張 俊，張新禹，姜衛(wèi)東，劉永祥，黎 湘

（國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410073）

0 引 言

波達(dá)方向（direction of arrival，DOA）估計(jì)是陣列信號(hào)處理研究的一類重點(diǎn)問(wèn)題，其廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、無(wú)線通信、地震及水下探測(cè)等眾多領(lǐng)域。經(jīng)過(guò)近幾十年的發(fā)展，研究人員提出了大量高分辨DOA估計(jì)算法。但是這些傳統(tǒng)的DOA估計(jì)算法在實(shí)際應(yīng)用中受到諸多限制。例如，以多重信號(hào)分類方法（multiple signal classification，MUSIC）為代表的子空間分解類算法通常需要較高的信噪比（signal to noise ratio，SNR）、足夠的快拍數(shù)量以及已知信源數(shù)量。子空間擬合類算法，如最大似然算法和加權(quán)子空間擬合算法等，雖然在低SNR和小快拍數(shù)的情況下表現(xiàn)比子空間分解類算法好，但因其有計(jì)算量大的缺點(diǎn)而難以實(shí)際應(yīng)用。

近年來(lái)，稀疏恢復(fù)類DOA算法由于在低SNR、有限快拍數(shù)和相關(guān)信號(hào)等場(chǎng)景中的良好性能，成為研究熱點(diǎn)。此類算法的基本思想是在滿足一定約束條件下，利用過(guò)完備的基函數(shù)求解可以表示原始信號(hào)的稀疏系數(shù)向量。稀疏恢復(fù)類算法主要包括貪婪追蹤、l （≥0）范數(shù)優(yōu)化和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（sparse Bayesian learning，SBL）三類算法。貪婪追蹤類算法是在每次迭代中根據(jù)相關(guān)性選擇與當(dāng)前殘余信號(hào)特征結(jié)構(gòu)匹配的最優(yōu)原子，實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的逼近，典型算法有匹配追蹤算法、正交匹配追蹤算法等。雖然此類算法不需要信源數(shù)量的先驗(yàn)信息，也可用于處理相關(guān)信號(hào)，但是存在計(jì)算復(fù)雜度高、收斂速度慢等問(wèn)題。l 范數(shù)優(yōu)化算法是將l 范數(shù)懲罰項(xiàng)引入目標(biāo)函數(shù)，保證解的稀疏性，防止出現(xiàn)過(guò)擬合，常用的算法有LASSO（least absolute shrinkage and selection operator）算法、-奇異值分解（singular value decomposition，SVD）算法等。此類算法通常也具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)正則化參數(shù)的選擇對(duì)性能的影響比較明顯。SBL類方法是從貝葉斯觀點(diǎn)出發(fā)，利用信號(hào)的稀疏先驗(yàn)信息對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏重構(gòu)。相對(duì)于上述兩類方法，SBL算法能夠保證達(dá)到全局最優(yōu)且計(jì)算效率也有顯著提高。同時(shí)，SBL算法的在信號(hào)分量之間存在強(qiáng)相關(guān)性時(shí)仍然具有良好的重構(gòu)性能。文獻(xiàn)［6-7］提出了基于SBL的雙基地?zé)o源雷達(dá)DOA估計(jì)方法，其思想主要是通過(guò)空間幾何關(guān)系建立雙站接收數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，聯(lián)合進(jìn)行DOA估計(jì)，在一定程度上緩解了快拍數(shù)的限制，性能要優(yōu)于只使用單站數(shù)據(jù)的情況，但是在計(jì)算后驗(yàn)概率密度時(shí)涉及到階矩陣求逆問(wèn)題，需要在計(jì)算效率和估計(jì)精度之間做出平衡。為避免大規(guī)模矩陣求逆問(wèn)題，文獻(xiàn)［8］提出了一種基于酉變換的近似消息傳遞（approximate message passing，AMP）的SBL-DOA估計(jì)算法。但是AMP算法只能解決線性問(wèn)題，不適用于任意的信號(hào)分布，且要求字典矩陣滿足獨(dú)立同分布的零均值高斯分布。文獻(xiàn)［12］將AMP算法進(jìn)行了拓展，提出廣義AMP（generalized AMP，GAMP）算法。GAMP算法對(duì)輸入、輸出信號(hào)的分布沒(méi)有要求，且可以解決非線性問(wèn)題，適用于具有精確漸近性能保證的非高斯估計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)［13］進(jìn)一步證明了在獨(dú)立高斯先驗(yàn)和似然函數(shù)的條件下，當(dāng)字典矩陣奇異值的峰—均值比較小時(shí)，可以保證GAMP算法收斂，并給出了一種阻尼GAMP算法，使得在上述條件不滿足時(shí)也可以保證算法收斂，極大地拓展了算法的適用范圍。

