王 振 韓佳琦 李媛媛 王 芳 張德勝 張振楠

*(大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116081)

?(上海海洋大學(xué)工程學(xué)院，上海 201306)

**(江蘇大學(xué)流體機械工程技術(shù)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

??(中國石油大學(xué)（華東）儲運與建筑工程學(xué)院，山東青島 266580)

近年來，隨著深海油氣田開發(fā)的發(fā)展，油氣混輸海洋立管逐漸受到更多的關(guān)注[1]。中國近海蘊藏著豐富的油氣資源，但中國近海，尤其是南海和東海區(qū)域夏季臺風(fēng)頻發(fā)，出于安全考慮，海上油氣平臺和立管系統(tǒng)在遭遇臺風(fēng)等惡劣海況時，選擇油氣田關(guān)井操作是應(yīng)對策略之一。油氣混輸立管在臺風(fēng)等惡劣海況下的動力響應(yīng)關(guān)系到平臺安全性。油氣混輸立管的動力響應(yīng)和安全預(yù)報的準確分析對平臺的決策十分重要。當深海立管自身的自然頻率與由立管所受外力作用的頻率相近時，立管的振幅會明顯增大，發(fā)生復(fù)雜的耦合共振現(xiàn)象，導(dǎo)致立管的疲勞損傷甚至失效[2]，從而造成巨大的經(jīng)濟損失和嚴重的環(huán)境污染。

海洋立管振動特性的研究對于了解其動力學(xué)行為安全性非常重要，確定立管的自然頻率和振型對分析其動力學(xué)行為非常關(guān)鍵。Pa?doussis等[3]利用物理實驗?zāi)Ｐ秃蛿?shù)學(xué)模型研究了考慮內(nèi)部流體流速影響輸油柔性管道的動力特性和穩(wěn)定性問題，進一步確定了內(nèi)部流體對立管振動特性的影響。由于油氣分離以及考慮重力作用，控制方程變成變系數(shù)的微分方程，很難解析求解。國內(nèi)外很多學(xué)者對這方面的內(nèi)容展開了研究，比如Dareing等[4]采用冪級數(shù)方法、Kim[5]采用WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin)方法、Soltanahmadi[6]基于傅里葉分析方法、Zhang等[7]利用有限元法、Cheng等[8]采用動態(tài)剛度法與WKB理論相結(jié)合等等一些數(shù)值方法來計算立管的振動自然頻率和振型。Chen等[9]采用微分變換方法給出8種邊界條件下的自然頻率和振型，Huang等[10]采用伽遼金法研究了不同邊界條件下輸流管道流固耦合的自然頻率，Xu等[11]利用同倫攝動法系統(tǒng)地導(dǎo)出了具有固支邊界條件的流體輸送管道的自然頻率，Ni等[12]推廣了一種新的半解析法-微分變換法，用于分析具有不同邊界條件的輸流管道的自由振動問題，Chen等[13]用變分迭代法計算了不同邊界條件下海洋立管的自然頻率和振型，Li等[14]發(fā)展了一種新的變分迭代法計算了不同邊界條件下的輸流管道的自然頻率。與單相流情況不同，由于氣液相邊界處的復(fù)雜運動或者相互作用，以及材料性質(zhì)，如密度、表面張力、黏度等的差異，兩相流誘發(fā)振動的機制可能會有很大不同。Liang等[15]利用微分求積法分析了不同邊界條件下流體輸送管道的動態(tài)特性。Miwa等[16]在廣泛而全面的文獻綜述基礎(chǔ)上，對管道系統(tǒng)兩相流誘發(fā)振動研究的最新進展進行了全面的回顧和介紹。而后，An等[17]采用廣義積分變換技術(shù)對輸送氣液兩相流管道的動力學(xué)行為進行了分析和數(shù)值研究，為管道的自然頻率和橫向位移提供了高精度的數(shù)值解。馬曉旭等[18]利用有限元軟件ADINA對水平管內(nèi)氣液兩相流誘導(dǎo)的振動進行了數(shù)值模擬研究，發(fā)現(xiàn)含氣率的變化對管道振動的固有頻率和振型具有明顯的影響。Enrique等[19]從理論上研究了兩端固定且豎直的輸送氣液兩相流管道的動力學(xué)行為，特別是通過伽遼金法研究了流動參數(shù)對自然頻率的影響。田曉潔等[20]運用ANSYS軟件對氣液兩相流立管振動進行了模態(tài)分析，研究了流體邊界條件對立管自然頻率和振型的影響。

