李德志， 張春利,2

(1.浙江大學 工程力學系,浙江 杭州 310027； 2.浙江省軟體機器人與智能器件研究重點實驗室，浙江 杭州 310027)

壓電半導(dǎo)體是一種兼具壓電和半導(dǎo)體雙重物理屬性的材料，由于在外載下這2種屬性的耦合作用，使其擁有了更多的功能屬性以及更好的器件性能，在一定程度上超越了傳統(tǒng)壓電介質(zhì)和非壓電半導(dǎo)體材料。壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)具有變形-極化-載流子多場耦合特性，在未來新型半導(dǎo)體器件上應(yīng)用的關(guān)鍵物理機制為：通過壓電效應(yīng)產(chǎn)生的壓電勢顯著改變半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)、載流子的輸運、分離與復(fù)合等屬性。王中林[1]首次把壓電勢調(diào)控載流子輸運、產(chǎn)生和復(fù)合過程的現(xiàn)象稱之為壓電電子學和壓電光電子學效應(yīng)。利用單一的壓電半導(dǎo)體材料，就可實現(xiàn)傳感、驅(qū)動、電子傳輸及光電子激發(fā)與吸收等一體化功能，這正滿足未來器件小型化、智能化、集成化及多樣化的發(fā)展需求。因此，壓電半導(dǎo)體作為新一代功能電子/光電子器件[2-3]，在高性能傳感器[4]、柔性可穿戴電子器件[5]、光電探測器[6]、太陽能電池[7]等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

同傳統(tǒng)半導(dǎo)體超晶格類似，壓電半導(dǎo)體周期結(jié)構(gòu)是由不同壓電半導(dǎo)體材料周期排列組成的，其薄層厚度小于電子的平均自由程。特別是可以通過改變元胞的材料和幾何參數(shù)來調(diào)制其宏觀的物理屬性。開展壓電半導(dǎo)體周期結(jié)構(gòu)中的彈性波動特性研究，對其半導(dǎo)體器件的創(chuàng)新研發(fā)和應(yīng)用具有至關(guān)重要作用。目前，學者們對彈性波在壓電半導(dǎo)體材料中的傳播問題，已開展了有益的研究。例如，Hutson等[8]研究了彈性波在壓電半導(dǎo)體中傳播產(chǎn)生的聲電效應(yīng)；Yang等[9]研究了壓電-半導(dǎo)體復(fù)合板內(nèi)的聲波放大問題；Zhang等[10]考慮了電學非線性研究了彈性波在ZnO半導(dǎo)體桿中傳播特性；Jiao等[11-12]研究了壓電半導(dǎo)體無限大空間中彈性波的傳播問題；Tian等[13]研究了層狀壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)中的SH波特性；Liang和Hu[14]研究了壓電半導(dǎo)體桿中聲波和載流子傳導(dǎo)頻率的耦合對彈性波動的影響；Li等[15]研究了太赫茲彈性波在壓電半導(dǎo)體桿中的傳播問題。然而，目前對彈性波在壓電半導(dǎo)體周期結(jié)構(gòu)中傳播問題研究還很匱乏。Guo和Wei[16]針對無限大壓電半導(dǎo)體層和壓電介質(zhì)層構(gòu)成周期結(jié)構(gòu)、考慮弱界面情況研究了彈性波在此周期結(jié)構(gòu)中的波動特性及弱界面對色散曲線的影響。需要說明的是，彈性波在彈性和壓電介質(zhì)周期結(jié)構(gòu)中的傳播問題已有相當多的研究[17-18]。

本文針對由壓電和n型壓電半導(dǎo)體組成的一維無限長周期桿，研究彈性縱波在該周期結(jié)構(gòu)中的傳播特性?；趬弘姲雽?dǎo)體三維基本方程，利用哈密爾頓(Hamilton)變分原理，首先得到Love型的壓電半導(dǎo)體桿的基本方程；通過引入狀態(tài)向量，建立壓電半導(dǎo)體和壓電桿的狀態(tài)方程，給出狀態(tài)向量(軸向位移、電勢、軸向應(yīng)力和軸向電位移)在元胞兩側(cè)處的傳遞關(guān)系，并利用布洛赫(Bloch)定理，導(dǎo)出壓電-壓電半導(dǎo)體周期結(jié)構(gòu)的色散方程。在此基礎(chǔ)上，數(shù)值研究初始載流子、元胞內(nèi)壓電半導(dǎo)體長度比和桿半徑對帶隙結(jié)構(gòu)的影響。

1 壓電半導(dǎo)體三維基本方程

壓電半導(dǎo)體的控制方程包括：運動平衡方程、準靜態(tài)電學高斯方程和電荷連續(xù)性方程[19]：

(1)

