王 琮，沈會(huì)良，夏永祥，白光晗，方依寧

（1.浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，浙江 杭州 310063；2.杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；3.國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

0 引 言

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)已逐漸向著信息化作戰(zhàn)的方向演變，各種高新技術(shù)武器裝備日益成為制約戰(zhàn)斗力發(fā)展的關(guān)鍵。要充分發(fā)揮現(xiàn)有裝備的作戰(zhàn)能力，就要建立起與之相配套的裝備保障體系，實(shí)現(xiàn)精確保障。裝備保障體系是指在動(dòng)態(tài)不確定環(huán)境中，由具有一定保障功能的保障實(shí)體，按照一定的保障原則，通過(guò)多種交通方式下的交通樞紐之間的互聯(lián)互通，綜合集成的以完成特定保障任務(wù)的有機(jī)整體。近年來(lái)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論不斷發(fā)展，鑒于裝備保障體系在體系結(jié)構(gòu)、組成要素、連接關(guān)系等方面與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論有著相當(dāng)?shù)钠ヅ湫?，將?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究方法應(yīng)用于研究裝備保障體系中，對(duì)裝備保障體系的建設(shè)和發(fā)展有著重要意義。

裝備保障體系在肩負(fù)重要保障任務(wù)的同時(shí)，也逐漸成為對(duì)方打擊的重點(diǎn)目標(biāo)。尤其是面對(duì)信息化戰(zhàn)場(chǎng)，對(duì)方對(duì)己方后勤保障網(wǎng)絡(luò)的精確打擊，使得裝備保障網(wǎng)絡(luò)的抗毀性受到越來(lái)越大的考驗(yàn)。研究表明，現(xiàn)實(shí)中大部分網(wǎng)絡(luò)都具有無(wú)標(biāo)度的特性，這些網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)攻擊具有較強(qiáng)的承受能力，但只需要對(duì)一些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊，那么網(wǎng)絡(luò)將會(huì)一觸即潰。國(guó)外有關(guān)研究表明，摧毀一個(gè)系統(tǒng)，只需要使這個(gè)系統(tǒng)5%到10%的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)同時(shí)失效就能夠達(dá)到目的。美國(guó)在2003年發(fā)生的北美停電事故，便是部分“關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)”故障造成的。因此，研究裝備保障體系的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識(shí)別技術(shù)，尋找薄弱環(huán)節(jié)，從而為進(jìn)一步優(yōu)化裝備體系結(jié)構(gòu)、進(jìn)行作戰(zhàn)部署打好基礎(chǔ)，對(duì)未來(lái)戰(zhàn)爭(zhēng)而言，有著重要的意義。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域中，過(guò)去經(jīng)常使用節(jié)點(diǎn)中心性指標(biāo)來(lái)對(duì)節(jié)點(diǎn)的重要性進(jìn)行衡量，從而識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。常用的有節(jié)點(diǎn)的度中心性、介數(shù)中心性、接近中心性等。然而，這類(lèi)指標(biāo)在用于識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)時(shí)，都存在一定的局限性。度中心性是一種基于節(jié)點(diǎn)局部特征的指標(biāo)，缺少全局化的視角。介數(shù)中心性及接近中心性則是基于全局特征，根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的最短距離路徑衡量節(jié)點(diǎn)重要性。然而，在一些現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)間并非沿最短距離路徑傳輸。這類(lèi)傳統(tǒng)指標(biāo)僅依照網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)衡量節(jié)點(diǎn)的重要性，忽略了實(shí)際應(yīng)用需求等因素可能造成的影響。因此，這類(lèi)指標(biāo)在實(shí)際使用時(shí)識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的能力有限，現(xiàn)在常被當(dāng)作參照指標(biāo)來(lái)評(píng)估其他節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)的性能。

