宿一書， 熊健

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院復合材料與結(jié)構(gòu)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001)

超材料的概念起源于前蘇聯(lián)科學家Veselago在1967年提出的“負折射材料”概念[1]，后來Pendry[2]提出超材料的概念，并被應用到了熱學領域[3]。在熱學領域，學者們運用熱超構(gòu)材料實現(xiàn)了多種熱功能，比如熱隱身[4-5]、熱集中[6]、熱透明[7]、熱偽裝[8]以及宏觀二極管[9]和溫度捕獲[10]等。熱超構(gòu)材料的發(fā)展也為非互易性熱傳遞的研究提供了新的思路。Torrent等[11]將時空調(diào)制引入到熱超構(gòu)材料設計，不借助于非線性材料在宏觀尺度上實現(xiàn)了非互易性熱傳遞。至此，時空調(diào)制開始成為熱超材料設計的一種重要手段，學者們借助于機械能的持續(xù)輸入設計了時刻調(diào)制系統(tǒng)，產(chǎn)生了很多有意義的成果[12-16]。

總的來說，在熱擴散研究背景下，打破穩(wěn)態(tài)下熱傳導方程的對稱性、實現(xiàn)非互易性熱傳遞[17-18]通常有2種方法，1) 借助于非線性材料[19-21]，即材料的熱導率隨溫度是變化的；2) 借助于額外的機械能輸入[11]，通過機械操作使材料參數(shù)在時間與空間尺度上具有可調(diào)諧性[22]。但是這些研究僅考慮了穩(wěn)態(tài)條件[23-24]，忽略了系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)之前，也就是瞬態(tài)[25-26]下的系統(tǒng)所展示的對稱或者非對稱的傳熱特性。宏觀尺度的熱傳遞現(xiàn)象的達到穩(wěn)態(tài)之前的時間作為“系統(tǒng)反應時間”是不可忽略的，因為這將直接影響對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)功能(如熱整流)的應用。因而瞬態(tài)的非對稱傳熱特性在熱管理[27]及熱計算[28]等領域同樣具有重要的研究意義。

在此既不借助于非線性材料，也不考慮機械能的額外做功輸入，在線性非均勻材料體系下探究瞬態(tài)熱傳導過程中的非互易性。由于不考慮外功的輸入，因此尋求的是材料參數(shù)在空間尺度上的調(diào)控，而不是時間空間的同時調(diào)控。

1 時間相關(guān)非互易熱構(gòu)超材料的存在條件

與穩(wěn)態(tài)熱傳導過程僅需考慮熱導率參數(shù)不同，非穩(wěn)態(tài)的熱傳導過程有2組參數(shù)可以考慮，分別為熱導率κ和密度比熱容的乘積ρc。在非均勻傳熱介質(zhì)中，參數(shù)匹配準則表示熱導率的分布函數(shù)與密度比熱容乘積的分布函數(shù)不滿足某種特定對稱規(guī)律。當系統(tǒng)中熱導率κ與密度比熱容乘積ρc2種參數(shù)在空間尺度下分布規(guī)律不一致而滿足參數(shù)失配準則時，系統(tǒng)有可能實現(xiàn)非互易性熱傳遞。

假設熱超構(gòu)材料整體的熱導率為常數(shù)，即κ=常數(shù)，而密度與比熱容的乘積為非均勻分布ρc(r)。此時，瞬態(tài)熱傳導方程可以寫為：

(1)

(2)

在熱流方向互逆的2種情況中，邊界條件分別為Tx=0=T1、Tx=l=T2和Tx=l=T2、Tx=0=T1(T1

(3)

其初始條件轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

(4)

將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件后，方程(2)的解可以表示為齊次邊界方程(3)的解與2個單一非齊次邊界條件方程解的組合：

(5)

下面對方程(3)進行求解，除了數(shù)值方法以外，求其解析解的方法主要有離散法[30]和分離變量法[30]。此處選用分離變量法，設u(x,t)=X(x)Γ(t)，方程(3)可以分解為：

(6)

λ為特征值，根據(jù)邊界條件和初始條件，可以求得方程(6)的解為:

(7)

式中:Xn(1≤n<∞)為特征值λn對應的特征函數(shù);特征值λn與材料參數(shù)無關(guān);特征函數(shù)Xn的形式為:

(8)

式中Cn、Dn為常數(shù)。

在熱流沿相反方向傳遞的條件下，相當于對方程(2)施加了一個坐標變換：x=l-x，l為一維系統(tǒng)的長度。在此變換下，方程(2)變?yōu)椋?/p>

(9)

根據(jù)方程(2)的解法可以求得方程(9)的解，

(10)

式中：

(11)

(12)