油氣混輸立管在關(guān)井狀態(tài)下，管道內(nèi)留存的油氣由于重力作用將自然沉降，密度較大的液態(tài)介質(zhì)將沉降到管道的底部，而密度較小的氣相更容易聚集在管道的上部，從而導(dǎo)致管道內(nèi)流體的密度分布和張力分布不均勻，這和管道內(nèi)流體相對均勻混合的工作狀態(tài)差異較大，導(dǎo)致管道的振動頻率和振動特征發(fā)生改變，進而改變動力學(xué)行為。臺風(fēng)影響期間，海況環(huán)境更加惡劣，對油氣混輸立管的載荷也更危險，對系統(tǒng)的安全性考驗更強，上述振動特性的改變對立管安全影響很大，有必要針對關(guān)井狀態(tài)下的油氣混輸管道的振動特征單獨分析。

本文針對關(guān)井狀態(tài)下的油氣混輸立管橫向振動，首先建立關(guān)井狀態(tài)下油氣混輸立管橫向振動的索模型，給出了能夠描繪張力沿索變化的變系數(shù)微分方程。然后采用變量分離法，結(jié)合邊界條件和連接點處位移和斜率變化連續(xù)性條件，給出變系數(shù)微分方程解的Bessel函數(shù)表達式和關(guān)井狀態(tài)下油氣混輸立管振動的自然頻率和模態(tài)函數(shù)。最后分析關(guān)井狀態(tài)下油氣混輸立管內(nèi)體積分數(shù)，流體密度和張力變化對立管振動自然頻率和模態(tài)的影響。對關(guān)井狀態(tài)油氣混輸立管的安全性評估具有參考意義。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 控制方程

油氣混輸立管在分層狀態(tài)下和混合均勻狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，記柔性立管整長為L2，立管頂端平臺的頂張力為T，以平臺位置為坐標原點，x軸方向為立管垂直向上的方向，y方向為水平方向，也是立管振動位移y(x,t) 的方向。假設(shè)立管內(nèi)部的油氣在關(guān)井狀態(tài)下分為兩段，連接平臺的長度為L1的上段立管內(nèi)為氣態(tài)物質(zhì)，連接水下生產(chǎn)系統(tǒng)的長度為L2-L1的下段管內(nèi)為液態(tài)物質(zhì)。本文中用到的立管振動物理量及其對應(yīng)的符號表示見表1。

表1 立管參數(shù)符號Table 1 The parameters and symbols of a riser

由于本文考慮長細比較大的柔性管道，所以忽略立管彎曲剛度的作用，采用索模型建立立管的振動控制方程。上段含氣段立管單位長度所受的浮力單位長度立管質(zhì)量單位質(zhì)量垂向所受合力基于立管微元的受力分析，按照標準的小振幅弦振動方程推導(dǎo)方法，得到立管在x∈[-L1,0] 上的控制方程y1(x,t) 滿足

下段含液段立管單位長度所受的重力Fg=單位長度立管質(zhì)量m2=π

1.2 邊界條件

在實際海洋環(huán)境中，柔性立管的邊界條件經(jīng)常被理想化成特殊情況。本文假定連接立管的上端海上平臺為固定平臺，連接立管下端的生產(chǎn)系統(tǒng)也固定不動，在這種理想狀態(tài)下的邊界條件為

同時假設(shè)兩段立管連接處位移相等，且位移沿立管方向切線斜率相等，則有連續(xù)性條件

2 模型解析求解

本節(jié)給出由式(1)～式(4)組成系統(tǒng)的求解。

利用變量分離法，令

將式（6）代入式（5）得到時間部分滿足的方程為

空間部分滿足的方程為

由于方程（8）是變系數(shù)方程，故引入變量η，令則空間部分方程可以轉(zhuǎn)化為

這個橫向振動方程的空間部分化為零階Bessel方程，對于方程（10）的解可以用Bessel函數(shù)表示

并通過變量變換，方程（8）的解可以表示為

其中C0，C1為任意常數(shù)。

與解上段含氣段立管振動方程類似，同樣利用變量分離法，令

上段含氣段立管與下段含液段立管的時間部分是相同的，即T1(t)=T2(t) ，則Z2(x) 滿足

得到下段含液段立管振動方程的模態(tài)函數(shù)

其中C2和C3為任意常數(shù)。

邊界條件（3）和連續(xù)性條件（4）由變量分離形式（6）和式（14）轉(zhuǎn)化為

將方程通解形式（12）和式（16）代入到式（17）中得到

欲使方程（18）存在非零解，需滿足系數(shù)行 列式為0，即

其中C3為任意常數(shù)。

為便于模態(tài)分析，本文采用如下的模態(tài)歸一化方法[21]

