徐任杰，宮 琳，2，*，朱明仁，謝 劍，俞景嘉

（1.北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081；2.北京理工大學長三角研究院（嘉興），浙江 嘉興 314019）

0 引 言

隨著信息技術的飛速發(fā)展，現代戰(zhàn)爭環(huán)境日益復雜，戰(zhàn)場態(tài)勢瞬息萬變，這就需要指揮人員在短時間內對作戰(zhàn)方案進行快速推薦，找出與當前任務需求最為相關的作戰(zhàn)方案作為參考案例，盡可能地減少決策反應時間，以便更好地在作戰(zhàn)部署上進行優(yōu)化配置。作戰(zhàn)方案推薦是指綜合作戰(zhàn)任務描述、作戰(zhàn)能力屬性、情況判斷及作戰(zhàn)方案等數據，充分利用當前所能收集的信息對作戰(zhàn)方案進行快速優(yōu)選及推薦。作為OODA（observation orientation decision action）環(huán)的一個關鍵步驟，體系對抗下作戰(zhàn)方案推薦的好壞直接影響最終戰(zhàn)爭成敗。由于作戰(zhàn)方案本身的復雜性和不確定性，如何依據當前任務需求的特征和信息對作戰(zhàn)方案進行科學合理的推薦成為了一個難點。

經過長期的發(fā)展，作戰(zhàn)方案推薦方法和理論在不斷完善。文獻［3］綜合概述了現有的作戰(zhàn)方案評估優(yōu)選方法，對其歸納的方法進行了總結和對比，展望了作戰(zhàn)方案推薦研究領域的進一步發(fā)展方向。由于作戰(zhàn)方案一般具有多種作戰(zhàn)能力屬性，多屬性決策方法在作戰(zhàn)方案推薦問題上應用較多。文獻［6］提出了一種潛在權重自適應分配的作戰(zhàn)方案評估模型，并利用貝葉斯分析方法的后驗機制給出新作戰(zhàn)方案的推薦結果。文獻［7］綜合考慮影響完成作戰(zhàn)任務的重要因素，建立了綜合逼近理想解排序法（technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS）和灰色關聯(lián)分析法的作戰(zhàn)方案優(yōu)選推薦模型。文獻［8］提出了一種基于運籌分析和作戰(zhàn)模擬仿真結合的綜合優(yōu)選推薦方法。文獻［9］提出了一種改進的TOPSIS方法對作戰(zhàn)方案進行優(yōu)選推薦，解決了傳統(tǒng)TOPSIS方法中的逆序問題。文獻［10］給出了基于經典物元模型的作戰(zhàn)方案評估框架，形成4種組合量化評估的檢驗模式對作戰(zhàn)方案進行優(yōu)選。文獻［11］提出了改進的新型距離測度，實現了基于綜合感知價值的多個備選作戰(zhàn)方案的推薦。文獻［12］基于情境感知和偏好學習提出了一種作戰(zhàn)方案智能推薦方法，可較好地推薦相似情況的歷史處置案例。當前也存在其他的作戰(zhàn)方案推薦方法，包括模糊綜合評價法、情景分析法、證據推理、仿真法和前景理論，這些也都是用于作戰(zhàn)方案推薦的常用方法。

但現有的作戰(zhàn)方案推薦存在以下問題：①沒有考慮作戰(zhàn)需求表征與作戰(zhàn)方案評價存在不確定性信息。由于作戰(zhàn)環(huán)境的復雜性和人員思維的主觀性，不能簡單地用點值描述推薦過程中的數據信息，而是需要一個范圍，也就是存在不確定性信息。②沒有對作戰(zhàn)方案數據進行有效重用。實際作戰(zhàn)中留給指揮人員的決策時間窗口很短，來不及臨時制定作戰(zhàn)方案，因此需要充分利用平時積累的作戰(zhàn)方案數據。③僅考慮作戰(zhàn)方案與任務需求的相關性而未考慮作戰(zhàn)方案的多樣性。為防止敵方的針對性打擊，爭奪和保持信息優(yōu)勢，指揮人員需要的是與當前任務需求最為相關、且多樣性強的作戰(zhàn)方案子集作為參考案例，避免結果同質化及防止落入局部最優(yōu)，以提供開闊的決策視野。