為了進(jìn)一步提高識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確性，許多學(xué)者在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)結(jié)合多個(gè)中心性指標(biāo)或是對(duì)中心性指標(biāo)加以改進(jìn)，提出了多種新的節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)。考慮到節(jié)點(diǎn)重要性不僅與節(jié)點(diǎn)自身的度中心性相關(guān)，還與節(jié)點(diǎn)鄰域范圍內(nèi)節(jié)點(diǎn)的中心性有關(guān)。文獻(xiàn)［11］針對(duì)度中心性指標(biāo)的局限性進(jìn)行改進(jìn)，充分考慮每個(gè)節(jié)點(diǎn)的四階鄰居中包含的信息，稱(chēng)為L(zhǎng)ocal Rank算法。同樣考慮鄰居節(jié)點(diǎn)的影響，文獻(xiàn)［12］使用結(jié)合節(jié)點(diǎn)自身的度中心性及周?chē)従庸?jié)點(diǎn)平均度的方法，對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行識(shí)別，從而得到優(yōu)于傳統(tǒng)指標(biāo)的結(jié)果。文獻(xiàn)［13］則在考慮鄰域范圍內(nèi)的連邊數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)重要性影響的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮節(jié)點(diǎn)聚類(lèi)系數(shù)的影響，并得出在一般情況下，鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)量相同時(shí)，節(jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)越大，其影響越小。除了考慮節(jié)點(diǎn)的鄰域性造成的影響之外，節(jié)點(diǎn)間的傳輸路徑也是影響節(jié)點(diǎn)重要性的關(guān)鍵所在。文獻(xiàn)［14］研究了城市交通系統(tǒng)中流量、節(jié)點(diǎn)中心性及節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵性的關(guān)系，得出了介數(shù)中心性指標(biāo)與系統(tǒng)彈性間的關(guān)聯(lián)性。文獻(xiàn)［15］則對(duì)根據(jù)全局路由得到的節(jié)點(diǎn)介數(shù)中心性指標(biāo)進(jìn)行了改進(jìn)，將統(tǒng)計(jì)范圍由全局改為節(jié)點(diǎn)所在的局域，并進(jìn)一步與接近中心性指標(biāo)相結(jié)合，綜合評(píng)估節(jié)點(diǎn)的重要性。另外，有文獻(xiàn)綜合考慮多種因素影響，結(jié)合多種指標(biāo)進(jìn)行多屬性排序。例如，文獻(xiàn)［20］綜合了節(jié)點(diǎn)的度中心性、介數(shù)中心性及接近中心性3種指標(biāo)作為最終評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性的指標(biāo)，表明節(jié)點(diǎn)傳輸?shù)男畔⒘吭蕉唷鬏斝试礁咭约靶畔⒖刂颇芰υ綇?qiáng)，節(jié)點(diǎn)越重要。文獻(xiàn)［21］綜合考慮了節(jié)點(diǎn)的局部與全局信息，提出節(jié)點(diǎn)的度值越大（對(duì)應(yīng)局部連接能力越強(qiáng)），與周?chē)?jié)點(diǎn)間的距離越短且權(quán)重越大（對(duì)應(yīng)全局傳輸能力越強(qiáng)），則節(jié)點(diǎn)的影響力越大。文獻(xiàn)［22］則指出了結(jié)合多個(gè)指標(biāo)量化節(jié)點(diǎn)影響力這一策略的研究?jī)r(jià)值。為了綜合評(píng)價(jià)節(jié)點(diǎn)重要性，一種基于與理想目標(biāo)相似性偏好排序的多屬性排序方法也已被多種研究采用，用于關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的識(shí)別。除了提出節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)角度外，部分研究還采用智能算法對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行識(shí)別。

本文在上述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識(shí)別方法的基礎(chǔ)上，提出一種新的用于裝備保障體系中關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識(shí)別的方法。從保障節(jié)點(diǎn)的局部連接能力、全局運(yùn)輸能力周?chē)Ｕ瞎?jié)點(diǎn)的影響等多個(gè)角度綜合評(píng)估保障節(jié)點(diǎn)的重要性。對(duì)于裝備保障體系而言，在維持自身正常運(yùn)行的狀態(tài)下，還應(yīng)支撐相應(yīng)的任務(wù)需求，不同的任務(wù)需求可能對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的識(shí)別造成影響。裝備保障體系在完成保障任務(wù)時(shí)，面對(duì)的任務(wù)需求主要包括減少時(shí)間成本和降低經(jīng)濟(jì)成本兩方面。不同場(chǎng)景下兩種任務(wù)需求的優(yōu)先級(jí)不同，使得保障物資的運(yùn)輸線路規(guī)劃受到影響，進(jìn)而導(dǎo)致保障網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的重要性發(fā)生變化。因此，本文通過(guò)定義一種面向任務(wù)需求的路由規(guī)劃方法，衡量不同任務(wù)需求對(duì)保障節(jié)點(diǎn)重要性造成的影響，并綜合路由規(guī)劃結(jié)果，提出一種新的節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)。通過(guò)與另外6種常用的節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)價(jià)指標(biāo)作比較，模擬多種不同的保障任務(wù)需求，評(píng)估各種指標(biāo)在識(shí)別多個(gè)及單個(gè)關(guān)鍵保障節(jié)點(diǎn)上的性能。

本篇文章內(nèi)容安排如下：引言介紹了研究背景和現(xiàn)狀，針對(duì)不足之處提出了本文的改進(jìn)方法；模型描述部分主要介紹了本文使用到的各類(lèi)模型，包括用于模擬裝備保障體系的網(wǎng)絡(luò)模型、運(yùn)輸保障物資的路由模型、連邊容量及擁塞模型；節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)部分介紹并定義了本文使用到的節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)，包括6種對(duì)照指標(biāo)和本文提出的面向任務(wù)需求的識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的指標(biāo)；實(shí)驗(yàn)仿真及分析部分提出了兩種評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)性能的方法，并進(jìn)一步介紹了使用該方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真得到的結(jié)果及對(duì)應(yīng)的分析；最后總結(jié)部分對(duì)全文內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)。

1 模型描述

1.1 裝備保障體系模型

裝備保障體系通過(guò)多種交通方式下交通樞紐之間的互聯(lián)互通執(zhí)行保障任務(wù)。裝備保障任務(wù)的復(fù)雜多樣決定體系的結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，因此裝備保障體系建模需要進(jìn)行層次劃分，以表示不同層次之間的交互關(guān)系。本文選取航空和鐵路兩種主要的運(yùn)輸方式，使用由航空網(wǎng)和鐵路網(wǎng)組成的雙層耦合網(wǎng)絡(luò)模型模擬裝備保障體系。模型中的節(jié)點(diǎn)表示具備對(duì)應(yīng)交通模式下的保障站點(diǎn)（機(jī)場(chǎng)或火車(chē)站）的城市，層內(nèi)連邊表示所在層對(duì)應(yīng)的交通模式下的保障運(yùn)輸線路（航線或鐵路）。對(duì)于同時(shí)具備多種保障站點(diǎn)的城市，其在上下兩層網(wǎng)絡(luò)中都有位于同一位置的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)存在，位于不同層但表示同一城市的節(jié)點(diǎn)則通過(guò)層間連邊相耦合。

