朱曼紅，莫大勇

(東北師范大學附屬中學， 吉林 長春 130000)

一、問題的提出

隨著教育改革的不斷推進，我國基礎教育從“知識本位”時代逐漸過渡到“核心素養(yǎng)”時代，核心素養(yǎng)的落實問題逐漸引起教育研究者和一線教師的重視。有學者在文獻綜述的基礎上提出研究數(shù)學素養(yǎng)的4個落腳點，強調了要分析探索數(shù)學素養(yǎng)生成的教學策略[1]。還有學者提出“學科知識是學科核心素養(yǎng)形成的主載體，學科活動是學科核心素養(yǎng)形成的主路徑”[2]。由此可見，數(shù)學核心素養(yǎng)的研究應當在實際教學中進行，在教學設計中探究出數(shù)學核心素養(yǎng)在課堂的落腳點、生長點和發(fā)展點的一般規(guī)律。因此，基于數(shù)學核心素養(yǎng)進行教學設計，根據(jù)具體的教學內容、教學情境落實數(shù)學核心素養(yǎng)是亟待解決的重要問題。

二、“綜合與實踐”是數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根的沃土

(一)“綜合與實踐”是課程的重要組成部分

2001年7月，教育部在《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》中首次指出將“實踐與綜合應用”納入到義務教育數(shù)學課程中[3]。2011年12月，《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》將“實踐與綜合應用”獨立成一個新的板塊，即“綜合與實踐”，并闡明其概念以及設置目的[4]。2022年4月，《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》要求各學科增加10%的課時進行跨學科主題學習活動[5]。新課標對綜合實踐課時的規(guī)定進一步提高了數(shù)學綜合實踐的地位，使之成為課程的重要組成部分，同時跨學科教學模式也被重視起來。但是教科書中的“綜合與實踐”課題數(shù)量有限，需要教師自主開發(fā)基于核心素養(yǎng)、符合學情和學科特點的“綜合與實踐”活動。

(二)基于核心素養(yǎng)的“綜合與實踐”是綜合型人才培養(yǎng)的載體

國家推行基礎教育改革，積極倡導素質教育，以期培養(yǎng)適應社會發(fā)展的綜合型人才?！熬C合與實踐”課程強調讓學生在親身體驗學習的過程中提升知識、豐富經(jīng)驗，綜合運用多種學科知識去完成特定的活動或解決特定的問題，有助于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，提升多元學科知識融合的能力和創(chuàng)新能力，使學生逐步成長為適應社會發(fā)展的綜合型人才。

(三)基于核心素養(yǎng)的“綜合與實踐”教學設計與實施是提升學生核心素養(yǎng)的有效路徑

培養(yǎng)全面和諧發(fā)展的人是教育者和社會共同的目標。馬云鵬教授認為，數(shù)學核心素養(yǎng)可以理解為學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力[6]。史寧中、孔凡哲兩位教授認為，數(shù)學核心素養(yǎng)是學生親身自主經(jīng)歷和體驗數(shù)學化的活動進而所積淀和升華的產物，這種產物對學生在數(shù)學上全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展起決定作用[7]。基于核心素養(yǎng)的“綜合與實踐”教學設計與實施是提升學生核心素養(yǎng)的有效路徑。筆者所任教的學?！獤|北師范大學附屬中學一直倡導著生命教育，將“涵育素養(yǎng)，立德樹人”作為教育教學的目標，教師們共同研究如何在實際課堂中落實立德樹人，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，構建初中數(shù)學“綜合與實踐”課程的教學設計原則和策略，以期培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)，為學生終身學習奠定基礎，為初中數(shù)學“綜合與實踐”課程內容體現(xiàn)其應有的數(shù)學教育價值提供保證。

本研究就以筆者在本校第35屆教學“百花獎”中所教授的“泰森多邊形”為例，闡述基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學“綜合與實踐”教學設計的基本原則與策略，論證揭示數(shù)學核心素養(yǎng)的課堂落腳點、生長點和發(fā)展點，為一線初中數(shù)學教師提供案例參考。