為解決以上問題，本文提出了一種不確定信息下考慮相關性與多樣性的作戰(zhàn)方案推薦方法。首先將粗糙集理論融入最優(yōu)最劣法（best worst method，BWM）中對各作戰(zhàn)能力屬性進行賦權；其次給出了不確定信息下作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性、作戰(zhàn)方案之間的多樣性計算模型；然后提出了權衡相關性和多樣性的行列式點過程（determinantal point process，DPP）模型，在此基礎上，給出了貪婪最大后驗概率（maximum a posterior，MAP）推斷算法和貪婪Tradeoff推斷算法以獲得作戰(zhàn)方案最優(yōu)推薦子集；最后通過案例分析驗證了所提模型和方法的適用性和可行性。

1 作戰(zhàn)能力屬性權重計算

作戰(zhàn)能力屬性權重可反映屬性的相對重要性，是有效計算相關性和多樣性的前提條件。本文通過BWM得到軍事專家小組對作戰(zhàn)方案屬性權重判斷，由于作戰(zhàn)環(huán)境的復雜特征和軍事專家固有的主觀思想會引起信息不確定性，因此融入粗糙集理論將專家判斷給出的點值范圍化，然后按照重要性程度對屬性進行權重配置。此時權重計算避免極值影響，結果更加客觀可靠。

1.1 粗糙集理論

粗糙集理論是解決復雜決策問題的有效工具，可以較好地利用下限和上限來表征決策問題的不確定性和模糊性，相比于區(qū)間理論和模糊理論，其優(yōu)勢在于無需效用函數、隸屬函數等先驗信息知識，完全利用已有的客觀數據進行分析，具有較強的實用性。

存在＝（，，…，S），共有個類，對于任意的S∈，∈，是論域，確定值S的下近似限和上近似限為

利用以上公式得到確定值S的粗糙數表達形式為

式中：S和S 分別代表粗糙數RN（S）的上限和下限，其差值越小，說明不確定性越小，反之則越大。

1.2 融入粗糙集理論的BWM

傳統(tǒng)的BWM是利用精確數值來表示專家的認知，但綜合專家判斷時易受到極值的影響，且忽視了不確定信息，將粗糙集理論融入BWM中可靈活解決此問題，具體過程如下。

確定最優(yōu)屬性和最劣屬性。存在個作戰(zhàn)方案能力屬性，通過個專家確定最優(yōu)屬性c 和最劣屬性c ，采用1～9的評價標度，1表示兩個屬性同等重要，9表示該指標與其他屬性相比極其重要。

確定最優(yōu)、最劣屬性相比于其他屬性的比較向量。通過最優(yōu)、最劣屬性與其他屬性相對重要度的兩兩比較，構建整合的比較向量為

式中：表示第個專家，1≤≤；表示第個屬性，1≤≤。

構造粗糙比較向量。將比較向量粗糙化得到的粗糙序列表示為

粗糙序列的平均值表示為

計算作戰(zhàn)能力屬性的權重。構建多目標規(guī)劃模型得出最優(yōu)屬性權重配置，得到的權重應該滿足：

2 方案相關性和多樣性計算

方案相關性反映了作戰(zhàn)方案滿足任務需求的程度，方案多樣性反映了作戰(zhàn)方案之間存在的差異。為防止敵方的針對性打擊，爭奪和保持信息優(yōu)勢，指揮人員需要的是與當前任務需求最為相關、且多樣性強的作戰(zhàn)方案子集。因此，本文給出不確定信息作戰(zhàn)方案相關性、多樣性計算模型，具體如下。

給定作戰(zhàn)方案集為＝｛，，…，P｝，任務需求為P ，作戰(zhàn)能力屬性集合為＝｛，，…，s，…，s｝。

首先構造判斷矩陣并轉換為粗判斷矩陣：

式中：是方案的個數；為能力屬性的個數；1≤≤，1≤≤。

然后對判斷矩陣進行粗化和平均化，得到粗判斷矩陣：

對粗判斷矩陣歸一化，得到作戰(zhàn)方案能力屬性的權值向量。為避免量綱的影響，對粗判斷矩陣進行歸一化，且1≤≤，1≤≤。

2.1 相關性計算

在計算作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性前，首先需要計算其作戰(zhàn)能力屬性的相關性，然后綜合所有的作戰(zhàn)能力屬性得到作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性。作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性表示作戰(zhàn)方案滿足任務需求的程度，本文對已有的任務需求滿足度函數進行改進，提出了不確定信息下的任務滿足需求度函數來計算作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性，給出的相關性計算模型具體如下。