3 自然頻率的影響因素分析

3.1 數(shù)值算例

本節(jié)通過具體算例分析油氣混輸立管在關(guān)井狀態(tài)下的自然頻率和模態(tài)函數(shù)[22]。柔性立管外徑D=355.6mm ， 內(nèi) 徑d=335.6mm ， 密 度ρ1=7850kg/m3，立管上段充滿密度為ρ2=1kg/m3的氣體，下段充滿密度為 9 00kg/m3的原油，海上平臺提供的頂張力T=3700N ，重力常數(shù)g=9.8N/kg，海上平臺到水下生產(chǎn)系統(tǒng)總長度L2=1500m。經(jīng)計算可知上段含氣段立管單位長度質(zhì)量m1=85.32kg ，單位長度立管所受浮力Fb=137.1477N，下段含油段立管單位長度質(zhì)量m2=164.84kg ，單位長度立管所受重力Fg=642.1483N。

為了對比分析關(guān)井狀態(tài)下、工作狀態(tài)下以及均勻張力時立管的振動特征和動力學(xué)行為，本文將這三種狀態(tài)定義為三種工況。

工況1：關(guān)井狀態(tài)，即油氣在重力作用下分離直至靜置分層。此時氣態(tài)物質(zhì)分布在立管的上半段，液態(tài)物質(zhì)分布在立管的下半段。在本文算例中假定上段氣態(tài)物質(zhì)為天然氣，下段液態(tài)物質(zhì)為原油。在關(guān)井狀態(tài)下假設(shè)上段含氣段立管長度L1=750m ，則下段含油段立管長度也為 7 50m ，其余物理量按照算例中的參數(shù)選取。

工況2：工作狀態(tài)，即柔性立管內(nèi)天然氣與原油混合均勻。為了便于與關(guān)井狀態(tài)對比分析，與L1=750m 對應(yīng)，假設(shè)工作狀態(tài)時為立管中原油、天然氣體積分數(shù)各一半混合均勻。通過本文算例中具體參數(shù)，算得工作狀態(tài)時柔性立管的單位長度質(zhì)量m=125.08kg ，單位長度立管所受重力Fg=252.5020N 。

工況3：張力分布均勻狀態(tài)，為了便于與關(guān)井狀態(tài)、工作狀態(tài)對比分析，本文是在油氣分離靜置分層后即L1=750m 時，通過上段含氣段立管張力積分與下段含油段立管張力積分求和取得總張力，再平均分布到立管總長取得平均張力，即平均張力公式為

通過本文算例中具體參數(shù)，算得的平均張力G=1376.727261N。張力分布均勻狀態(tài)下柔性立管方程為：ytt-(Gyx)x=0 ，邊界條件為：y(0,t)=0,y(-L2,t)=0。

表2給出了工況1到工況3的前6階自然頻率。通過對比三種狀態(tài)下自然頻率發(fā)現(xiàn)：關(guān)井狀態(tài)下立管的最低階自然頻率大于工作狀態(tài)下油氣混合均勻時立管的最低階自然頻率，最低階自然頻率相差為6.637%，關(guān)井狀態(tài)其余各階自然頻率均大于工作狀態(tài)時立管的自然頻率；第2階到第6階的自然頻率相差小于10%。與張力均勻分布相比，關(guān)井狀態(tài)下立管的自然頻率總體變大；隨著自然頻率的階數(shù)升高，工況3與工況1的自然頻率之差逐漸減小，從第1階自然頻率相差90.65%到第6階自然頻率相差38.196%，說明兩種工況相差較大。關(guān)井狀態(tài)下立管的振動分析更加符合臺風(fēng)期的實際情況，因此有必要對臺風(fēng)期的關(guān)井狀態(tài)進行單獨考慮。

表2 三種工況下的前6階自然頻率Table 2 First six natural frequencies under three working conditions

L1=750m前6階自然頻率下歸一化模態(tài)函數(shù)如圖2，油氣混合均勻時前6 階自然頻率下歸一化模態(tài)函數(shù)如圖3，從圖2和圖3中發(fā)現(xiàn)，油氣混合均勻時與關(guān)井狀態(tài)下靜置分層后立管在各階模態(tài)函數(shù)變化規(guī)律一致：上段含氣段立管振動幅值明顯高于下段含油段立管振動幅值；隨著模態(tài)的增加，最大幅值所對應(yīng)的腹點越靠近平臺，幅值為零所對應(yīng)的節(jié)點也越靠近平臺。