三、基于數(shù)學核心素養(yǎng)的初中數(shù)學“綜合與實踐”教學設計與實施

(一)對標核心素養(yǎng)，解析教學內容

“泰森多邊形”是在數(shù)學綜合實踐活動中被提煉得非常好的素材之一?！疤┥噙呅巍笔菙?shù)學的一個瑰寶，以初中數(shù)學知識為基礎，其應用極其廣泛，能夠體現(xiàn)數(shù)學的建模過程，在解決問題中可涉及很多學科知識，具有開發(fā)價值。本課例涉及的基礎知識是八年級幾何部分的線段垂直平分線，非?；A，學生也比較熟悉，運用線段垂直平分線構造的數(shù)學模型——“泰森多邊形”可解決很多最優(yōu)問題。為了能夠提高大面積氣象預報的準確度，荷蘭氣象學家A.H.Thiessen想對氣象觀測站進行有效區(qū)域劃分，然后根據(jù)離散分布的氣象站的降雨量計算平均降雨量。他將所有相鄰氣象站連成三角形，作這些三角形各邊的垂直平分線，用每個氣象站周圍的若干條垂直平分線圍成多邊形。再用這個多邊形內所包含的一個唯一氣象站的降雨強度表示這個多邊形區(qū)域內的降雨強度，并稱這個多邊形為“泰森多邊形”?！疤┥噙呅巍钡膽迷戆司€段垂直平分線的作圖方法、性質、多邊形的分割等知識，“泰森多邊形”的應用體現(xiàn)了對數(shù)學基本原理的學習方法和依據(jù)數(shù)學原理建立數(shù)學模型解決實際問題的思考，泰森多邊形也體現(xiàn)了數(shù)學之美。

本課例的教學重點首先是實際問題數(shù)學化，其次是運用垂直平分線性質，逐步實現(xiàn)多點平面區(qū)域的劃分，經(jīng)歷和體驗用數(shù)學方法解決實際問題的一般思路。

(二)分解核心素養(yǎng)，設置教學目標

依據(jù)中學數(shù)學教學設計理論，在學生的培養(yǎng)目標上強調三維目標的整合，最終實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的達成和促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展的目標。因此，在進行目標設計時，應注重有效結合各內容的目標，避免教學目標出現(xiàn)“為了綜合而綜合”的情形；要注重分析關于“綜合運用”的具體表述，將過程與方法細化。在進行情感態(tài)度與價值觀目標分析時，應從學生的學習興趣、參與程度、體驗性以及主體性上考慮。依據(jù)“綜合與實踐”課程內容的實踐性，目標應該具有針對性和現(xiàn)實性。針對性要求目標的分析應該是具體的、微觀的，現(xiàn)實性要求一定是當下的課程中發(fā)生的和形成的學生對于數(shù)學的情感。

例如本課例的教學目標設置如下：針對“劃分急救站的最佳服務范圍”問題，學生能多角度分析影響因素，將復雜情境進行抽離，抽象出數(shù)學問題，感悟如何從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題；學生運用線段垂直平分線性質，能解釋“最佳服務范圍”劃分的方法，并能用數(shù)學語言進行交流和展示，感悟“重事實、講道理”的科學精神；學生通過自主思考、合作交流，綜合分析問題，逐步積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會從簡單到復雜、從特殊到一般的數(shù)學研究方法，以及用數(shù)學方法解決實際問題的一般思路。

(三)基于核心素養(yǎng)，選擇教學策略

林崇德教授指出，課程改革、教學實踐和教育評價是落實核心素養(yǎng)的途徑。顯然通過課程改革的途徑落實數(shù)學核心素養(yǎng)的任務是非常艱巨的。因此，研究試圖從教學實踐和教育評價方面探索基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學“綜合與實踐”的教學策略。本課例從學生的最近發(fā)展區(qū)設置問題，引導學生采用自主探究與合作交流相結合的方式進行學習，調動學生學習的積極性和主動性，使學生的核心素養(yǎng)在實際問題探究與解決的過程中得以培養(yǎng)。

1.創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生學習興趣。有效培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，就要求教師在實際教學過程中，應著重考慮具體的核心素養(yǎng)和具體情境的相關性[8]。以“急救站最佳服務范圍的劃分問題”為背景，引發(fā)學生的認知沖突，讓學生意識到研究不等關系的關鍵在于研究等量關系，將未知的問題轉化成已有的知識能夠解決的問題，為“泰森多邊形”的引出提供先行組織基礎。

2.抓住核心知識，引導學生舉一反三。本課例的綜合性比較強，難度很大，學生對于不等關系的研究容易在認知上出現(xiàn)問題。引出在整個探究過程中始終圍繞線段垂直平分線展開，將多點問題轉化成兩點問題，始終體現(xiàn)從特殊到一般的研究思路。因此，本課例在問題探究的過程中牢牢抓住數(shù)學核心概念——線段垂直平分線，體現(xiàn)線段垂直平分線性質的應用價值。