應(yīng)力、電位移和電流密度的本構(gòu)方程為：

(2)

(3)

(4)

將式(3)代入式(1)2,3,4，可得：

(5)

應(yīng)變-位移與電場-電勢(φ)的梯度關(guān)系為：

(6)

注意：對于壓電介質(zhì)材料，在上面略去與載流子有關(guān)的項即可退化到壓電材料的基本方程。

2 彈性波在一維壓電/壓電半導(dǎo)體周期桿中的傳播

考慮如圖1所示的壓電/壓電半導(dǎo)體周期桿，其元胞由長度為d1的壓電材料和長度為d2的n型均勻摻雜壓電半導(dǎo)體構(gòu)成(界面處為完美連接情況)，桿的橫截面半徑為R。壓電半導(dǎo)體的初始載流子濃度為n0。壓電和壓電半導(dǎo)體極化方向均沿x3方向。當彈性縱波在圖1所示的無限長周期結(jié)構(gòu)中傳播時，變形、極化和載流子的耦合使得其傳播行為不同于由純壓電介質(zhì)材料和彈性材料構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)。與經(jīng)典桿理論相比，Love桿理論考慮了由泊松效應(yīng)引起的橫向位移的動能。Love桿理論不僅對橫向位移動能影響較大問題的計算有很好的精度，而且還能處理經(jīng)典彈性桿不能處理的問題。例如，Davies和Taylor[20]采用Love桿理論準確解釋了彈性桿中的色散行為。因此，采用Love桿理論[21]研究彈性縱波在圖1所示壓電-壓電半導(dǎo)體周期桿中的傳播。

圖1 壓電-壓電半導(dǎo)體周期桿Fig.1 A periodical piezoelectric-piezosemiconductor rod

首先采用哈密爾頓(Hamilton)變分原理推導(dǎo)Love型壓電和壓電半導(dǎo)體桿的基本方程。由于壓電材料和壓電半導(dǎo)體材料唯一的區(qū)別就是壓電半導(dǎo)體材料多了載流子項。為了方便起見，下面僅給出針對壓電半導(dǎo)體材料的哈密頓變分原理。設(shè)某壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)占據(jù)空間體積為V，邊界為Γ，其吉布斯自由能密度函數(shù)UG的變分為：

δUG=TijδSij+Diδφ,i+Jiδn,i

(7)

該壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的動能密度為：

(8)

壓電半導(dǎo)體中的拉格朗日函數(shù)為：

(9)

外力做的虛功為：

(10)

式中ti、QΓ和JΓ分別表示在邊界上作用的機械力、表面電荷和電流密度。根據(jù)哈密頓原理，有：

(11)

將式(7)～(10)代入式(11)，經(jīng)過數(shù)學處理即可得到壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的控制方程。對于壓電結(jié)構(gòu)來說，只需在上述推導(dǎo)過程中刪去載流子項即可得到相應(yīng)的控制方程。

2.1 Love桿理論的基本方程

設(shè)桿的軸向位移表示為u3，由泊松效應(yīng)帶來的橫向位移為ut=-vu3，v為泊松比。桿中非零的應(yīng)力T3和電位移D3為：

(12)

(13)

n型壓電半導(dǎo)體桿中的電流密度為：

(14)

對于沒有表面外力、表面電荷和表面電流的壓電半導(dǎo)體桿，把應(yīng)力、電位移和電流密度代入式(11)，可得到壓電半導(dǎo)體桿的運動平衡方程、準靜態(tài)高斯方程和電荷連續(xù)性方程，它們是：

(15)

對于壓電材料來說，其控制方程僅包括運動平衡方程(與式(15)1一樣)和準靜態(tài)高斯方程，

D3,3=0

(16)

2.2 色散方程

采用狀態(tài)空間法推導(dǎo)壓電半導(dǎo)體周期桿的色散方程。如圖1所示，以一個元胞為研究對象，選取局部坐標系ox′3，壓電材料左側(cè)界面為局部坐標的原點。

對于彈性縱波，可設(shè)壓電半導(dǎo)體桿內(nèi)的位移、電勢和增量載流子濃度為：

(17)

(18)

W1·V,3=W2·V

(19)

式(19)為壓電半導(dǎo)體的狀態(tài)方程，其中：

(20)

式(19)有：

V(x′3)=TM(x′3-d1)V(d1)

(21)

式中TM為傳遞矩陣，表示在x′3和x′3=d1處狀態(tài)向量的傳遞關(guān)系，即：

(22)