圖2 L 1=750m 時前6階自然頻率下歸一化模態(tài)函數(shù)Fig.2 Normalized mode functions at the first six natural frequencies when L1=750m

圖3 油氣混合均勻時前6 階自然頻率下歸一化模態(tài)函數(shù)Fig.3 Normalized mode functions at the first six natural frequencies when the oil and gas mix evenly

圖4給出了三種工況即關(guān)井狀態(tài)、工作狀態(tài)、張力均勻狀態(tài)下在各階自然頻率下的歸一化模態(tài)函數(shù)，從圖中可以看出：與張力分布均勻時相比，關(guān)井狀態(tài)時由于張力不均勻，模態(tài)函數(shù)形狀發(fā)生了改變，含氣段立管和含油段立管振動幅度不相同，模態(tài)函數(shù)最大幅值的腹點、幅值為零的節(jié)點都更靠近平臺；與關(guān)井狀態(tài)相比，油氣井工作狀態(tài)時最大幅值的腹點和幅值為零的節(jié)點會比關(guān)井狀態(tài)更靠近平臺。

圖4 柔性立管的三種工況下在前6階自然頻率下的振型Fig.4 Vibration shapes of flexible risers at the first six natural frequencies under three working conditions

3.2 油氣體積分數(shù)、液體密度、頂張力對立管模態(tài)的影響

在關(guān)井狀態(tài)下，立管內(nèi)的氣態(tài)物質(zhì)與液態(tài)物質(zhì)會出現(xiàn)分層現(xiàn)象，密度較小的氣態(tài)物質(zhì)會上升，而密度較大的液態(tài)物質(zhì)則會下沉，當管內(nèi)的油氣體積分數(shù)不同，或者管內(nèi)輸送不同密度的液態(tài)物質(zhì)時，這些變化會對立管的自然頻率和模態(tài)函數(shù)產(chǎn)生影響?？紤]到立管處于深海環(huán)境中，其自然頻率和模態(tài)函數(shù)也會受到平臺頂張力的影響。

本文用上段立管長度L1取值的大小來描述在關(guān)井狀態(tài)下上層氣體所占體積分數(shù)的多少，從而來分析對自然頻率及模態(tài)函數(shù)的影響。通過改變L1的值，來分析對應(yīng)的各階自然頻率變化規(guī)律，如圖5，給出了前6階自然頻率隨L1的變化圖像，從圖5中可以看出當L1逐漸增大時，各階自然頻率均逐漸減小，同時發(fā)現(xiàn)L1的變化對高階自然頻率影響要大于對低階自然頻率的影響。

圖5 L1 對自然頻率的影響Fig.5 Effect of L 1 on natural frequencies

本文考慮上段含氣段立管長度為100 m，250 m，500 m，750 m，1000 m，1250 m這6個立管狀態(tài)，并分別計算了每個立管狀態(tài)的前6階模態(tài)函數(shù)，對模態(tài)函數(shù)歸一化處理后，比較了每個模態(tài)下隨上段含氣段立管長度增加的變化，圖6給出了在前6階模態(tài)下隨L1變化的歸一化模態(tài)函數(shù)，通過對比分析可知如下。

（1）在每個模態(tài)下，以圖6(b)為例，當L1=100m時，上段含氣段立管的振動幅度在0.0015～0.002之間，下段含油段立管的振動幅度在 0.0005～0.001 之間，明顯小于含氣段立管的振動幅度；當L1=250m 時，上段含氣段立管的振動幅度在 0.002～0.0025 之間，下段含油段立管的振動幅度在 0.0005～0.001 之間；當L1=1250m時，上段含氣段立管的振動幅度在0.001～0.0015之間，下段含油段立管的振動幅度在0.0005～0.001之間。由此可見，隨著L1的變化，上段含氣段立管的振動幅度均大于下段含油段立管的振動幅度，分析圖6其他各階自然頻率的模態(tài)函數(shù)圖像，結(jié)論一致。

（2）取含氣段立管長度為 2 50m ，觀察圖6(a)～圖6(f)中L1=250m 對應(yīng)的各階歸一化模態(tài)函數(shù)，在第1階自然頻率下，最大腹點的位置大約在 2 30～250m 之間；在第2階自然頻率下，最大腹點的位置大約在 1 00～120m 之間；在第3階自然頻率下，最大腹點的位置大約在70～90m之間；在第4階自然頻率下，最大腹點的位置大約在 5 0～70m 之間；在第5階自然頻率下，最大腹點的位置大約在 4 0～50m 之間；在第6階自然頻率下，最大腹點的位置大約在30～40m之間。由此可見：當含氣段立管長度固定時，隨著自然頻率階數(shù)的增加，立管各階模態(tài)函數(shù)的最大腹點越來越靠近平臺；振動幅度最大的立管位置也會隨著自然頻率階數(shù)的增加而靠近平臺。