3.設置問題清單，引領學生深度思考。 “綜合與實踐”的實踐性與綜合性強，在教學方法和學習方式上都與基礎的數(shù)學知識學習不同。問題驅動式的教學模式有助于學生學習，但問題設置不能夠限制學生思維。在教學設計的過程中要選擇合適的現(xiàn)實背景，設置既開放又有引領作用的問題串，注重在問題解決過程中綜合運用數(shù)學知識，既能讓學生體驗運用數(shù)學知識解決實際問題的過程，積累運用數(shù)學知識的經(jīng)驗，又能提升學生分析、解決問題的能力。例如設置“問題清單”，讓學生根據(jù)所學知識記錄提出問題：“(1)根據(jù)問題背景和作圖方法，我提出的問題如下……；(2)我們小組能夠解決的問題……；(3)我們小組發(fā)現(xiàn)泰森多邊形的性質……”在問題驅動下，引導學生進行元認知，深度思考，增強學生應用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，真正體現(xiàn)“綜合與實踐”課程培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教育效果。

4.提供多元評價，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)。喻平教授基于知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新3種水平建立了數(shù)學核心素養(yǎng)評價框架，該評價框架對基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學評價具有指導意義[9]。筆者認為“綜合與實踐”的教學評價要兼顧學生與教師、兼顧自評與互評、兼顧數(shù)學核心素養(yǎng)。筆者與同事們共同設計了“綜合與實踐”教學評價量表，既可以兼顧教師和學生，又可以兼顧自評與互評；既能兼顧數(shù)學核心素養(yǎng)，把學生數(shù)學核心素養(yǎng)的達成作為評價的元素，又能關注學生參與活動的態(tài)度，有助于教師診斷學生存在的問題；既重視過程評價，把學生之間的合作、學生的活動過程等作為評價的對象，又注重個性化評價，指向每一位學生，促使教師可以根據(jù)評價的結果有針對性地指導學生以便因材施教。

本課例采用“綜合與實踐”課程的教學評價量表，提供了多元評價方式。課上分小組進行，成果展示與交流，在各組代表作研究報告的基礎上，可以根據(jù)情況選擇紙筆測試、作品評分表、表現(xiàn)評分表、任務完成表和自我反思表等進行評價。學生與教師一起進行，全班通過質疑、辯論、評價，總結成果、分享體會、分析不足，開展自我評價、同學評價和教師評價，完成本次綜合與實踐活動。

(四)精設教學過程，落實核心素養(yǎng)

本課例遵循著綜合實踐的研究規(guī)律，關注知識的應用原理，為學生設計了完整的實踐過程，希望學生通過學習不僅獲得知識技能的積累，更能獲得經(jīng)驗積累，尤其是對數(shù)學研究與應用的學習和體驗。因此，本課例的素材選自線段垂直平分線，因為線段垂直平分線是尺規(guī)作圖的重點和研究軸對稱的基礎，對垂直平分線作圖的理解和操作步驟的掌握是后續(xù)幾何學習不可或缺的能力。本課例力爭通過綜合實踐讓學生體會數(shù)學知識的應用，激發(fā)學生的創(chuàng)新精神，開拓學生視野，讓學生在實際情境中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題并應用于實踐這一完整過程，讓所學知識通過活動的形式得以延伸和應用(本課例的整體設計見圖1)。

為了較好地落實本課例的預期教學，現(xiàn)將這節(jié)充斥著理性邏輯光華的綜合實踐課拆分成以下5個核心部分。

1.創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣?；谇榫痴J知學習理論，應讓知識從情境體現(xiàn)，在情境互動的過程中進行動態(tài)學習，激發(fā)學生的社會責任感。同時，實際問題數(shù)學化也是本節(jié)課學生學習中的難點之一，通過教師的引導使學生學會運用數(shù)學語言描述世界，能夠讓課堂教學富有生活特色。另外，總結出用數(shù)學知識解決實際問題的一般過程，即“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——分析問題——解決問題——實際應用”，整體上為“泰森多邊形”的學習提供一條路線圖。

教師在上課前可以先讓學生觀看“長春急救中心宣傳片”，讓學生變身為“長春120調度指揮中心的調度員”，思考當接到求救電話后如何快速選擇急救站，并派出急救團隊。通過學生討論，要想讓救護團隊最快到達求救地點，學生將考慮到影響決定的最重要因素是急救站與求救者位置之間的距離。為解決問題，教師將問題引導為劃分急救站的最佳服務范圍，并引導學生將實際問題轉化為數(shù)學問題，用數(shù)學語言描述問題。

