轉影響。將鐵餅不自轉拋出時失速條件下計算結果進行對比，失速條件下僅受重力和空氣阻力，此時設鐵餅的迎風橫截面面積為0.031 4 m2。將初始條件代入微分方程（12）和（13）可求解速度，速度對時間積分可得運動方程，通過MATLAB編程繪制鐵餅運動軌跡變化曲線，如圖8所示。計算結果分別為考慮自轉與不考慮自轉條件下鐵餅運動軌跡，從圖中看出運動員出手時鐵餅失速的投擲距離明顯最小，無論有無風速自轉角速度ω都使得投擲距離增大，其影響可達10 m以上，運動員用手腕和手指撥餅的力量加強對于提高投擲成績作用顯著。事實上，鐵餅自轉角速度達到一定值時，對投擲距離影響就很小了，如果過分追求較大的自轉角速度，還會導致鐵餅剛出手時的初速度下降從而降低成績，出手時的初速度和自轉角速度應具有最佳匹配性，類似于乒乓球的運動分析，感興趣的同學可以進一步探討研究。上述鐵餅動力學原理分析過程使學生將理論知識應用于解決實際問題，促進了對核心知識點的內(nèi)化吸收，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維。

圖7 空氣動力系數(shù)

圖8 鐵餅運動軌跡變化曲線

4 小結

以力學思維能力培養(yǎng)為核心的實踐選題訓練教學設計與實施中，在目標定位、訓練結構布設、師生主客體關系方面提出以下建議。

（1）知識點關聯(lián)性框架構筑，可在重構高階性教學目標基礎上，圍繞核心知識點關聯(lián)基礎知識、基本概念、拓展知識等建立相關知識單元，其有助于學生明晰概念和構筑知識體系；實踐選題訓練作為重要的教學手段，立足于高階性教學目標下的知識與實踐的關聯(lián)層次，定位于實現(xiàn)知識點關聯(lián)性框架中的知識拓展。

（2）實踐選題訓練可按“模型建立、數(shù)理基礎、力學原理”三段式布設訓練結構，學生完成建模、理論推導、理論聯(lián)系實際的閉環(huán)訓練，這一過程不僅僅是知識的簡單應用，更要促進核心知識的內(nèi)化和擴充，著重體現(xiàn)力學思維能力培養(yǎng)。

（3）實踐選題訓練環(huán)節(jié)中教師可通過設定較寬泛的完成方法和成果形式，充分激發(fā)學生主觀能動性。有效結合教師講授的“客觀性”與學生學習的“主觀性”，最終達到提升學生力學思維能力培養(yǎng)的目的。但教學實施中也要強調教師在拓展訓練中的監(jiān)督和指導作用，避免學生因知識運用能力不足導致任務執(zhí)行失敗。