周志明，劉 振，*，易建強，姚曉先

（1.中國科學院自動化研究所，北京 100081；2.北京理工大學宇航學院，北京 100081）

0 引 言

導彈一般氣動阻尼不足，欠阻尼特性導致彈軸長時間擺動，對導引回路的工作將產(chǎn)生不利影響。因此，采用阻尼補償回路增強彈體阻尼性能的方法普遍應用于各類導彈的控制系統(tǒng)中［1-3］。但是，控制與制導回路的作用也引起了一系列導彈穩(wěn)定性問題。

目前，國內(nèi)外對各類導彈的動態(tài)穩(wěn)定性研究已有很多成果，尤其在旋轉(zhuǎn)導彈領域［4-10］。特別地，針對控制回路，Yan等首先研究了阻尼回路對旋轉(zhuǎn)彈角運動的影響，指出旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路增益上限比非旋轉(zhuǎn)彈低很多［11］，隨后推導了使用姿態(tài)駕駛儀滿足錐形運動穩(wěn)定條件時，阻尼反饋增益和姿態(tài)反饋增益需滿足的動態(tài)關系［12］。Li等人更進一步推導了采用兩回路和三回路過載駕駛儀的旋轉(zhuǎn)彈角運動穩(wěn)定性條件［13-15］。Zhou等人從飛行試驗中的異?，F(xiàn)象出發(fā)，研究發(fā)現(xiàn)鉸鏈力矩作用下的舵機響應有可能會誘導不穩(wěn)定的錐形運動［16-17］，并且進一步研究分析了舵機傳動間隙對旋轉(zhuǎn)彈錐形運動穩(wěn)定性的影響［18］。針對制導回路穩(wěn)定性的分析同樣有許多可借鑒的工作［19-23］，Hu等人重點分析了采用尋的三維比例導引的旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定性準則，并且分析指出轉(zhuǎn)速越大，脫靶量越大［24］。Zheng等人和Tian等人在此基礎上，研究了采用比例導引，并考慮導引頭隔離度寄生回路下旋轉(zhuǎn)彈的錐形運動穩(wěn)定性［25-26］。Hu等人特別地考慮了捷聯(lián)式導引頭響應滯后引起的旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定性條件變化情況［27］。然而上述文獻在制導控制回路建模中，均僅考慮了舵機的穩(wěn)態(tài)響應，沒有考慮舵機動態(tài)響應過程，這樣所得到的導彈的穩(wěn)定性條件可能與真實情況存在一定的偏差。在研究無控段舵機鉸鏈力矩對旋轉(zhuǎn)彈動態(tài)穩(wěn)定性的影響時，Yousof等人首次指出舵機的動態(tài)響應使得控制參數(shù)穩(wěn)定域會發(fā)生偏移［28］，修正了Zhou等人的結(jié)果，具有一定的啟示意義［16］。近期，F(xiàn)an等人考慮舵機的動態(tài)響應，給出了各參數(shù)對兩回路過載駕駛儀參數(shù)穩(wěn)定域的影響［29］，具有很大參考意義。綜上，雖然對于導彈制導控制回路穩(wěn)定性分析的文獻很多，但是考慮舵機的動態(tài)響應對制導與控制回路的作用，并對導彈的動態(tài)穩(wěn)定性的研究依然較少。

本文建立了阻尼駕駛儀控制的導彈動力學方程以及舵機的動力學方程，采用勞斯判據(jù)，對比研究了非旋轉(zhuǎn)導彈在舵機穩(wěn)態(tài)與動態(tài)響應下阻尼反饋增益的穩(wěn)定區(qū)域，進一步采用復姿態(tài)角方法和Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，研究了旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路動態(tài)穩(wěn)定性條件，對工程實踐具有一定的指導意義。

1 導彈動力學與舵機模型

旋轉(zhuǎn)導彈的動力學方程參照相關文獻［15，29］可以描述如下，其中非旋轉(zhuǎn)導彈認為轉(zhuǎn)速＝0。

舵機模型參照周偉［18］建模方式建立，考慮舵機系統(tǒng)常用的比例微分（proportional derivative，PD）控制器，其中比例系數(shù)為KP，微分系數(shù)為KD，記舵機的指令為δc，舵機的響應為δ，即U＝（K P＋K Ds）（δc-δ），可以得到舵機的響應與指令之間的傳遞函數(shù)為