2.分析問題，感悟新知。教師引導學生在解決復雜問題時可以從簡單到復雜，化繁為簡，因此要解決5個控制點的問題，可以從2個、3個、4個控制點逐一考慮；通過不會劃分多個急救站的服務范圍引發(fā)認知沖突，從而形成引入“泰森多邊形”必要性的認識；用分類討論的思想逐一研究每對關系，進而解決問題；通過介紹“泰森多邊形”的相關科學史，讓學生在學習數(shù)學知識的同時了解更多的科學文化。

教師可以引導學生將問題進行分類討論，當平面內只有1個控制點時，不需要劃分；當平面內只有2個控制點時，學生比較容易想到畫2個控制點連線的垂直平分線，教師引導學生證明畫法的正確性；當平面內有3個控制點時，學生小組討論，共同尋求解決方案，教師適當引導。在師生共同完成3個控制點的控制范圍劃分的情況下，教師向學生介紹“泰森多邊形”的概念和特性。

3.合作探究，解決問題。通過計算機演示得出控制點確定的情況下“泰森多邊形”的存在且唯一性，讓學生感受到“泰森多邊形”定義的合理性；同時，學生在小組合作的過程中，互相交流、互相幫助，增強合作意識和溝通能力。多媒體演示使抽象的數(shù)學知識更加直觀，能加深學生對“泰森多邊形”的理解。

教學過程中，教師在學生初步了解“泰森多邊形”的概念和特性的基礎上，組織學生繼續(xù)進行小組合作，在3個控制點的“泰森多邊形”的基礎上，先完成4個控制點的“泰森多邊形”的繪制，然后再完成5個控制點的“泰森多邊形”的繪制，進而共同研究解決5個急救站的服務范圍劃分的方案。同時，教師引導學生思考急救站的最佳服務范圍的劃分除考慮距離因素以外，還需要考慮哪些因素，從而進一步完善問題解決方案。最后，教師還可以介紹計算機繪制“泰森多邊形”的方法，運用GeoGebra軟件演示動態(tài)“泰森多邊形”的生成過程，體現(xiàn)應用性，增強學生學習的興趣。

4.實踐應用，拓展視野。在實踐應用的環(huán)節(jié)中，教師向學生介紹“泰森多邊形”在建筑設計、勘探、居民分布、人臉識別等多方面的應用。例如北京國家游泳中心水立方主體外形結構就是基于“泰森多邊形”設計的，各種基站的建設和覆蓋區(qū)域問題也運用了“泰森多邊形”。教師引導學生思考還能運用“泰森多邊形”解決哪些問題，并讓其選擇一個感興趣的問題進行小組討論、交流、匯報。學生在總結、匯報的過程中，大膽想象，培養(yǎng)了學生的實踐精神和創(chuàng)新能力，同時實現(xiàn)過程性評價和總結性評價等多元化評價方式。

5.匯報成果，反思總結。基于元認知理論，學生只有對自己整個過程參與情況進行自我反思，才能更好地獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。因此，教師組織學生以小組為單位，進行研究成果匯報，互評打分，引導學生從完成情況、方案合理性以及收獲3個方面進行評價總結，讓學生在總結反思中不斷成長，逐漸形成“會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維分析世界，會用數(shù)學的語言描述世界”[10]的數(shù)學核心素養(yǎng)。

6.思維再現(xiàn)，設計板書。一節(jié)課的核心內容應該以簡潔、清晰的方式呈現(xiàn)在黑板上，讓學生通過教師的板書可以回顧整節(jié)課的內容，理解教師的設計思路和意圖。因此，本課例的板書設計采用原理與應用對比、特殊與一般對比、問題提出與模型建立對比的形式，進行簡化設計。

(五)提升教學水平，進行教學反思

基于問題，成于經(jīng)驗，達于素養(yǎng)，即“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”[11]。本課例以“泰森多邊形”問題驅動，引導探索、實踐，幫助學生不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進而分析問題、解決問題，將積累數(shù)學活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新意識的核心素養(yǎng)貫穿整個設計之中，初步達成基于核心素養(yǎng)的以下兩個目標。

1.基于核心素養(yǎng)，體現(xiàn)初中數(shù)學“綜合與實踐”的學科育人價值。本課例學生通過親身感受以及查閱相關資料，了解了“泰森多邊形”相關知識；通過尺規(guī)作圖和小組分析能夠發(fā)現(xiàn)、提出并分析問題，感悟空間觀念，學會用圖形語言表達事實；通過圖形的理性分析，用規(guī)律推斷解決問題的過程，滲透歸納和演繹的數(shù)學思想方法；通過感悟實踐經(jīng)驗與思維經(jīng)驗的復合運用，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；通過對具體情境的觀察、歸納、抽象和直觀等方法，綜合應用線段垂直平分線的作圖方法、性質、多邊形的分割等知識，提高應用意識，體會數(shù)學的魅力。