考慮到實(shí)際航空運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)與鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)在站點(diǎn)數(shù)量及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的差異，分別為兩層網(wǎng)絡(luò)定義不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)量及連邊規(guī)則。上層航空網(wǎng)由個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。鑒于Barabasi和Albert提出的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的無(wú)標(biāo)度特性已在許多現(xiàn)實(shí)異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中被證實(shí)，因此上層將按照無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的連邊規(guī)則相連。從具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通網(wǎng)絡(luò)出發(fā)，每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)引入一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)并與個(gè)已存在的節(jié)點(diǎn)相連。新加入節(jié)點(diǎn)與一個(gè)已存在的節(jié)點(diǎn)之間的連接概率（）滿(mǎn)足：

式中：k 表示節(jié)點(diǎn)的度，即與節(jié)點(diǎn)直接相連的節(jié)點(diǎn)數(shù)目。直至網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增長(zhǎng)至個(gè)節(jié)點(diǎn)。

下層鐵路網(wǎng)由個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。在建立鐵路網(wǎng)模型時(shí)，考慮到在實(shí)際中，只有相距較近的站點(diǎn)之間才會(huì)建立鐵路直接相連。距離較遠(yuǎn)的站點(diǎn)之間需要通過(guò)一系列中間節(jié)點(diǎn)間接連通。上述特征與空間網(wǎng)絡(luò)模型的特征較為符合，因此使用隨機(jī)幾何圖這一空間網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)進(jìn)行模擬。首先定義網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的最長(zhǎng)連邊距離和最多連邊數(shù)量，接著對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，隨機(jī)選擇與其相距范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)相連，直接相連的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)節(jié)點(diǎn)的最多連邊數(shù)量。

在實(shí)際中，由于飛機(jī)場(chǎng)常建立于運(yùn)輸流量較大的城市，且具有飛機(jī)場(chǎng)的城市往往也配備有火車(chē)站。因此在建立裝備保障體系模型時(shí)，首先建立鐵路網(wǎng)模型，包含個(gè)節(jié)點(diǎn)，代表個(gè)配備有車(chē)站的城市。將個(gè)節(jié)點(diǎn)按照隨機(jī)幾何圖的規(guī)則建立完成后，對(duì)鐵路網(wǎng)中的所有節(jié)點(diǎn)按照度值大小排序，選取前個(gè)度值較大的節(jié)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)個(gè)城市），為其配備航空網(wǎng)中對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)。航空網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)節(jié)點(diǎn)按照Barabási和Albert提出的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則相連。最后，位于不同層但表示同一城市的節(jié)點(diǎn)間將通過(guò)層間連邊相連。通過(guò)層間連邊可以將保障物資由其中一層轉(zhuǎn)運(yùn)至另一層網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行運(yùn)輸，即航空和鐵路之間的轉(zhuǎn)運(yùn)。這樣就建立起了一個(gè)用于模擬裝備保障體系的無(wú)向雙層耦合網(wǎng)絡(luò)，其中上層航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)稀疏，下層鐵路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)致密。上層網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都和下層網(wǎng)絡(luò)中表示同一城市的節(jié)點(diǎn)相耦合。

裝備保障體系通過(guò)系統(tǒng)中的交通線路運(yùn)輸保障物資時(shí)，需要付出相應(yīng)的運(yùn)輸時(shí)間、運(yùn)輸費(fèi)用等代價(jià)。通過(guò)為網(wǎng)絡(luò)中的連邊定義權(quán)重，衡量在連邊上運(yùn)輸需要付出的成本。首先以節(jié)點(diǎn)間歐式距離作為連邊的長(zhǎng)度，即節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間的連邊長(zhǎng)度d 為

式中：（x ，y ）和（x ，y ）分別為節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。為了保持統(tǒng)一性，上下兩層網(wǎng)絡(luò)使用同一坐標(biāo)系。

網(wǎng)絡(luò)中的每條邊定義運(yùn)輸時(shí)間成本和運(yùn)輸經(jīng)濟(jì)成本兩種權(quán)值，分別表示在該連邊上運(yùn)輸所需的時(shí)間和費(fèi)用。權(quán)值的大小由邊的實(shí)際長(zhǎng)度、所在層的運(yùn)輸速度及價(jià)格決定。邊的長(zhǎng)度除以對(duì)應(yīng)層的運(yùn)輸速度得到的是所需的時(shí)間成本，即層（＝1，2）上節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間連邊對(duì)應(yīng)的運(yùn)輸時(shí)間成本為

類(lèi)似地，可以用邊的長(zhǎng)度乘以對(duì)應(yīng)層的單位距離運(yùn)輸價(jià)格得到運(yùn)輸?shù)慕?jīng)濟(jì)成本，即層（＝1，2）上節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間連邊對(duì)應(yīng)的運(yùn)輸經(jīng)濟(jì)成本為

由于不同層的運(yùn)輸速度以及單位運(yùn)輸價(jià)格不同，因此即使是同一對(duì)節(jié)點(diǎn)間的連邊，在不同層中運(yùn)輸所對(duì)應(yīng)的運(yùn)輸成本也不同。另外，由于本文重點(diǎn)關(guān)注保障物資在兩層網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸，因此忽略轉(zhuǎn)換交通模式帶來(lái)的的轉(zhuǎn)運(yùn)成本，即假設(shè)層間連邊上的權(quán)重默認(rèn)為零。