一般的舵機系統(tǒng)為避免系統(tǒng)因反饋噪聲信號引起震蕩，K D取值通常較小，在K D＝0時，系統(tǒng)為簡單的比例控制器，則舵機的響應與指令間的傳遞函數(shù)化簡為

式中：Jm為電機轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量；J l為舵片轉(zhuǎn)動慣量；N為減速器的減速比；R為電阻；K e為反電動勢系數(shù)；K m為電磁力矩系數(shù)?？梢钥吹?，舵機響應為被建模成一個二階環(huán)節(jié)。

表1 參數(shù)定義表Table 1 Nomenclature

2 非旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀穩(wěn)定性

當＝0，彈體不旋轉(zhuǎn)，馬格努斯力和力矩以及慣性力矩參數(shù)項均為零，非旋轉(zhuǎn)彈俯仰和偏航?jīng)]有耦合，以俯仰方向為例，非旋轉(zhuǎn)彈的動力學方程為

非旋轉(zhuǎn)彈俯仰方向阻尼回路如圖1所示。

圖1 非旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of non-spinning missile damping circuit

據(jù)圖1可得，非旋轉(zhuǎn)彈姿態(tài)角在阻尼回路作用下的動態(tài)響應為

若忽略舵機的動態(tài)響應過程，只考慮穩(wěn)態(tài)響應的情況下有

則舵機穩(wěn)態(tài)響應下的攻角響應為

式（7）為一個二階方程，其特征根為

當特征根的解的實部為負數(shù)時，姿態(tài)角成收斂狀態(tài)。上述方程根具有負實部的充要條件是

因為靜穩(wěn)定彈體本身具有弱阻尼作用，即使在沒有阻尼回路情況下依然可以保證姿態(tài)角穩(wěn)定性，甚至在一定的正反饋情況下依然可以保持穩(wěn)定性。實際導彈的控制系統(tǒng)中，由于彈體弱阻尼的特性，一般設置kω＞0提高彈體阻尼，獲得更良好的控制性能。當彈體為靜不穩(wěn)定時，即b11＞0，此時阻尼回路能穩(wěn)定滿足-a1b22＋b3a1kω＞b11條件的靜不穩(wěn)定彈體?？梢钥吹?，靜不穩(wěn)定度越大，即b11越大，對應的kω下限值越大，意味著只要反饋增益設計得足夠大，阻尼回路也能穩(wěn)定靜不穩(wěn)定彈體姿態(tài)，但是實際上kω的取值是有限制的，作為姿態(tài)駕駛儀或者過載駕駛儀的內(nèi)回路，kω的上限值受限于舵機等硬件資源。因此，僅依靠阻尼回路對靜不穩(wěn)定彈體的穩(wěn)定范圍極其有限，甚至可能完全無法穩(wěn)定。

根據(jù)勞斯判據(jù)可得系統(tǒng)收斂的條件為

觀察可知，α1＞0和α4＞0兩式一般情況下恒成立，所以決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的是中間兩式。其中，Ts和μs是關于舵機控制參數(shù)K P的函數(shù)，所以舵機控制參數(shù)與阻尼駕駛儀控制參數(shù)kω具有一定的關系，具體動態(tài)變化關系參見仿真算例。

由于僅依靠阻尼回路控制靜不穩(wěn)定彈體局限性較大，其所能控制的彈體最大靜不穩(wěn)定度與等效舵機的帶寬成正比［30］，工程上多采用過載回路來改善彈體特性，這里以兩回路過載駕駛儀為例分析，其組成框圖如圖2所示。

圖2 非旋轉(zhuǎn)彈兩回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of non-spinning missile two-loop autopilot

在近似條件b22≈0下，可以計算得到兩回路過載駕駛儀作用下彈體自振頻率和阻尼為

3 旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀穩(wěn)定性

旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀框圖如圖3所示。

圖3 旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of spinning missile damping circuit