本文提出一種SBL框架下的基于GAMP的雙基地聯(lián)合DOA估計(jì)方法。首先，構(gòu)建了雙站快拍數(shù)據(jù)下的信號(hào)模型。通過(guò)數(shù)據(jù)間的獨(dú)立性，利用GAMP網(wǎng)絡(luò)將多維聯(lián)合后驗(yàn)概率密度的計(jì)算簡(jiǎn)化為標(biāo)量形式的邊緣概率密度計(jì)算，并推導(dǎo)了參數(shù)更新的閉式表達(dá)式。然后，針對(duì)離網(wǎng)目標(biāo)，提出了一種基于梯度的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)更新策略。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在低SNR和有限快拍數(shù)的情況下，本算法相比于其他算法具有較高的DOA估計(jì)精度和較低的計(jì)算復(fù)雜度。

1 雙基地?zé)o源雷達(dá)接收信號(hào)模型

1.1 系統(tǒng)模型

圖1 雙基地?zé)o源雷達(dá)系統(tǒng)空間幾何關(guān)系Fig.1 Spatial geometry of the bi-static passive radar system

根據(jù)空間幾何關(guān)系，容易得到第個(gè)目標(biāo)在兩個(gè)天線陣列上的入射角滿足：

化簡(jiǎn)可得

因此，通過(guò)式（2）就可以建立兩個(gè)雷達(dá)之間接收數(shù)據(jù)的關(guān)系。兩個(gè)雷達(dá)站多快拍模型的接收數(shù)據(jù)可以寫(xiě)成

1.2 貝葉斯框架下的稀疏信號(hào)模型

對(duì)于信號(hào)的先驗(yàn)概率，根據(jù)目標(biāo)的獨(dú)立性假設(shè)可以認(rèn)為、中的元素是相互獨(dú)立的，且每一行的元素是獨(dú)立同分布的，服從均值為零、方差為γ≥0（＝1，2，…，）的復(fù)高斯分布。這里假設(shè)入射信號(hào)在兩個(gè)陣列處的方差相同，這樣設(shè)定主要是為了簡(jiǎn)化模型復(fù)雜度。實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)雷達(dá)方程求解出兩個(gè)陣列接收到同一目標(biāo)信號(hào)的功率比值，故可以通過(guò)補(bǔ)償使兩處的接收信號(hào)功率一致。故信號(hào)幅值的先驗(yàn)概率可寫(xiě)為

式中：x 表示X （＝1，2）中第行列的元素；（·）為沖擊函數(shù)。那么接收信號(hào)的先驗(yàn)概率密度可表示為

在SBL框架下，本文假設(shè)這些超參數(shù)服從伽馬分布：

2 基于SBL的快速DOA估計(jì)算法

2.1 利用GAMP算法求解信號(hào)幅值的后驗(yàn)概率

根據(jù)模型中的獨(dú)立性假設(shè)及傳輸信道的湍流效應(yīng)，不同陣列之間、不同信源之間信號(hào)幅值都是相互獨(dú)立的，故入射信號(hào)的后驗(yàn)概率可以分解為

式中：、（＝1，2，…，）分別表示、的第行。由于、的先驗(yàn)分布為復(fù)高斯分布，根據(jù)共軛先驗(yàn)的性質(zhì)，其后驗(yàn)分布也應(yīng)為復(fù)高斯分布。故只需求出均值和協(xié)方差矩陣即可獲得后驗(yàn)概率密度。