計算作戰(zhàn)方案P 與任務需求P 在作戰(zhàn)能力屬性s 上的相關性：

計算作戰(zhàn)方案P 與任務需求P 之間的相關性。考慮權重對每個作戰(zhàn)能力屬性的影響程度，作戰(zhàn)方案P 和任務需求P 的相關性表示為

2.2 多樣性計算

傳統(tǒng)的作戰(zhàn)方案推薦只考慮作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性。為防止敵方的針對性打擊，爭奪和保持信息優(yōu)勢，所推薦的作戰(zhàn)方案應存在一定的差異，即多樣性。一方面避免推薦方案同質化，另一方面防止推薦結果落入局部最優(yōu)，進而為指揮人員提供更加開闊的決策視野。作戰(zhàn)方案的相似度表示作戰(zhàn)方案之間的相似程度，是作戰(zhàn)方案之間多樣性的前提條件，本文綜合考慮絕對相似度和位形相似度，給出的多樣性計算模型具體步驟如下。

計算不同作戰(zhàn)方案能力屬性之間的絕對相似度。作戰(zhàn)方案P 和作戰(zhàn)方案P 在作戰(zhàn)能力屬性s 下的絕對相似度為

計算作戰(zhàn)方案之間的相似度。綜合絕對相似度和位形相似度，考慮權重對每個作戰(zhàn)能力屬性的影響程度，作戰(zhàn)方案P 和作戰(zhàn)方案P 的相似度表示為

式中：w 表示作戰(zhàn)能力屬性權重；s表示第個作戰(zhàn)能力屬性；表示作戰(zhàn)能力屬性的個數；（AS （P ，P ）＋CS （P ，P ））／2表示作戰(zhàn)方案P 和作戰(zhàn)方案P 在作戰(zhàn)能力屬性s 下的相似度。

計算作戰(zhàn)方案之間的多樣性。作戰(zhàn)方案集合之間的成對相似度可以使用一個實對稱矩陣進行描述，其元素K表示作戰(zhàn)方案P 和作戰(zhàn)方案P 之間的相似度，即

由于絕對相似度計算函數與位形相似度計算函數均為廣義學生氏核函數，因此其所誘導的相似度矩陣為半正定矩陣。任何半正定矩陣可以作為一組特征向量的格拉姆矩陣存在，即作戰(zhàn)方案相似度矩陣可被分解為

式中：＝［，，…，p ］，p 表示作戰(zhàn)方案P 的特征向量。

3 作戰(zhàn)方案推薦

3.1 DPP過程建模

DPP是一種概率建模的方法，可以有效解決作戰(zhàn)方案推薦中的相關性與多樣性權衡問題，相比于其他模型，DPP建模簡單，僅輸入一個半正定矩陣即可進行方案推薦，從而快速獲得作戰(zhàn)方案的推薦結果。本文提出了權衡相關性和多樣性的DPP模型，具體如下：

對于作戰(zhàn)方案集＝｛，，…，P｝和任務需求P ，存在相關性向量，其中

綜合作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性及作戰(zhàn)方案之間的多樣性，構造新的矩陣，其中

由于矩陣是半正定的，因此矩陣＝diag（）··diag（）是半正定的。為對數據建模，將矩陣作為核矩陣，通過L-ensembles的形式構建DPP模型：從作戰(zhàn)方案集＝｛，，…，P｝中進行子集采樣，其概率形式表示為

式中：是作戰(zhàn)方案集中的一個子集；（）表示采樣到子集的概率；L ＝［L ］為由索引的的一個子矩陣；det（L ）表示矩陣L 的行列式；是與大小相同的單位矩陣。

為更直觀觀察det（L ）的物理意義，對det（L ）取對數，表示為

根據以上內容，可將作戰(zhàn)方案推薦問題轉化為優(yōu)化問題，給出的標準優(yōu)化模型如下。

目標函數：

決策變量：?