2.基于核心素養(yǎng)，體現(xiàn)初中數(shù)學“綜合與實踐”的活動育人價值。本節(jié)綜合實踐課，學生通過親身感受，經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與分析過程，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；通過交流、合作、辨析，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并借助團隊力量解決問題，在互相評價中提高認識，樹立科學態(tài)度；通過結合現(xiàn)實情境滲透轉化思想，學生學會透過現(xiàn)象看本質，加強數(shù)學應用意識和數(shù)學審美能力的培養(yǎng)，激發(fā)學習數(shù)學的興趣；通過進行辯證唯物主義教育，培養(yǎng)學生實事求是的態(tài)度、鍥而不舍的科學精神。從實際教學效果來看，學生能夠真正參與到整個課堂之中，體會到了用數(shù)學解決實際問題的一般過程，拓寬了知識視野。

四、基于數(shù)學核心素養(yǎng)的初中數(shù)學“綜合與實踐”教學改進建議

初中階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應用意識、創(chuàng)新意識。數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質與關鍵能力[12]。本課例是在《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》的指引下研究的?！读x務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》剛剛頒布，作為新的課程標準對初中數(shù)學“綜合與實踐”的重視和引領能夠使數(shù)學綜合與實踐的地位進一步提高，基于核心素養(yǎng)的教學設計也將被重視。通過本課例，基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學“綜合與實踐”教學可遵循以下原則進行教學設計，實施教學。

第一，確定核心素養(yǎng)導向的教學目標。教學目標指引著教學方向。教師在進行初中數(shù)學“綜合與實踐”教學前應以核心素養(yǎng)為導向，設計教學目標。核心素養(yǎng)的落實并非一節(jié)或兩節(jié)課所能實現(xiàn)的，需要一個長期積累的過程。因此，基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學目標應該具體化、可操作、可實施、可評價。初中數(shù)學“綜合與實踐”課程應當以目標為導向，有的放矢地落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

第二，設計有結構化特征的教學內容。初中數(shù)學“綜合與實踐”課程具有綜合性和實踐性的特征。教師在進行教學設計時，應當基于核心素養(yǎng)，設計具有結構化特征的教學內容，設計大情境、真實背景，以問題為驅動，引導學生在真實的問題背景下進行思考、發(fā)現(xiàn)，探索和解決問題。初中數(shù)學“綜合與實踐”課程應當以問題為內容，環(huán)環(huán)相扣地落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

第三，實施促進學生發(fā)展的教學活動。初中數(shù)學“綜合與實踐”的教學以探究活動為主，教師可以按照以下幾個環(huán)節(jié)進行：(1)創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣；(2)分析問題，感悟新知；(3)合作探究，解決問題；(4)實踐應用，拓展視野；(5)匯報成果，反思總結。初中數(shù)學“綜合與實踐”課程應當以活動為背景，潤物細無聲地落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

第四，提供教、學、評一體化的教學評價。初中數(shù)學“綜合與實踐”課程以活動為主，多為跨學時、跨學科的教學活動，為了更好地衡量學生的核心素養(yǎng)發(fā)展情況，教師應當提供教、學、評一體化的教學評價，以評促學，以評促教。初中數(shù)學“綜合與實踐”課程應當以評價為引領，教學相長地落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

第五，促進信息技術與數(shù)學的教學融合。適時適當?shù)剡\用信息技術有助于提高教學效率，擴展教學的深度和廣度。初中數(shù)學“綜合與實踐”涉及的知識面廣，教師應當引導學生合理正確運用信息技術進行綜合實踐，向學生提供可利用的信息技術和平臺。初中數(shù)學“綜合與實踐”課程應當以信息技術為依托，科學合理地落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不能僅依賴于數(shù)學中的其他3個領域，“綜合與實踐”[13]也是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的平臺，數(shù)學核心素養(yǎng)應綜合體現(xiàn)在“發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題”[14]的過程中?；诤诵乃仞B(yǎng)的初中數(shù)學“綜合與實踐”教學設計與實施，恰好符合當前教育實踐研究的需要，是核心素養(yǎng)落地的有效途徑，在今后的教學中需要更多的教育工作者在實踐中探索，凸顯學科育人、活動育人的價值。