最終建立完成的用于模擬裝備保障體系的無(wú)向加權(quán)雙層耦合網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，上層航空運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)稀疏、運(yùn)輸速度快但運(yùn)輸價(jià)格高。下層鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)致密、運(yùn)輸速度慢但運(yùn)輸價(jià)格低。網(wǎng)絡(luò)模型的局部示意圖如圖1所示。

圖1 雙層耦合網(wǎng)絡(luò)局部示意圖Fig.1 Two-layer coupled network local schematic

1.2 保障運(yùn)輸路由模型

裝備保障體系模型建成后，進(jìn)一步模擬保障物資的運(yùn)輸過(guò)程?？紤]實(shí)際應(yīng)用中減少保障時(shí)間和降低保障費(fèi)用的任務(wù)需求，本文將網(wǎng)絡(luò)中的每條連邊定義為在其上運(yùn)輸?shù)目偝杀?，由運(yùn)輸時(shí)間成本和經(jīng)濟(jì)成本組成。規(guī)定保障物資沿著總成本最低的路徑進(jìn)行運(yùn)輸。在不同應(yīng)用場(chǎng)景下，兩種任務(wù)需求的優(yōu)先級(jí)不同，對(duì)應(yīng)著兩種成本在總成本中所占比例的不同。當(dāng)減少保障時(shí)間的需求更優(yōu)先時(shí)，路由應(yīng)沿著運(yùn)輸時(shí)間成本更低的路線進(jìn)行；當(dāng)降低保障費(fèi)用的需求更優(yōu)先時(shí)，路由應(yīng)沿著運(yùn)輸經(jīng)濟(jì)成本更低的路線進(jìn)行。因此，節(jié)點(diǎn)間的保障運(yùn)輸線路規(guī)劃應(yīng)隨著任務(wù)需求優(yōu)先級(jí)的變化而動(dòng)態(tài)改變。

為了反映任務(wù)需求的影響，本文提出一種面向任務(wù)需求的運(yùn)輸路由規(guī)則。

首先定義參數(shù)表示經(jīng)濟(jì)成本在總成本中所占的比例，則時(shí)間成本占總成本的比例為（1-）。層（＝1，2）上節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間連邊對(duì)應(yīng)的總運(yùn)輸成本為

在確定了參數(shù)的取值后，節(jié)點(diǎn)間按照總運(yùn)輸成本最低原則進(jìn)行路由。任意一對(duì)節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間沿總運(yùn)輸成本最低的線路可表示為

該線路上的總運(yùn)輸成本滿(mǎn)足：

基于該路由規(guī)則，節(jié)點(diǎn)間進(jìn)行保障物資運(yùn)輸時(shí)可能需要通過(guò)層間連邊轉(zhuǎn)運(yùn)，從而使用到上下兩層網(wǎng)絡(luò)上的保障連邊。參數(shù)取值越大則表明經(jīng)濟(jì)成本占總運(yùn)輸成本的比例越大，對(duì)應(yīng)著降低運(yùn)輸費(fèi)用的需求優(yōu)先級(jí)更高。此時(shí)為了降低總運(yùn)輸成本，路由時(shí)會(huì)更傾向于選擇運(yùn)輸價(jià)格更低的線路。

1.3 保障連邊容量模型

本文將裝備保障體系中的保障任務(wù)抽象為保障物資在上文所構(gòu)建的保障網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的輸運(yùn)過(guò)程?？紤]在單位時(shí)間內(nèi)保障網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)之間都會(huì)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)按照第1.2節(jié)定義的路由規(guī)則將保障物資從供應(yīng)節(jié)點(diǎn)輸運(yùn)到需求節(jié)點(diǎn)，這樣網(wǎng)絡(luò)中的每條連邊上都會(huì)流過(guò)一定量的保障物資。將正常狀態(tài)下保障網(wǎng)絡(luò)中流過(guò)某條連邊的保障物資的多少定義為該邊上的初始負(fù)荷（0），并依照Motter-Lai模型定義每條連邊上的容量，作為該邊上能流過(guò)的最大保障物資的度量正比于其初始運(yùn)輸負(fù)載：

式中：稱(chēng)為冗余系數(shù)。至此，可以得到網(wǎng)絡(luò)中所有連邊上的容量，該容量限制了能在連邊上運(yùn)輸?shù)淖畲筘?fù)載量，一旦運(yùn)輸?shù)奈镔Y量超過(guò)了規(guī)定的容量，則連邊上會(huì)發(fā)生擁塞，進(jìn)而影響到整個(gè)體系的保障運(yùn)輸能力。

1.4 裝備保障擁塞模型

不失一般性，假設(shè)在執(zhí)行保障運(yùn)輸任務(wù)時(shí)，待運(yùn)輸物資均勻地分配到每對(duì)節(jié)點(diǎn)，并沿著最低成本路徑進(jìn)行運(yùn)輸。當(dāng)待運(yùn)輸保障物資總量的值較低時(shí)，按照任務(wù)需求進(jìn)行路由規(guī)劃后，分配到每條連邊上運(yùn)輸?shù)呢?fù)載量均小于連邊容量，保障運(yùn)輸任務(wù)正常執(zhí)行。隨著的不斷增大，各條連邊上運(yùn)輸?shù)呢?fù)載量也在不斷增大。當(dāng)某條連邊上分配的負(fù)載量超過(guò)其容量時(shí)，則待運(yùn)輸物資會(huì)在該連邊上不斷累積，最終導(dǎo)致系統(tǒng)陷入擁塞狀態(tài)。