當僅考慮舵機系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應時，指令到舵偏角的響應是一個簡單的初等矩陣，與舵機的控制參數(shù)以及轉(zhuǎn)速相關。定義復舵偏角δ＝δy＋iδz，復攻角ξ＝β＋iα，復姿態(tài)角速度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀框圖3可得

將式（17）代入旋轉(zhuǎn)彈動力學方程中，并將其寫成復姿態(tài)角形式可得

參照相關文獻［32］可得二階復系數(shù)微分方程的穩(wěn)定性條件為

當考慮舵機系統(tǒng)的動態(tài)響應時，指令到舵偏角的響應不再是一個簡單的初等矩陣，而是存在一個二階響應環(huán)節(jié)，系統(tǒng)階次將變?yōu)?階，采用復姿態(tài)角方法可以降階為4階，根據(jù)卡爾丹定理，存在穩(wěn)定性判據(jù)的解析表達式［29］，但是從解析表達式中難以看出各項參數(shù)對穩(wěn)定區(qū)域的影響，為使用成熟的線性矩陣不等式求解工具包，本節(jié)采用Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)。將式（16）代入式（1）中，并選取狀態(tài)變量為則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，上述系統(tǒng)穩(wěn)定當且僅當A的所有特征值的實部為負數(shù)。為了考察上述系統(tǒng)的穩(wěn)定性，考慮李雅普諾夫方程

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是存在一個正定矩陣M使得

當存在正定矩陣M使得式（22）成立時，計算可以得到，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。針對每一組舵機控制參數(shù)以及阻尼反饋增益，可以通過求解線性矩陣不等式（22）的可行性從而判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。舵機的動態(tài)響應對阻尼反饋增益的影響參見仿真案例。

4 仿真驗證

本節(jié)將進行上述穩(wěn)定性條件的驗證，給出仿真所需數(shù)據(jù)，如表2和表3所示，其中對于非旋轉(zhuǎn)彈，˙γ為零，并且馬格努斯力和力矩以及慣性力矩參數(shù)項均為零。

表2 舵機仿真參數(shù)表Table 2 Actuator parameters used in the simulation

表3 仿真中某旋轉(zhuǎn)彈飛行參數(shù)表Table 3 Spinning missile flight parameters used in the simulation

首先對非旋轉(zhuǎn)彈進行仿真，給出舵機動態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應下控制參數(shù)穩(wěn)定域的對比，如圖4所示。

圖4 靜穩(wěn)定非旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.4 Parameter stability region of damping parameters for statically stable non-spinning missile

通過計算分析可知，當忽略彈體舵偏升力的影響時可得穩(wěn)定邊界條件為kω＞-0.009-569-89，而考慮彈體舵偏升力的影響時可得穩(wěn)定邊界條件為kω＞-0.009-569-83，對比可知舵面升力項對穩(wěn)定性邊界影響極小，可以忽略。馬格努斯力項與舵偏升力量級差異不大，因此下面仿真分析中均忽略慮馬格努斯力和舵面升力的影響。考慮舵機的動態(tài)響應時，參數(shù)K P與kω的穩(wěn)定域如圖4所示。隨著舵機控制參數(shù)的增大，考慮舵機動態(tài)與穩(wěn)態(tài)響應下的阻尼駕駛儀參數(shù)穩(wěn)定域趨于相同，即舵機的比例控制參數(shù)越大，其響應時間T s越小，舵機的動態(tài)響應對彈體運動影響越小。

上例是一個靜穩(wěn)定的非旋轉(zhuǎn)彈，現(xiàn)考慮一個靜不穩(wěn)定的彈體，保持其余參數(shù)不變，僅改變b11＝40，可得舵機控制參數(shù)與阻尼回路參數(shù)穩(wěn)定域關系如圖5所示。

圖5 靜不穩(wěn)定非旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.5 Parameters stability region of damping parameters for statically unstable non-spinning missile