根據(jù)各樣本之間的獨(dú)立性，有

式中：、 （＝1，2，…，）分別是、中的第個(gè)元素。

通過(guò)式（11）可以看出，矢量形式的后驗(yàn)概率密度轉(zhuǎn)化成了一系列標(biāo)量后驗(yàn)概率密度的乘積。這里可以采用文獻(xiàn)［12］提出的GAMP算法計(jì)算、的后驗(yàn)概率密度，具體步驟如算法1所示。

2.2 估計(jì)γ

按照標(biāo)準(zhǔn)EM算法的操作，的最大后驗(yàn)估計(jì)為

對(duì)于式（19）的求解一般是構(gòu)建ln（（，，））的緊湊下界（），根據(jù)Jensen不等式可得

式中：［·］表示在概率密度（）上求期望。

將式（20）代入式（19）并寫(xiě)成標(biāo)量形式，忽略（）中與γ（＝1，2，…，）無(wú)關(guān)的項(xiàng)，可以得到

式中：目標(biāo)函數(shù)結(jié)合式可以寫(xiě)為

在無(wú)信息先驗(yàn)的情況中，是一個(gè)很小的值，忽略并令式（23）等于零，可以得到γ的迭代更新表達(dá)式：

經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，式（25）比式（24）收斂更快。

2.3 估計(jì)目標(biāo)數(shù)量K和噪聲功率 和

一般情況下，目標(biāo)數(shù)量可通過(guò)搜索的峰值來(lái)估計(jì)，但是在樣本數(shù)較少、SNR較低的條件下往往會(huì)出現(xiàn)多個(gè)虛假尖峰。參考文獻(xiàn)［15］的方法，本文采用如下表達(dá)式對(duì)進(jìn)行估計(jì)：

準(zhǔn)確的噪聲功率估計(jì)可以加快算法的收斂速度，然而通過(guò)類似式（19）的方式求解也會(huì)涉及階矩陣求逆的運(yùn)算，不但計(jì)算復(fù)雜度較高，而且估計(jì)結(jié)果比實(shí)際值要小。因此，本算法采用下列實(shí)證方法來(lái)估計(jì)噪聲功率：

式中：和可能在每次迭代中會(huì)改變，但是在角度估計(jì)正確的條件下，上式是對(duì)噪聲功率的一致無(wú)偏漸近估計(jì)。當(dāng)→∞時(shí)，該估計(jì)的方差趨近于克拉美羅下限。

2.4 算法初始值的選擇

雖然本算法對(duì)初始值不敏感，但是一個(gè)好的初始值可以加快算法的收斂速度。在已知SNR的情況下，噪聲功率的初始值可設(shè)為

如果缺少SNR的信息，噪聲功率也可初始化為一個(gè)較小的值。因?yàn)楫?dāng)角度估計(jì)不準(zhǔn)時(shí)，通過(guò)式（29）對(duì)噪聲功率的估計(jì)值會(huì)偏高。

信號(hào)功率可通過(guò)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣來(lái)進(jìn)行初始化。初始時(shí)假設(shè)所有方向的信號(hào)功率均為，即＝1，其中

2.5 對(duì)離網(wǎng)目標(biāo)的處理

從模型的構(gòu)建可以看出，角度網(wǎng)格的密度決定著本算法DOA估計(jì)的精度。對(duì)于離網(wǎng)目標(biāo)，文獻(xiàn)［19］給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格更新策略，但是會(huì)增加網(wǎng)格的數(shù)量和密度，從而使計(jì)算復(fù)雜度提高；文獻(xiàn)［10］根據(jù)陣列流行矩陣的范德蒙德結(jié)構(gòu)提出了Root-SBL方法，但此方法只適用于均勻線陣，不具有普遍性。因此，本算法在噪聲功率估計(jì)完成后，考慮使用梯度方法求解目標(biāo)所處網(wǎng)格的偏移量來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)網(wǎng)格位置的動(dòng)態(tài)調(diào)整。