為了能更好地描述這一過(guò)程，定義序參量：

式中：（）表示在時(shí)間步時(shí)刻系統(tǒng)中的總流量；〈·〉表示對(duì)于時(shí)間窗口Δ求平均。在自由流狀態(tài)下，每時(shí)刻新加入系統(tǒng)的負(fù)載與到達(dá)目的地后從系統(tǒng)中移除的負(fù)載保持平衡，此時(shí)序參量的值為零。但當(dāng)系統(tǒng)陷入擁塞狀態(tài)時(shí)，每時(shí)刻新加入的負(fù)載與從系統(tǒng)中移除的負(fù)載不再平衡，流量在系統(tǒng)中不斷累積，導(dǎo)致序參量的值大于零。系統(tǒng)由自由態(tài)轉(zhuǎn)變到擁塞態(tài)時(shí)，系統(tǒng)中運(yùn)輸?shù)谋Ｕ衔镔Y總量記為R 。R表示系統(tǒng)在沒(méi)有出現(xiàn)擁塞情況下能夠承載的最大負(fù)載量，又稱(chēng)為系統(tǒng)的承載量。顯然系統(tǒng)承載量的值越大，裝備保障體系在沒(méi)有擁塞狀態(tài)下能夠運(yùn)輸?shù)奈镔Y量越多，意味著系統(tǒng)的運(yùn)輸能力越強(qiáng)。

2 節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)

裝備保障體系的主要任務(wù)就是將保障物資通過(guò)各種交通方式輸運(yùn)到目的地。裝備保障體系肩負(fù)著重要的物資保障任務(wù)，也是對(duì)方攻擊的重要目標(biāo)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中有某個(gè)節(jié)點(diǎn)因打擊而失效后，節(jié)點(diǎn)及其連邊將無(wú)法再承擔(dān)物資運(yùn)輸?shù)谋Ｕ先蝿?wù)。此時(shí)，原本通過(guò)該節(jié)點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)輸?shù)谋Ｕ衔镔Y需要重新選擇其他線路。由于每條線路上的承載量有限，重新規(guī)劃后的運(yùn)輸線路分配結(jié)果可能會(huì)增大其他連邊上的負(fù)載。進(jìn)而隨著系統(tǒng)運(yùn)輸?shù)谋Ｕ衔镔Y總量不斷增加，連邊更容易出現(xiàn)擁塞，最終使得整個(gè)系統(tǒng)的承載量R 下降。節(jié)點(diǎn)的失效通過(guò)影響系統(tǒng)的承載量進(jìn)而影響了裝備保障體系的保障能力，影響的嚴(yán)重程度反映出了節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵程度?；谏鲜龇治觯疚膶⑾到y(tǒng)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)定義為其失效后會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)承載量下降最多的節(jié)點(diǎn)。

因此，為了準(zhǔn)確識(shí)別出裝備保障體系中的關(guān)鍵保障節(jié)點(diǎn)，需要定義節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)進(jìn)行定量分析。本節(jié)將介紹本文使用到的幾種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)，并提出一種新的綜合性指標(biāo)用于識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

2.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)

在進(jìn)行關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識(shí)別時(shí)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)多采用基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法。本文選取了3種常用的節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)作為后續(xù)實(shí)驗(yàn)中的比較對(duì)象。

2.1.1 度中心性

保障節(jié)點(diǎn)的度中心性DC（）定義為在節(jié)點(diǎn)所在網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)與節(jié)點(diǎn)直接相連的鄰居節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。度中心性指標(biāo)反映了一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)中其他節(jié)點(diǎn)的直接影響力。節(jié)點(diǎn)的度中心性值越大，能直接影響到的鄰居就越多，節(jié)點(diǎn)就越重要。

2.1.2 介數(shù)中心性

節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性反映了節(jié)點(diǎn)對(duì)沿最短路徑傳輸?shù)牧髁康目刂屏?，?jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性BC（）定義為

式中：表示網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的集合；表示節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。σ表示節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的所有最短路徑的數(shù)目，σ（）表示從節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的所有最短路徑中經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)的最短路徑數(shù)目。

節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性值越大，表明經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)的最短路徑數(shù)目越多，因此在網(wǎng)絡(luò)中越重要。在裝備保障體系中，介數(shù)值較高的保障節(jié)點(diǎn)往往是連接供應(yīng)節(jié)點(diǎn)與需求節(jié)點(diǎn)之間的紐帶節(jié)點(diǎn)，具有較重要的保障作用。在雙層耦合網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)間進(jìn)行最短路徑路由時(shí)沿上下兩層網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行，通過(guò)層間連邊實(shí)現(xiàn)跨層路由。同時(shí)，為了反映網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)節(jié)點(diǎn)重要性的影響，節(jié)點(diǎn)間的最短路徑定義為沿兩層網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)跳數(shù)最少的路徑。

2.1.3 接近中心性

節(jié)點(diǎn)的接近中心性CC（）反映了節(jié)點(diǎn)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其他節(jié)點(diǎn)施加影響的能力，具體定義為

式中：d 表示節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的最短距離。節(jié)點(diǎn)的接近中心性值越大，表明節(jié)點(diǎn)越位于網(wǎng)絡(luò)的中心，因此在網(wǎng)絡(luò)中越重要。