考慮舵機的穩(wěn)態(tài)響應時，阻尼回路的下限分別是-（-b11-a1b22／b3a1）與-（-b22＋a1／b3）項，考慮舵機動態(tài)響應情況下，隨著舵機控制參數(shù)的增大，阻尼回路參數(shù)取值有嚴格的上下界限制。對比可知，僅考慮舵機的穩(wěn)態(tài)響應求得的阻尼回路控制參數(shù)很可能會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，靜不穩(wěn)定的導彈僅依靠阻尼駕駛儀穩(wěn)定彈體時，應重點考慮舵機的動態(tài)響應對其影響。此外，觀察可知考慮舵機動態(tài)響應下，靜不穩(wěn)定的導彈僅依靠阻尼駕駛儀穩(wěn)定彈體參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域取值范圍較為有限，這也是工程上較少單獨采用阻尼駕駛儀控制靜不穩(wěn)定彈體的原因。

旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路反饋參數(shù)與舵機參數(shù)之間的動態(tài)關系如圖6所示。

圖6 不同舵機時間常數(shù)旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.6 Parameters stability region of damping parameters of spinning missile under different actuator time constant

圖6顯示，在彈體靜穩(wěn)定情況下，僅考慮舵機穩(wěn)態(tài)響應時，kω存在下限值，沒有上限值；當考慮舵機動態(tài)響應時，使得系統(tǒng)穩(wěn)定的kω取值范圍與僅考慮舵機穩(wěn)態(tài)響應時接近，并且舵機時間常數(shù)越小，取值范圍越接近，同時kω的取值上限隨著舵機時間常數(shù)的增大快速減小。隨著舵機時間常數(shù)的減小，舵機響應速度越來越快，舵機的動態(tài)響應對彈體的影響也越來越小，表現(xiàn)在圖6中，即舵機時間常數(shù)趨于零時，舵機動態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應下的kω的穩(wěn)定域趨于相同。

現(xiàn)分析不同靜穩(wěn)定度旋轉(zhuǎn)彈的阻尼系數(shù)取值范圍。保持其余旋轉(zhuǎn)彈飛行參數(shù)不變，僅改變b11，分析旋轉(zhuǎn)彈阻尼反饋參數(shù)的變化，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同靜穩(wěn)定度旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.7 Parameter stability region of damping parameters for spinning missile with different static stabilities

圖7顯示，僅考慮舵機穩(wěn)態(tài)響應時，當b11＜0，即彈體靜穩(wěn)定，kω的下限值為負數(shù)，且隨著靜穩(wěn)定度減小，kω下限值緩慢增大，當b11＞0，kω的下限值為正數(shù)，且隨著靜不穩(wěn)定度增大，kω下限值迅速增大，這與非旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路保持一致，同時也與Yan等人［11］的結(jié)果相符。當考慮舵機動態(tài)響應時，kω的下限值與舵機穩(wěn)態(tài)響應時接近，并且略有增大，但是僅考慮舵機穩(wěn)態(tài)響應時，kω沒有上限值，考慮舵機動態(tài)響應時，kω的上限值被嚴格限制，并且隨著靜穩(wěn)定度減小略微增大，當彈體靜不穩(wěn)定度到達一定程度時，不存在使得彈體穩(wěn)定的kω參數(shù)。

5 結(jié) 論

本文應用勞斯判據(jù)推導了非旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路反饋增益的穩(wěn)定邊界，得出舵機的動態(tài)響應使非旋轉(zhuǎn)彈阻尼反饋增益發(fā)生變化，尤其對于靜不穩(wěn)定彈體，僅考慮舵機的穩(wěn)態(tài)響應求得的阻尼回路控制參數(shù)很可能會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。

應用復姿態(tài)角方法和Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)推導了旋轉(zhuǎn)彈反饋增益的穩(wěn)定邊界，得出舵機的動態(tài)響應使旋轉(zhuǎn)彈阻尼反饋增益穩(wěn)定區(qū)域變小，并且相較于僅考慮舵機的穩(wěn)態(tài)響應，舵機的動態(tài)響應下，阻尼反饋參數(shù)上限隨著舵機時間常數(shù)增大快速減小。