（3）在各階自然頻率下，以圖6(a)為例，L1=100m 時，最大腹點大約在 1 0 0～200m 之間，L1=250m 時，最大腹點大約在 2 3 0～2 5 0m 之間；L1=500m時，最大腹點大約在 2 50～270m 之間；L1=750m 時，最大腹點大約在270～290m之間；L1=1000m 時，最大腹點大約在290～310m 之間；L1=1250m 時，最大腹點大約在310～330m 之間。由此可見：隨著L1的逐漸增大，即管內(nèi)氣體逐漸增加時，最大腹點逐漸向左側(cè)即深水方向移動，分析圖6其他各階自然頻率的模態(tài)函數(shù)圖像，結(jié)論一致。

柔性立管內(nèi)液體密度的變化也會對立管的自然頻率產(chǎn)生影響。關(guān)井狀態(tài)下，立管靜置分層，上段為氣態(tài)物質(zhì)，下段為液態(tài)物質(zhì)。在考慮液體密度變化對立管自然頻率影響的過程中，本文假定立管上段氣態(tài)物質(zhì)的密度保持不變，其余各物理量參數(shù)均不變，只改變下段液態(tài)物質(zhì)的密度，如圖7，隨著管內(nèi)液體密度減小，立管各階自然頻率逐漸減小，但總體變化較為平穩(wěn)。

平臺處的頂張力的改變也會影響立管的自然頻率?？紤]關(guān)井狀態(tài)下，上段含氣段立管和下段含液段立管的長度和密度均保持不變，即上段立管長度為 7 50m ，管內(nèi)仍為天然氣，下端立管長度為 7 50m ，管內(nèi)為原油，其余各物理量參數(shù)不變，僅改變平臺處的頂張力大小，如圖8所示。隨著海上平臺頂張力的增加，立管各階自然頻率逐漸增加，但總體變化也較為平緩。同時，結(jié)合圖7和圖8可見：頂張力和密度的變化對高階自然頻率影響比對低階自然頻率影響較明顯。

圖7 密度對自然頻率影響Fig.7 Effect of density on natural frequencies

圖8 頂張力對自然頻率影響Fig.8 Effect of top tension on natural frequencies

4 結(jié)論

本文分析了海上油氣混輸系統(tǒng)在關(guān)井狀態(tài)下，油氣分層導(dǎo)致立管內(nèi)張力和液體密度分布不均勻問題，建立了分段立管橫向振動的數(shù)學(xué)模型，求解出自然頻率和模態(tài)函數(shù)表達式，分析了油氣占比、液體密度、頂張力對立管振動特征的影響，并與油氣混合均勻、張力均勻時做對比分析，得到結(jié)論如下。

（1）基于分離變量方法，給出了關(guān)井狀態(tài)下立管橫向振動的自然頻率和模態(tài)函數(shù)的表達式，和工作狀態(tài)以及張力均勻假設(shè)下的立管振動自然頻率對比發(fā)現(xiàn)，三種工況的自然頻率相差較大，有必要單獨分析關(guān)井狀態(tài)工況。 通過關(guān)井狀態(tài)與工作狀態(tài)立管的自然頻率、模態(tài)函數(shù)作對比分析發(fā)現(xiàn)，相比油氣井工作狀態(tài)，關(guān)井狀態(tài)下除最低階自然頻率變大外，其余各階自然頻率均小于工作狀態(tài)時自然頻率。

（2）通過關(guān)井狀態(tài)與張力均勻分布時立管的自然頻率、模態(tài)函數(shù)作對比分析發(fā)現(xiàn)：相比張力均勻，關(guān)井狀態(tài)下靜置分層后立管的自然頻率大，且低階頻率對張力改變更加敏感；關(guān)井狀態(tài)下最大幅值的腹點和幅值為零的節(jié)點向平臺方向移動。

（3）隨著柔性立管含氣段長度逐漸增大，立管的自然頻率逐漸減??；下段管中液態(tài)物質(zhì)密度越大，立管的自然頻率越大；平臺頂張力越大，立管自然頻率越大。對于各階模態(tài)函數(shù)，上段含氣段管的振動幅度大于下段油管的振動幅度，且隨著上段含氣段管長度逐漸增加，最大腹點會向深水方向移動。