2.2 基于任務(wù)需求的節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)

上述3種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)，僅考慮了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)節(jié)點(diǎn)重要性的影響。而在不同的保障任務(wù)中，任務(wù)需求會(huì)對(duì)系統(tǒng)的路由規(guī)劃產(chǎn)生影響，進(jìn)而將沿著不同的運(yùn)輸線路執(zhí)行物資運(yùn)輸任務(wù)。因此，在不同的任務(wù)需求下，節(jié)點(diǎn)的重要性也會(huì)發(fā)生變化，而上述基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)無(wú)法體現(xiàn)這種變化。

在本文使用的裝備保障體系模型中，隨著參數(shù)取不同的值，每條連邊上的經(jīng)濟(jì)成本和時(shí)間成本在總運(yùn)輸成本中所占的比例不同，進(jìn)而每條連邊上總運(yùn)輸成本的大小會(huì)發(fā)生變化。為了使總運(yùn)輸成本最低，不同取值情況下的運(yùn)輸線路會(huì)發(fā)生改變，導(dǎo)致關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)也會(huì)發(fā)生變化。因此，參數(shù)的變化即反映出了任務(wù)需求對(duì)系統(tǒng)運(yùn)輸以及節(jié)點(diǎn)重要性的影響。由于在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性和接近中心性指標(biāo)大小受到節(jié)點(diǎn)間最短路徑的影響，因此考慮對(duì)指標(biāo)進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步考慮任務(wù)需求的影響，按照不同參數(shù)值下得到的最低成本路徑規(guī)劃結(jié)果重新計(jì)算節(jié)點(diǎn)的中心性值。

改進(jìn)后的介數(shù)中心性BC′和接近中心性CC′的計(jì)算方法基本與原來(lái)的指標(biāo)保持一致。節(jié)點(diǎn)改進(jìn)后的介數(shù)中心性BC′（）定義為

改進(jìn)后的接近中心性CC′（）定義為

不同的是，在結(jié)合了任務(wù)需求后，前者由統(tǒng)計(jì)經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)的最短路徑條數(shù)變?yōu)榱私y(tǒng)計(jì)最低成本路徑條數(shù)；后者在統(tǒng)計(jì)節(jié)點(diǎn)到其他節(jié)點(diǎn)的最短距離時(shí)，同樣改為按照最低成本路徑下的距離進(jìn)行計(jì)算。兩種指標(biāo)均是由于節(jié)點(diǎn)間路由的變化導(dǎo)致指標(biāo)的大小發(fā)生變化。傳統(tǒng)的BC和CC二者都屬于靜態(tài)指標(biāo)，網(wǎng)絡(luò)模型建立完成后不會(huì)再發(fā)生改變；而改進(jìn)后的介數(shù)中心性BC′和接近中心性CC′的值會(huì)隨著參數(shù)的變化而變化，對(duì)應(yīng)著在不同任務(wù)需求下節(jié)點(diǎn)的重要性也會(huì)發(fā)生改變。

2.3 節(jié)點(diǎn)重要性綜合評(píng)估指標(biāo)

為了更好地識(shí)別出裝備保障體系中的關(guān)鍵保障節(jié)點(diǎn)，需要綜合考慮節(jié)點(diǎn)的拓?fù)湟蛩匾约肮?jié)點(diǎn)的角色功能信息，從局域和全局等多個(gè)維度評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性，并提出一種綜合能效節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)估指標(biāo)。

在局域范圍內(nèi)評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性時(shí)，節(jié)點(diǎn)與周?chē)従庸?jié)點(diǎn)間的連邊越多，相連的鄰居節(jié)點(diǎn)越重要，則該節(jié)點(diǎn)的連接能力越強(qiáng)，在保障運(yùn)輸中發(fā)揮的作用越大。因此，本文選擇使用節(jié)點(diǎn)所在網(wǎng)絡(luò)層中的一階鄰居節(jié)點(diǎn)度值之和DC′這一指標(biāo)來(lái)描述其連接能力：

在全局范圍內(nèi)評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性時(shí)，通過(guò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行保障運(yùn)輸?shù)穆窂皆蕉鄤t該節(jié)點(diǎn)的運(yùn)輸能力越強(qiáng)。使用第2.2節(jié)中定義的由路由改進(jìn)的介數(shù)中心性BC′指標(biāo)衡量全局下的節(jié)點(diǎn)重要性。該指標(biāo)一方面受到系統(tǒng)靜態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，另一方面受到實(shí)際運(yùn)輸中的路由選擇的影響。節(jié)點(diǎn)改進(jìn)后的介數(shù)中心性BC′的值越大，則全局范圍內(nèi)通過(guò)該節(jié)點(diǎn)運(yùn)輸?shù)牡统杀韭窂皆蕉啵?jié)點(diǎn)在保障運(yùn)輸過(guò)程中發(fā)揮著越重要的作用。

上述DC′指標(biāo)從局域范圍出發(fā)，以節(jié)點(diǎn)及其相鄰節(jié)點(diǎn)的連接能力評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性；BC′指標(biāo)從全局范圍出發(fā)，以不同任務(wù)需求下節(jié)點(diǎn)的運(yùn)輸能力評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性。綜合上述兩種指標(biāo)，提出一種新的衡量節(jié)點(diǎn)重要性的指標(biāo)，考慮鄰居度及介數(shù)的綜合性（neighbor degree＆betweeness centrality，NDBC）指標(biāo)如下：