通過觀察方程(2)和方程(9)的形式可以理解時間相關(guān)非互易性熱傳遞的含義：即在系統(tǒng)未達到穩(wěn)態(tài)時(?T/?t≠0)，方程(2)和方程(9)的解不關(guān)于x=l/2對稱，也就是當熱流從左向右傳遞時的溫度分布與熱流從右往左傳遞時的溫度分布不對稱(如圖1所示)。

通過進一步比較方程(2)和(9)的解析解得到，在熱導率為常數(shù)的前提下，當且僅當ρc(x)≠ρc(l-x)時，系統(tǒng)才能夠存在瞬態(tài)的非對稱熱傳遞現(xiàn)象。因為當ρc(x)=ρc(l-x)時，方程(2)和(9)為完全相同的2個方程，所以只有該不等式成立，非穩(wěn)態(tài)下方程(2)和(9)的解才不相同。因此，在本文條件下，當系統(tǒng)的熱導率為常數(shù)，具有時間相關(guān)的非互易特性的熱超構(gòu)材料存在的充分必要條件是：

ρc(x)≠ρc(l-x)

(13)

方程(13)作為判定條件表明系統(tǒng)存在時間相關(guān)非互易熱傳遞現(xiàn)象的前提條件是密度比熱容的乘積函數(shù)關(guān)于x=l/2不對稱。如圖1所示，本文中時間相關(guān)的非互易熱傳遞系統(tǒng)可以定義為：當熱導率κ為常數(shù)且滿足ρc(x)≠ρc(l-x),在傳熱系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)之前的每個時刻，即?T/?t≠0時，熱流分別從左往右和從右往左傳遞時的溫度分布曲線關(guān)于x=l/2軸是不對稱的。而當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，即?T/?t=0成立，系統(tǒng)的溫度分布與密度比熱容的乘積參數(shù)是不相關(guān)的，在相同熱導率下溫度分布是對稱的，所以系統(tǒng)溫度由非穩(wěn)態(tài)到穩(wěn)態(tài)的變化過程即為2條溫度曲線由不對稱變?yōu)閷ΨQ的過程。這是因為熱導率單獨影響穩(wěn)態(tài)下的溫度分布，而熱導率和密度比熱容函數(shù)綜合影響系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)所需的時間。

圖1 時間相關(guān)非互易熱構(gòu)超材料示意Fig.1 Schematic diagram of time-dependent non-reciprocal thermal metamaterials

2 時間相關(guān)非互易熱構(gòu)超材料的溫度分布

下面根據(jù)實際的案例分析時間相關(guān)非互易熱超構(gòu)材料的溫度分布。以材料純銅為例，設定系統(tǒng)的熱導率為κCu=400 W/(m·K)保持不變，密度比熱容乘積函數(shù)的形式為線性形式，即ρc(x)=kx+b。定義密度比熱容乘積函數(shù)的取值范圍為[(ρc)Cu/10,(ρc)Cu],即可求得系數(shù)值為：k=9ρcCu,b=ρcCu/10。其中(ρc)Cu=3.4×106K/(Jm3)為銅的參數(shù)。在模擬中，令T1=280 K，T2=340 K，l=0.1 m，采用線上法(method of lines，MOL)求解方程(2)和方程(9)，模擬結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，在系統(tǒng)未達到穩(wěn)態(tài)之前，2種情況的溫度分布是存在明顯的非對稱性的，在非穩(wěn)態(tài)下 (約0～15 s),系統(tǒng)的溫度云圖關(guān)于中心軸是非對稱的，而隨著系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)，溫度分布也漸漸的歸于對稱。在熱導率為常數(shù)，密度比熱容乘積函數(shù)ρc(x)=kx+b的分布條件下，熱流從左往右傳遞(圖2(b))速率明顯大于熱流從右往左傳遞時(圖2(a))的速率。因為系統(tǒng)在沿熱路徑x方向的密度比熱容乘積數(shù)值是線性逐漸增加的，而密度比熱容的乘積越小，傳熱速率越大，所以熱流從左向右傳遞時，系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)所需的時間短。

圖2 熱流分別互逆?zhèn)鬟f時系統(tǒng)的非互易溫度分布Fig.2 The non-reciprocal temperature distribution of the system when the heat flow is transferred in the reverse

為了更加清晰地展示系統(tǒng)的瞬態(tài)非互易溫度分布特性，取圖2中x=l/2處的溫度隨時間的分布作為參考點，對比研究熱流互逆?zhèn)鬟f時的非對稱分布溫度隨時間的變化規(guī)律，其結(jié)果如圖3所示。

圖3 中心點x=l/2處的非互易溫度分布Fig.3 Nonreciprocal temperature distribution at the center pointx=l/2