最優(yōu)的網(wǎng)格分布應(yīng)滿足如下條件：

式中：上標(biāo)為網(wǎng)格更新步驟中的迭代次數(shù)；sign（·）為符號(hào)函數(shù)；為更新步長(zhǎng)。使用單站數(shù)據(jù)分別計(jì)算對(duì)同一目標(biāo)的網(wǎng)格更新，然后換算成一個(gè)站的角度，取平均值作為最終的網(wǎng)格更新。

2.6 算法復(fù)雜度分析

最后，對(duì)本文所提算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟總結(jié)如下。

3 仿真分析

本節(jié)通過(guò)數(shù)值仿真的方式對(duì)所提出的基于GAMP的快速SBL算法（GAMP-SBL）進(jìn)行有效性驗(yàn)證，并從空間譜、不同SNR和快拍數(shù)下的均方根誤差以及計(jì)算時(shí)間等4個(gè)方面與經(jīng)典的Lasso算法、BM-SBL算法、M-SBL算法進(jìn)行對(duì)比分析。其中，LASSO算法采用CVX工具箱求解，M-SBL算法默認(rèn)已知目標(biāo)數(shù)量，故該算法沒(méi)有估計(jì)這一步驟。

（1）仿真1：算法空間譜分析

圖2為各算法在陣列1上的空間譜。實(shí)驗(yàn)條件為SNR＝-7 dB，SNR＝-10 dB，圖2（a）快拍數(shù)為40，圖2（b）快拍數(shù)為10。從圖2（a）中可以看出，各算法均能正確識(shí)別出兩個(gè)目標(biāo)，本算法與BM-SBL算法的波束寬度基本一致，M-SBL算法波束稍寬。當(dāng)快拍數(shù)進(jìn)一步降低，如圖2（b）所示，BM-SBL算法副瓣起伏較大，M-SBL算法只估計(jì)出了10°方向的目標(biāo)，LASSO算法性能最好，但這是調(diào)整正則化參數(shù)后的結(jié)果，本算法雖然也出現(xiàn)了峰值較低的副瓣，但不影響目標(biāo)方位的估計(jì)，說(shuō)明了本算法在小快拍數(shù)條件下的穩(wěn)健性。

圖2 算法空間譜分析Fig.2 Analysis of algorithm spatial spectrum

（2）仿真2：算法DOA估計(jì)精度分析

圖3為不同SNR下各算法的估計(jì)精度。各算法所用快拍數(shù)為40，站1的SNR從-10 dB變化到2 dB。從圖3中可以看出，各算法的估計(jì)誤差均隨SNR增大而減小，本算法與M-SBL算法的誤差基本一致，均明顯小于BM-SBL和LASSO算法。

圖3 SNR對(duì)不同算法估計(jì)精度的影響Fig.3 Influence of SNR on the estimation accuracy of different algorithms

圖4為快拍數(shù)對(duì)算法估計(jì)精度的影響。SNR為-10 dB，快拍數(shù)為10到150，其中M-SBL算法在10個(gè)快拍下不能正確估計(jì)，故只統(tǒng)計(jì)了快拍數(shù)大于20的情況。由圖4可知，隨快拍數(shù)的增多，各算法的估計(jì)誤差呈下降趨勢(shì)，BM-SBL的誤差下降最快，本算法在小快拍時(shí)的估計(jì)誤差最小，當(dāng)快拍數(shù)較大時(shí)，估計(jì)誤差與BM-SBL算法接近。

圖4 快拍數(shù)對(duì)不同算法估計(jì)精度的影響Fig.4 Influence of snapshot number on the estimation accuracy of different algorithms

（3）仿真3：算法計(jì)算時(shí)間分析

平均計(jì)算時(shí)間可以體現(xiàn)算法的計(jì)算復(fù)雜度，本實(shí)驗(yàn)中各算法均不采用角度網(wǎng)格更新策略。

圖5為不同SNR下各算法的平均計(jì)算時(shí)間對(duì)比，實(shí)驗(yàn)條件同圖3實(shí)驗(yàn)。可以看出，除BM-SBL算法外，其他算法的平均計(jì)算時(shí)間基本不隨SNR變化。另外，本算法的平均計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于其他算法，一定程度上說(shuō)明本算的計(jì)算復(fù)雜度要小于其他算法。