將每個(gè)節(jié)點(diǎn)改進(jìn)后的介數(shù)中心性BC′的值和改進(jìn)后的度中心性DC′的值歸一化后一一相乘，得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的重要性指標(biāo)NDBC的值。

作為對(duì)照，本文還使用平均鄰居節(jié)點(diǎn)度k 指標(biāo)代替DC′指標(biāo)衡量節(jié)點(diǎn)局部重要性，由此得到考慮平均鄰居節(jié)點(diǎn)度及介數(shù)的綜合性指標(biāo)（neighbor average degree＆betweeness centrality，NADBC），即

該指標(biāo)將用于和本文提出的NDBC指標(biāo)進(jìn)行對(duì)照，評(píng)估NDBC指標(biāo)的性能。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

3.1 評(píng)估節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)的方法

本文采用下述兩種方法，從不同的角度比較和展示各種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)的性能。

3.1.1 方法一

3.1.2 方法二

通過(guò)對(duì)參數(shù)取多個(gè)不同值，模擬任務(wù)需求的變化對(duì)節(jié)點(diǎn)間運(yùn)輸線路規(guī)劃以及節(jié)點(diǎn)重要性的影響，在此情況下統(tǒng)計(jì)不同指標(biāo)識(shí)別出最關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的概率（最關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)窮舉法遍歷所有節(jié)點(diǎn)找出）。參數(shù)值的不同，代表時(shí)間成本和經(jīng)濟(jì)成本在總成本中比例的不同，對(duì)應(yīng)著不同的任務(wù)需求。這樣，一種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)識(shí)別出最關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的概率值越高，則表明該指標(biāo)能在多種任務(wù)需求下保持較好的性能。

3.2 實(shí)驗(yàn)仿真參數(shù)設(shè)定

在本文中，規(guī)定裝備保障體系中上層航空網(wǎng)絡(luò)由200個(gè)保障節(jié)點(diǎn)構(gòu)成（＝200），下層鐵路網(wǎng)絡(luò)由500個(gè)保障節(jié)點(diǎn)構(gòu)成（＝500）。上層網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與下層網(wǎng)絡(luò)中代表同一城市的節(jié)點(diǎn)耦合。參照現(xiàn)實(shí)中飛機(jī)與高鐵間的速度比，上層網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度是下層網(wǎng)絡(luò)的3倍，即＝3。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，?。?／9，則＝3＝1／3。同樣，考慮到現(xiàn)實(shí)中兩種交通模式的運(yùn)輸價(jià)格，航空網(wǎng)絡(luò)和鐵路網(wǎng)絡(luò)之間的運(yùn)輸價(jià)格比（／）設(shè)置為5∶1。實(shí)驗(yàn)仿真中，設(shè)定下層網(wǎng)絡(luò)單位距離的運(yùn)輸價(jià)格＝1，則上層網(wǎng)絡(luò)的單位距離運(yùn)輸價(jià)格＝5＝5。網(wǎng)絡(luò)中的每條連邊設(shè)置相同的冗余量＝1，即每條連邊的容量都等于其初始負(fù)載量的兩倍。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

首先使用第3.1.1節(jié)的方法一比較本文提出的節(jié)點(diǎn)重要性綜合評(píng)估指標(biāo)NDBC與其他6種對(duì)照指標(biāo)在識(shí)別多個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上的性能表現(xiàn)?？紤]到在實(shí)際保障運(yùn)輸中，面對(duì)不同的任務(wù)需求，經(jīng)濟(jì)成本與時(shí)間成本各自的比重會(huì)不同，即參數(shù)的值會(huì)發(fā)生變化。而參數(shù)值的變化會(huì)影響節(jié)點(diǎn)間運(yùn)輸線路規(guī)劃，進(jìn)而對(duì)節(jié)點(diǎn)重要性造成影響。為了展示出在不同任務(wù)需求下的指標(biāo)識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的性能，圖2中選取了參數(shù)分別為0、0.5和1時(shí)的仿真結(jié)果。

圖2 各種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)識(shí)別的前1%～10%關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的性能Fig.2 Performance of the top 1%-10%critical nodes identified by the node importance indices

在圖2的每個(gè)分圖中，7條曲線對(duì)應(yīng)7種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)的性能。不難看出，NDBC曲線始終位于另外6種指標(biāo)曲線的下方。表明由本文提出的節(jié)點(diǎn)重要性綜合指標(biāo)NDBC識(shí)別出的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)對(duì)于裝備保障體系運(yùn)輸能力的影響更大，即該指標(biāo)更能有效地識(shí)別出容易導(dǎo)致系統(tǒng)嚴(yán)重毀傷的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