對于壓電材料，選取狀態(tài)向量為V′=[u′3φT′3D′3]T。采用與壓電半導(dǎo)體桿的相同的處理方法，由式(12)、式(16)和式(18)1,可得到壓電桿的傳遞矩陣TPE:

(23)

其中：

(24)

式中右上標“′”表示壓電材料的材料常數(shù)。

(25)

(26)

對于彈性波在軸向周期性壓電半導(dǎo)體桿中的傳播，利用Bloch理論可得到：

(27)

式中K為Bloch波矢。聯(lián)立式(23)、(27)得：

|T0-exp[iK(d1+d2)]I|=0

(28)

式中I為4×4的單位矩陣。式(28)是彈性縱波在如圖1所示的周期結(jié)構(gòu)中傳播的色散方程。

3 數(shù)值算例

首先，計算初始電子濃度n0為n01=1017m-3，n02=1019m-3和n03=1021m-33種情況下的色散關(guān)系，計算結(jié)果如圖2所示。由圖2可知，隨著初始電子濃度的增大，帶隙結(jié)構(gòu)逐漸下移，這是由于載流子對壓電極化電荷的屏蔽降低了壓電剛化效應(yīng)造成的。

其次，研究在初始載流子濃度(n0=1019m-3)、桿半徑(r=10 nm)和元胞長度(d1+d2=1 000 nm)固定的情況下，壓電半導(dǎo)體桿長度比γ=d2/(d1+d2)分別為0.45，0.5和0.55這3種情況下的帶隙情況，如圖3所示。從圖3可以看到，對于固定長度的元胞，改變壓電半導(dǎo)體相長度比可有效調(diào)控帶隙結(jié)構(gòu)。隨著γ的增加，其帶隙結(jié)構(gòu)會下移。這是由于隨著壓電半導(dǎo)體長度變大，元胞內(nèi)載流子數(shù)量增多，其屏蔽效應(yīng)也相應(yīng)增強，使得壓電剛化效應(yīng)降低；因而元胞的等效剛度逐漸減小，最終導(dǎo)致帶隙的下移。

圖2 初始電子濃度對帶隙結(jié)構(gòu)的影響Fig.2 Effect of the initial electron concentration on band structure

最后，考察桿半徑的改變對帶隙結(jié)構(gòu)的影響。設(shè)元胞每相材料的長度(d1=d2=500 nm)和半導(dǎo)體相內(nèi)的初始載流子濃度(n0=1019m-3)保持不變，分別取桿半徑為r1=10 nm，r2=50 nm和r3=90 nm 3種情況，計算得到其帶隙結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 桿半徑對帶隙結(jié)構(gòu)的影響Fig.4 Effect of rod′s radius on band structure

從圖4可以看到，隨著桿半徑的增加，當不考慮Love桿理論時，帶隙不會發(fā)生變化。反之，當考慮Love桿理論時，固定激勵頻率，隨著桿半徑的增加，橫向變形所吸收的動能將隨之增加，會導(dǎo)致在該激勵頻率下的波速下降，使得帶隙會隨之下移。特別是在高頻帶隙區(qū)域，其下移量較大。

4 結(jié)論

1)在三維基本方程基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了Love型壓電半導(dǎo)體桿的基本方程。針對由壓電和n型壓電半導(dǎo)體構(gòu)成的周期桿，分別建立了壓電和壓電半導(dǎo)體桿的狀態(tài)方程。利用元胞界面連續(xù)性條件得到狀態(tài)向量(軸向位移、電勢、軸向應(yīng)力和軸向電位移)在元胞兩側(cè)界面的傳遞關(guān)系；進一步，基于Bloch定理，得到了壓電半導(dǎo)體周期桿色散方程的解析公式。

2)壓電半導(dǎo)體相的初始載流子濃度和長度比的增加都導(dǎo)致帶隙結(jié)構(gòu)的下移，這主要是由于載流子的屏蔽作用降低了壓電剛化效應(yīng)、使結(jié)構(gòu)的等效剛度減小的緣故。

3)周期結(jié)構(gòu)桿半徑的增大也會導(dǎo)致帶隙下移。這是因為考慮了Love桿理論，隨著桿半徑的增加，橫向變形所吸收的動能將隨之增加，會導(dǎo)致在該激勵頻率下的波速下降，使得帶隙隨之下移。

以上結(jié)果可為基于壓電半導(dǎo)體周期結(jié)構(gòu)的器件設(shè)計提供一定的理論指導(dǎo)。在對壓電半導(dǎo)體周期結(jié)構(gòu)進行后續(xù)的研究時，需將壓電半導(dǎo)體界面間所產(chǎn)生的不同特殊邊界條件加以考慮。