圖5 不同SNR下各算法的平均計(jì)算時(shí)間Fig.5 Average calculation time of each method with different SNR

圖6為不同快拍下各算法的平均計(jì)算時(shí)間對(duì)比，實(shí)驗(yàn)條件同圖5實(shí)驗(yàn)。從圖6中可以看出，各算法的平均計(jì)算時(shí)間均隨快拍數(shù)的增加而變大，但是M-SBL、BM-SBL和本算法上升的比較平緩，LASSO算法的增加速度最快，受快拍數(shù)的影響最大。本算法平均計(jì)算時(shí)間仍然遠(yuǎn)小于其他算法。對(duì)比圖5和圖6可以看出，快拍數(shù)對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響較大。

圖6 不同快拍下各算法的平均計(jì)算時(shí)間Fig.6 Average calculation time of each method with different number of snapshots

（4）仿真4：角度空間網(wǎng)格更新分析

為更好地衡量角度更新策略的有效性，實(shí)驗(yàn)設(shè)置空間目標(biāo)源在陣列1上的入射角度為-5°和5.4°，其他實(shí)驗(yàn)條件同圖3實(shí)驗(yàn)，此時(shí)無(wú)網(wǎng)格更新算法的理論均方根誤差為0.28°。

圖7為不同SNR下算法采用網(wǎng)格更新策略前后的估計(jì)誤差。從圖7中可以看出，在SNR較小時(shí)，使用更新策略后會(huì)導(dǎo)致誤差增大，但是當(dāng)SNR較大時(shí)，更新策略會(huì)明顯降低誤差，突破0.28°的理論誤差，說(shuō)明本算法提出的網(wǎng)格更新策略是有效的。對(duì)比圖7與圖3，雖然在小SNR時(shí)誤差有所上升，但依然比其他算法要低。

圖7 不同SNR下網(wǎng)格更新前后算法的估計(jì)誤差Fig.7 RMSE of the proposed algorithm versus SNR before and after the refinement

圖8為在上述實(shí)驗(yàn)條件下，算法采用網(wǎng)格更新策略前后的平均計(jì)算時(shí)間。從圖8中可知，算法的平均計(jì)算時(shí)間對(duì)SNR的變化不敏感，增加網(wǎng)格更新策略后，算法計(jì)算時(shí)間有所提高，但與圖5對(duì)比可知仍然顯著低于其他算法。

圖8 不同SNR下網(wǎng)格更新前后算法的平均計(jì)算時(shí)間Fig.8 Average calculation time of the proposed algorithm versus different SNR before and after the refinement

4 結(jié) 論

本文提出一種基于GAMP算法改進(jìn)的雙基地?zé)o源雷達(dá)SBL的DOA估計(jì)方法。該算法根據(jù)雙站雷達(dá)接收數(shù)據(jù)之間的相互獨(dú)立性，構(gòu)建了適用于GAMP算法的信號(hào)模型，將SBL中后驗(yàn)概率密度的計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量邊緣概率密度的乘積，避免了大規(guī)模矩陣求逆的計(jì)算。同時(shí)針對(duì)離網(wǎng)目標(biāo)，推導(dǎo)了基于梯度下降的角度網(wǎng)格空間更新方法。仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典的LASSO、M-SBL以及BM-SBL算法相比，本算法在低SNR和有限快拍數(shù)條件下估計(jì)誤差低、穩(wěn)健性好，尤其是計(jì)算復(fù)雜度上有顯著的優(yōu)勢(shì)。但本算法主要針對(duì)的是相互獨(dú)立的目標(biāo)信號(hào)，后續(xù)工作重點(diǎn)將是相關(guān)性目標(biāo)信號(hào)下的算法改進(jìn)及應(yīng)用研究。