約束條件：｜｜＝

式中：表示要求的推薦方案數目，由指揮人員靈活確定。

3.2 模型求解

在采用DPP建模后，作戰(zhàn)方案推薦問題就轉化成為了一個MAP推斷問題，也就是合理選擇作戰(zhàn)方案的子集，使子集與任務需求之間的相關性及子集內部之間的多樣性最大化。不同于DPP的概率計算或采樣計算，DPP的MAP推斷是非確定多項式問題，不存在可尋找精確MAP解的多項式時間算法。為了解決此問題，本文基于最大邊際增益的貪婪算法對其求解，該算法的基本思想是在每一次迭代過程中向子集中添加項，直至達到要求的推薦作戰(zhàn)方案數目。給出項的計算公式如下：

參考式（25）進行推薦子集選取的方法，本文給出貪婪MAP推斷算法具體流程圖，如圖1所示。

圖1 貪婪MAP推斷算法流程圖Fig.1 Flow chart of greedy MAP inference algorithm

3.3 模型拓展

為了對推薦作戰(zhàn)方案子集的相關性和多樣性進行更加靈活的調整，本文引入權重系數對式（24）進行調整，則標準優(yōu)化模型如下。

①目標函數：

②決策變量：?

③約束條件：｜｜＝

式中：表示要求的推薦方案數目；表示權重系數，0≤≤1；當＝0時，表示只考慮推薦子集的內部之間多樣性而不考慮與任務需求之間的相關性，當＝1時相反。

此時式（25）可調整為

參考式（27）進行推薦子集選取的方法，本文給出貪婪Trade-off推斷算法具體流程圖，如圖2所示。

圖2 貪婪Trade-off推斷算法流程圖Fig.2 Flow chart of greedy Trade-off inference algorithm

4 案例分析

為完成某使命任務，紅方根據已知的任務需求，利用平時積累的作戰(zhàn)預案，從50個歷史作戰(zhàn)方案中推薦出與當前任務需求最為相關、且多樣性強的作戰(zhàn)方案子集作為參考案例，從而更好地在作戰(zhàn)部署上進行優(yōu)化配置。此次使命任務從偵察能力、信息處理能力、信息傳輸能力、輔助決策能力、突發(fā)應變能力、作戰(zhàn)適宜性、打擊精度和機動速度8個作戰(zhàn)能力屬性對作戰(zhàn)方案進行推薦判斷。

4.1 作戰(zhàn)能力屬性權重計算

在確定作戰(zhàn)方案包含的作戰(zhàn)能力屬性后，邀請5名專家對作戰(zhàn)能力屬性進行主觀判斷打分，然后利用融入粗糙集理論的BWM方法計算各個作戰(zhàn)能力屬性權重。

5名專家根據自身偏好對8個作戰(zhàn)能力屬性進行打分，評分分制為1～9，5名專家均認為信息傳輸能力是最優(yōu)標準，作戰(zhàn)適宜性是最劣標準，構建整合的比較向量為

得到的粗糙比較向量和作戰(zhàn)能力屬性權重結果如表1所示。

表1 作戰(zhàn)能力屬性權重計算結果Table 1 Combat capability attribute weight calculation results

4.2 方案相關性和多樣性計算

將50個作戰(zhàn)方案對應的作戰(zhàn)能力屬性數據粗糙化，已知任務需求向量P ＝（［5.639，6.387］，［4.029，6.434］，［5.842，7.868］，［4.182，6.755］，［4.471，7.881］，［4.358，6.574］，［4.308，7.075］，［5.939，6.267］），其中任務需求的內涵是多方面的，這里僅考慮各個作戰(zhàn)能力屬性的組合，下限是指完成任務所需的最小的作戰(zhàn)能力屬性值，上限是指成本資源因素限制的作戰(zhàn)能力屬性值。

根據式（11）～式（16），計算50個作戰(zhàn)方案與任務需求P 之間的相關性及作戰(zhàn)方案之間的相似度，如表2所示。

表2 相關性和相似度計算結果Table 2 Relativity and similarity calculation results

表2中，前50行表示作戰(zhàn)方案～之間的相似度矩陣，最后一行表示作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性。其熱力圖可視化如圖3所示。

圖3 相關性和相似度熱力圖Fig.3 Relativity and similarity thermodynamic diagram

作戰(zhàn)方案與任務需求之間的相關性在0.546～0.933之間；作戰(zhàn)方案之間的相似度在0.361～0.781之間，取某個作戰(zhàn)方案子集，其多樣性按照式（19）計算。

