江蘇省宜興第一中學(xué) (214200) 吳繼敏

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個核心內(nèi)容和一種最基本的活動形式，羅增儒教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)教育中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無一例外地有數(shù)學(xué)解題活動”，而“一題多解”恰恰是解題教學(xué)中最常用、最有效的一種教學(xué)手段與技術(shù).“一題多解”是從不同角度分析問題，根據(jù)所給信息，應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗，通過觀察、推測和想象，沿著不同方向思考、重組已有信息，獲得多種解法的過程.“一題多解”具有激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深入理解、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識與探究精神等不可替代的教育功能.不難發(fā)現(xiàn)，“一題多解”是促使數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)發(fā)生的有效載體與途徑.但縱觀當(dāng)前數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的“一題多解”，存在著只重視羅列解法，而忽視對解法之間聯(lián)系的分析、只追求方法的巧妙性，而忽視學(xué)生實際的理解能力；教師只顧講解方法，而忽視學(xué)生參與等諸多問題.這些問題如果不能得到有效解決，不僅無法實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，反而使“一題多解”成為學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān).本文以2020全國Ⅰ卷理第20題為例談?wù)勅绾螐摹耙活}多解”走向深度學(xué)習(xí).

圖1

(Ⅱ)證明:直線CD過定點.

1 梳理解題思路，理解學(xué)生認(rèn)知

解題的第一步需要對問題進(jìn)行觀察、表征，進(jìn)而分析、解決，“多解”需要尋找多個觀察角度進(jìn)行梳理，從而才能引發(fā)多方面的聯(lián)想.梳理的目的是為了建立條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，然后才能通過意義建構(gòu)獲得正確的解題思路.條件與結(jié)論的關(guān)聯(lián)程度決定了問題的難度，如果題目中給出的條件與結(jié)論本身存在著明顯的聯(lián)系，那么這樣的問題解決起來就會容易，反之給出的條件與結(jié)論聯(lián)系不緊密甚至看不出聯(lián)系，那么這樣的問題對學(xué)生來說就會比較難，其具體表現(xiàn)為“思維障礙”的形式.因此，解題教學(xué)的關(guān)鍵就是幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙，從而建立起問題中條件與結(jié)論之間的有效聯(lián)系.

對上述問題來說，條件：“PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D”，結(jié)論“直線CD過定點”，解題的關(guān)鍵是建立“交點”與“定點”的關(guān)聯(lián)，對學(xué)生來說，存在的思維障礙主要在于：一是題目中動點比較多，P、C、D都是動點，從而導(dǎo)致要設(shè)的參數(shù)比較多；二是直線CD不確定，直線方程到底是直接設(shè)還是用其它參數(shù)表示出來難以抉擇；三是題目總體的運算量很大，容易出錯.

因為深度學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上的自然延伸，是在已有認(rèn)知不斷發(fā)展的過程中進(jìn)行整合與生成.因此，在明確認(rèn)知障礙的過程中，同時也要考慮學(xué)生的認(rèn)知差異，有的學(xué)生思維敏捷、有的學(xué)生反應(yīng)遲鈍、有的學(xué)生喜歡形象思維、有的學(xué)生擅長抽象思維，也就是說，認(rèn)知障礙的最終確定并不能僅僅依賴于教師的經(jīng)驗而“想當(dāng)然”的認(rèn)為，而是要結(jié)合學(xué)生的實際認(rèn)知水平來確認(rèn).

2 嘗試通性通法，喚醒高階思維

與學(xué)生認(rèn)知起點對應(yīng)的解題方法就是通性通法，這也是一題多解的起點.一題多解首先考慮到的是多數(shù)學(xué)生的可接受性原則, 學(xué)生容易想到的、老師容易講清楚的方法，即使過程比較繁瑣，也要優(yōu)先組織學(xué)生進(jìn)行探究.一方面，通性通法為學(xué)生提供了主動參與解題的機(jī)會，能夠讓學(xué)生有話可說、有問題可問；另一方面，通性通法的探究過程能夠暴露學(xué)生的思維，可以讓教師了解學(xué)生的思維方式是處于記憶、理解、運用、分析、評價和創(chuàng)造這個六個層次中的位置.按照深度學(xué)習(xí)的特征，前三個層次屬于低階思維，后三個層次屬于高階思維，如果教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維處于低階層次，就應(yīng)該想辦法促使學(xué)生的思維從低階走向高階，從而使一題多解始終保持在高階思維的狀態(tài).

點評：如果把①直接代入②來獲取n，k之間的定量關(guān)系，顯然計算量非常大，超出了很多學(xué)生的計算水平.借助斜率不存在情況下獲得的結(jié)論，能夠大大簡化運算的過程.這種思想雖然簡單，但由于先前沒有這方面的經(jīng)驗，學(xué)生不容易想到.由此可見，在上述解題過程中，學(xué)生思維水平更多的是停留在“記憶、理解、運用”層面上，是對已有解題經(jīng)驗的回顧與重現(xiàn).

點評：通過轉(zhuǎn)化設(shè)參數(shù)的視角，先利用直線PA、PB來簡化參數(shù)關(guān)系，然后再將直線CD與橢圓聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡運算，從而提升了運算效率.此法是在分析第一種方法的不足基礎(chǔ)上，經(jīng)過反思優(yōu)化，作出了一種具有創(chuàng)新性的方法，至此，學(xué)生的思維進(jìn)入到高階思維階段.

3 揭示數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)專家思維

一題多解雖然會涉及到很多方法，但卻不是以羅列方法的多少為目的，而是重在揭示隱藏在方法背后的數(shù)學(xué)原理.一方面是因為原理清楚了，學(xué)生才能更容易掌握方法，才能聯(lián)想到更多的方法；另一方面，相比解題方法，數(shù)學(xué)原理更具有可遷移性，要獲得可遷移的結(jié)論，學(xué)生必須學(xué)會專家的思維方式，即象專家那要思考.加德納認(rèn)為“只有理解學(xué)科思考世界的獨特方式，未來才有可能像一個科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家、歷史學(xué)家一樣去創(chuàng)造性地思維與行動”.專家思維的特點是就是能夠?qū)?shù)學(xué)問題作出快速而準(zhǔn)確的判斷，并在洞悉問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上提出解決問題的方案.因此，一題多解中培養(yǎng)專家思維才是解題教學(xué)與深度學(xué)習(xí)的最終目標(biāo).

點評：此法利用橢圓的第三定義，直線建立了C、D兩點的坐標(biāo)與直線CD直接的關(guān)系，減少了設(shè)參的數(shù)量，簡化了運算的過程，體現(xiàn)了整體代換的數(shù)學(xué)思想.

圖2

如圖2所示，如果把圖形補(bǔ)充完整，此題還可以借助“極線”的性質(zhì)來快速求得直線CD的定點.

總之，深度學(xué)習(xí)涉及三個方面的“深度”，即學(xué)習(xí)結(jié)果的深度、學(xué)習(xí)方法的深度與學(xué)習(xí)參與深度.一題多解要走向深度學(xué)習(xí)，也必須圍繞著著三個深度進(jìn)行，即給予學(xué)生更多的探索、創(chuàng)造和分享的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，找到解題的規(guī)律，邏輯清晰而準(zhǔn)確地概括和表達(dá).