圖3中清晰地展示了本文中所設計的熱超構(gòu)材料中心位置的時間相關(guān)非互易傳熱特性?？梢钥闯觯跓崃鱾鬟f方向互逆的2種情況下，系統(tǒng)在初始時刻即表現(xiàn)出了明顯的非互易性，在熱導率為常數(shù)的前提下，熱流從右向左(ρc(x)=kx+b)的傳遞速率始終大于從左向右(ρc(x)=k(l-x)+b)的傳遞速率。同時，熱量在密度比熱容乘積值小的地方傳遞得快，在乘積值大的地方傳遞得慢。圖3中，中心點達到穩(wěn)態(tài)時的溫度值為(T1+T2)/2=310 K，這是由常數(shù)熱導率導致的穩(wěn)態(tài)時的線性溫度分布所決定的。在求得方程(5)，將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件的過程中，同樣運用了該結(jié)論。

圖4 不同時刻，熱流分別互逆?zhèn)鬟f時的非對稱溫度分布Fig.4 Temperature distribution of time-dependent nonreciprocal thermal metamaterials at different times when the heat flow is transferred in the reverse

圖5 密度比熱容乘積函數(shù)分布形式對非互易熱傳遞效果的影響Fig.5 Influence of different density specific heat capacity product function distribution forms on non-reciprocal heat transfer

通過以上的模擬可以看出，對時間相關(guān)的非互易性熱傳遞超材料在理論上是存在的，下面簡單地論述其實驗的可行性。非均勻材料參數(shù)的構(gòu)建通常有2種方法，分別為等效介質(zhì)理論和中性夾雜理論，此處以等效介質(zhì)理論為例進行說明。使用等效介質(zhì)理論設計熱導率為常數(shù)、密度比熱容乘積非均勻分布的試驗件，至少需要選定3種或3種以上材料，通過調(diào)整每種材料所占的配比，在保證熱導率不變的前提下，構(gòu)建出在不同位置上等效密度比熱乘積值不同的結(jié)構(gòu)。以A、B、C3種材料為例，假設3種材料的熱導率關(guān)系滿足關(guān)系：κA<κB<κC，若想構(gòu)建熱導率為常數(shù)的熱超構(gòu)材料，可以選定材料B為基底，通過在材料B上打孔并填充A和C2種材料即可實現(xiàn)，材料A和C所占的體積分數(shù)需滿足：

(14)

fA(x)、fB(x)、fC(x)分別為材料A、B和C的體積分數(shù)，并滿足fA(x)+fB(x)+fC(x)=1。根據(jù)方程(14)就可以構(gòu)建出熱導率恒為κB的熱超構(gòu)材料。為構(gòu)建滿足條件的密度比熱容乘積函數(shù)，還需假設3種材料的體積分數(shù)函數(shù)分布都為線性分布：

(15)

式中a1、a3為實數(shù)。對于材料體積分數(shù)線性分布的結(jié)構(gòu)，A、B、C3種材料的密度比熱容乘積參數(shù)僅需滿足(ρc)B<(ρc)A,(ρc)C或(ρc)B>(ρc)A,(ρc)C即可構(gòu)建出密度比熱容乘積函數(shù)為單調(diào)線性的超構(gòu)材料，線性單調(diào)的密度比熱容乘積函數(shù)形式為：

(16)

以上是試驗樣品的設計分析。通過選擇熱導率滿足κA<κB<κC關(guān)系，密度比熱容乘積參數(shù)滿足(ρc)B<(ρc)A,(ρc)C或(ρc)B>(ρc)A,(ρc)C關(guān)系，運用方程(14)和方程(15)即可構(gòu)建出熱導率參數(shù)為常數(shù)，密度比熱容乘積函數(shù)為線性分布的具有時間相關(guān)非互易傳熱特性的熱超構(gòu)材料。

實驗上的測定應該選用靈敏度較高的動態(tài)紅外熱像儀測定結(jié)構(gòu)表面的溫度隨時間的變化，或者用熱敏電阻實時觀測沿熱傳導路徑方向的溫度信號。

3 結(jié)論

1) 當熱導率分布與密度比熱容乘積函數(shù)分布滿足參數(shù)失配準則時，在系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)之前，是存在非互易性的。

2) 當熱導率為常數(shù)，密度比熱容乘積函數(shù)不同的分布形式對非互易性的強弱產(chǎn)生影響。當密度比熱容乘積函數(shù)為線性分布時，其非互易性效果最強。

3) 運用有效介質(zhì)理論，可以使用3種材料設計熱導率為常數(shù)，密度比熱容乘積函數(shù)線性單調(diào)分布的具有時間相關(guān)非互易傳熱性能的熱超構(gòu)材料。