4.3 作戰(zhàn)方案推薦

為了驗證DPP模型推薦作戰(zhàn)方案的適用性，提出相關性分數和多樣性分數的概念來衡量推薦子集與任務需求的相關性程度、內部之間的多樣性程度，具體如下：

式（28）表示相關性分數，反映了推薦子集與任務需求之間相關性的下限；式（29）表示多樣性分數，反映了推薦子集內部之間成對相似度的上限。兩個指標越大，說明推薦子集越滿足相關性和多樣性要求。

在DPP模型的基礎上，利用上述所給出的貪婪MAP推斷算法從50個作戰(zhàn)方案中選取2～20個進行推薦，相關性分數和多樣性分數如圖4中紅線所示。

圖4 相關性和多樣性分數Fig.4 Relativity and diversity scores

為了證明方法的有效性，將貪婪MAP推斷算法與其他方法進行對比分析。圖4中的藍線表示一種貪婪相關算法，其基本思想是每次迭代中，從剩余的作戰(zhàn)方案中選擇與任務需求相關性最大的一個加入推薦子集，直到達到推薦數量要求。從圖4中可知：隨著推薦作戰(zhàn)方案的增多，貪婪相關算法為追求相關性而導致推薦子集迅速同質化，貪婪MAP推斷算法給出的推薦作戰(zhàn)方案子集的整體相關性雖然略低于貪婪相關算法，但保留了與任務需求最為相關的若干個作戰(zhàn)方案（理論上至少存在1個），保持了多樣性方面的優(yōu)勢，證明了貪婪MAP推斷算法對相關性和多樣性有著較好的權衡能力，可為指揮人員提供更好的決策視野。

接著利用上述所給出的貪婪Trade-off推斷算法進行相關性和多樣性的權衡效果分析，在推薦子集的數量設置為10時，該案例的計算結果如圖5所示。

圖5 貪婪Trade-off推斷算法Fig.5 Greedy Trade-off inference algorithm

貪婪Trade-off推斷算法通過對參數調整來對相關性和多樣性進行權衡，從圖5中可知：當較小時，貪婪Trade-off推斷算法傾向于尋找多樣性的推薦子集而非相關性，當較大時情況相反。在本案例中，當較小時，貪婪Trade-off推斷算法得到的推薦子集多樣性比貪婪MAP推斷算法更好，但推薦子集與任務需求之間的相關性較低，直至＝0.7時，兩種方法性能表現相近；當＝1.0時，貪婪Trade-off推斷算法與貪婪相關算法表現相近。因此，當指揮人員想要獲得比貪婪MAP推斷算法更高的相關性，且比貪婪相關算法更高的多樣性推薦子集時，可將調整到0.7～1.0之間。

案例表明：貪婪MAP推斷算法所給出的作戰(zhàn)方案推薦子集能在保持相關性的條件下提高子集內部的多樣性；貪婪Trade-off推斷算法為相關性與多樣性之間的權衡提供了更加靈活的選擇。此外，由于的取值對貪婪Tradeoff推斷算法的表現性能影響較大，當指揮人員起初不確定對相關性和多樣性的偏好傾向時，可將貪婪MAP推斷算法作為一個較好的初始探索點。

5 結束語

從相關性與多樣性兩個視角出發(fā)，考慮不確定信息影響的情況下提出了一種作戰(zhàn)方案推薦新方法。具體有以下貢獻：

（1）將粗糙集理論融入作戰(zhàn)方案相關性、多樣性計算全過程，有效解決作戰(zhàn)方案表征與評價過程中的不確定性問題。給出了不確定信息下作戰(zhàn)方案相關性、多樣性計算模型，計算過程完全依賴原始數據，結果更加客觀有效。

（2）將DPP模型引入作戰(zhàn)方案推薦過程中，有效解決作戰(zhàn)方案推薦子集與作戰(zhàn)任務需求相關性、內部方案多樣性的權衡問題。給出了相關性與多樣性權衡的貪婪MAP推斷算法和貪婪Trade-off推斷算法，為推薦問題的求解提供了快速靈活的有效手段。

不過，本文方法仍然有不足之處：所推薦的作戰(zhàn)方案只是作為參考案例，并不是最終的作戰(zhàn)方案，下一步將結合實際作戰(zhàn)情況進行修改、再設計，以最大程度滿足實際任務需求。