另外，通過(guò)對(duì)圖2中各分圖進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)取不同的值，不同曲線的相對(duì)位置在發(fā)生變化。也就是說(shuō)，當(dāng)參數(shù)取不同值時(shí)7種節(jié)點(diǎn)重要度指標(biāo)的相對(duì)性能的優(yōu)劣會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于僅考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞?種指標(biāo)（節(jié)點(diǎn)的度、介數(shù)和接近中心性）而言，由于沒(méi)有考慮任務(wù)需求的影響，隨著參數(shù)的變化，曲線的相對(duì)位置會(huì)發(fā)生明顯變化。這表明3種指標(biāo)在識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上的相對(duì)性能的優(yōu)劣在不斷改變，在某一參數(shù)取值處能有效識(shí)別出關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的指標(biāo)，可能并不適用于另一個(gè)取值的情況，即這3種重要度指標(biāo)不能很好地適用于實(shí)際中的多種不同任務(wù)需求。例如，對(duì)比圖2中使用度中心性指標(biāo)得到的曲線，在取值0時(shí)該指標(biāo)的識(shí)別性能僅次于NDBC指標(biāo)以及BC′指標(biāo)，性能表現(xiàn)較好；在取值0.5時(shí)，識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的性能表現(xiàn)同樣較好，僅次于NDBC指標(biāo)的識(shí)別性能；然而當(dāng)取值為1時(shí)，該指標(biāo)的識(shí)別性能則大幅下降，表現(xiàn)在圖2（c）中，對(duì)應(yīng)曲線遠(yuǎn)位于所有其他曲線的上方，即識(shí)別出的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)承載量的影響是最小的。由此可見(jiàn)，度中心性指標(biāo)在識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)時(shí)性能不穩(wěn)定，不能很好地滿(mǎn)足實(shí)際任務(wù)需求的變化。

對(duì)于另外4種考慮了任務(wù)需求（即值對(duì)指標(biāo)有影響）的指標(biāo)而言，當(dāng)值變化時(shí)，幾種指標(biāo)的相對(duì)性能優(yōu)劣始終維持不變。從曲線的位置可以看出，NDBC指標(biāo)始終是最優(yōu)的，NADBC指標(biāo)其次，BC′指標(biāo)第3，CC′指標(biāo)最差。作為參照的NADBC指標(biāo)在＝0及＝1時(shí)，都表現(xiàn)出了與本文提出的NDBC指標(biāo)類(lèi)似的識(shí)別性能，均比其他的幾種指標(biāo)的識(shí)別效果要好。然而，在參數(shù)＝0.5時(shí)，NADBC指標(biāo)的識(shí)別效果則表現(xiàn)不如度中心性指標(biāo)DC。由此可見(jiàn)，使用平均鄰居節(jié)點(diǎn)度衡量局部重要性得到的NADBC指標(biāo)在識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)時(shí)，隨著參數(shù)的變化，識(shí)別性能表現(xiàn)也不穩(wěn)定。與其他節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)相比，本文提出的NDBC指標(biāo)在值變化時(shí)識(shí)別性能始終維持最優(yōu)，在識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)時(shí)表現(xiàn)出了較強(qiáng)的穩(wěn)定性。

上述實(shí)驗(yàn)比較了不同節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)識(shí)別多個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的性能。對(duì)于實(shí)際應(yīng)用而言，能否識(shí)別出系統(tǒng)中最重要的單個(gè)節(jié)點(diǎn)往往具有重要的意義。對(duì)最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行保護(hù)，能夠最大化地減輕系統(tǒng)毀傷，提高系統(tǒng)的抗毀性。按照第3.1節(jié)中的方法二，實(shí)驗(yàn)?zāi)M7種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)在不同任務(wù)需求（即參數(shù)的值不同）下識(shí)別出最重要節(jié)點(diǎn)的概率。

圖3顯示了在多個(gè)不同取值下（即模擬多種任務(wù)需求），多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)得出的7種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)識(shí)別出最關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的概率?？梢悦黠@看出，本文提出的節(jié)點(diǎn)重要性綜合指標(biāo)NDBC在7種指標(biāo)中成功識(shí)別出最關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的概率最高。這表明在參數(shù)取多個(gè)不同值，即對(duì)應(yīng)實(shí)際中不同的任務(wù)需求下，NDBC指標(biāo)識(shí)別出對(duì)裝備保障體系運(yùn)輸能力影響最大的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的概率更高，從而有利于更好地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的薄弱環(huán)節(jié)。

圖3 節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)識(shí)別出最關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的概率Fig.3 Probability of node importance metric identifying the most critical nodes

通過(guò)上述兩種實(shí)驗(yàn)方法的檢驗(yàn)，可以看出無(wú)論是在識(shí)別多個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)還是在識(shí)別單個(gè)最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)方面，相對(duì)其他6種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)而言，本文提出的NDBC指標(biāo)的性能都是最優(yōu)的。而且，隨著任務(wù)需求的變化，NDBC指標(biāo)的性能始終維持相對(duì)最優(yōu)，具有很好的穩(wěn)定性。

4 總 結(jié)

裝備保障體系在戰(zhàn)爭(zhēng)中承擔(dān)著重要的保障物資運(yùn)輸任務(wù)，一旦其中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)由于遭到攻擊而失效，將對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)輸能力產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此，本文研究了裝備保障體系中識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的方法，提出了一種新的綜合性節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)，對(duì)雙層耦合交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的重要性進(jìn)行評(píng)估，從而識(shí)別出系統(tǒng)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。這種節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)綜合了節(jié)點(diǎn)自身及鄰居的影響、節(jié)點(diǎn)局部連接能力及全局運(yùn)輸能力的影響、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及任務(wù)需求的影響等多個(gè)因素。通過(guò)與另外6種常用的節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)對(duì)比表明，無(wú)論是在識(shí)別多個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，還是識(shí)別單個(gè)最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)上，本文提出的NDBC指標(biāo)性能都保持相對(duì)最優(yōu)，并且在面對(duì)不同任務(wù)需求時(shí)均能保持良好的性能，具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性。