趙丹丹，魏俊潮

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

本文中R表示一個(gè)有單位元的環(huán).設(shè)*是環(huán)R到R的雙射，若滿足條件

(a*)*=a；(a+b)*=a*+b*；(ab)*=b*a*.

則稱R為對合環(huán)，也簡稱為*-環(huán)[1].

設(shè)a∈R，若存在b∈R，滿足

a=aba；b=bab；ab=ba.

則稱a為R的群可逆元，且稱b為a的群逆元.由文獻(xiàn)[2]知，群可逆元的群逆元是唯一的.用a#表示群可逆元a的唯一的群逆元.用R#表示環(huán)R的全體群可逆元的集合.

設(shè)R是一個(gè)*-環(huán)，a∈R，若存在b∈R，滿足

a=aba；b=bab；(ab)*=ab；(ba)*=ba.

則稱a為R的Moore-Penrose可逆元，簡稱a為R的MP可逆元，且稱b為a的MP逆元.由文獻(xiàn)[3]知，a的MP逆元是唯一的，記為a+.用R+表示環(huán)R的全體MP可逆元的集合.

設(shè)R是一個(gè)*-環(huán)，a∈R，若aa*a=a，則稱a為R的偏序等距元[4]，簡稱為PI元.用RPI表示環(huán)R的全體PI元的集合.當(dāng)a∈R+時(shí)，a為R的偏序等距元當(dāng)且僅當(dāng)a+=a*.

設(shè)R是一個(gè)*-環(huán)，且a∈R#∩R+.如果a+=a#，則稱a為EP元[5].用REP表示環(huán)R的全體EP元的集合.眾所周知，a是EP元當(dāng)且僅當(dāng)a+a=aa+當(dāng)且僅當(dāng)a+a=a#a.

如果a+=a#=a*，則稱a為強(qiáng)EP元[6]，簡稱SEP元.用RSEP表示環(huán)R的全體SEP元的集合.關(guān)于EP元、PI元及SEP元的刻畫還可參見文獻(xiàn)[7-9].

設(shè)R是一個(gè)*-環(huán)且a∈R，若a=a*，則稱a是對稱元；若aa*=a*a，則稱a是正規(guī)元.關(guān)于正規(guī)元的研究可參見文獻(xiàn)[10].

本文由既是群可逆元又是MP可逆元的元素a構(gòu)造出一些MP可逆元及EP元，利用這些構(gòu)造出的EP元和MP可逆元刻畫元素EP性、PI性、SEP性及正規(guī)性等，并借助于一些已知的公式，構(gòu)造出一個(gè)方程，研究這個(gè)方程在給定集合中有解時(shí)來刻畫PI性質(zhì).最后一般化構(gòu)造的方程并討論一般化后的方程的一般解，變形一般解刻畫EP性及PI性.這是研究廣義逆的新方法.

引理1設(shè)a∈R#∩R+，則a#a*∈REP且(a#a*)+=(a+)*a2a+.

證明由于

(a#a*)((a+)*a2a+)=a#(a*(a+)*)a2a+=(a#a+a)a2a+=a#a2a+=aa+；

((a+)*a2a+)(a#a*)=(a+)*(a2a+a#)a*=(a+)*aa#a*=((a+)*a+a)aa#a*

=(a+)*(a+a2a#)a*=(a+)*a+aa*=(a+)*a*=aa+；

(a#a*)((a+)*a2a+)(a#a*)=((a#a*)((a+)*a2a+))(a#a*)=aa+a#a*=a#a*；

((a+)*a2a+)(a#a*)((a+)*a2a+)=((a+)*a2a+)((a#a*)((a+)*a2a+))

=(a+)*a2a+aa+=(a+)*a2a+；

因此a#a*∈REP且(a#a*)+=(a+)*a2a+.

由引理1的證明可得下列推論.

推論1設(shè)a∈R#∩R+，則

(1)a#a+a3=a=a3a+a#；

(2) (a+)*aa#=(a+)*=a#a(a+)*.

命題1設(shè)a∈R#∩R+，則a#a*a∈R+且(a#a*a)+=a+(a+)*a2a+.

證明由引理1可得

(a#a*a)(a+(a+)*a2a+)=(a#a*aa+)((a+)*a2a+)=(a#a*)((a+)*a2a+)=aa+；

(a+(a+)*a2a+)(a#a*a)=a+(((a+)*a2a+)(a#a*))a=a+aa+a=a+a；

故a#a*a∈R+且(a#a*a)+=a+(a+)*a2a+.

推論2設(shè)a∈R#∩R+，則a∈REP當(dāng)且僅當(dāng)a#a*a∈REP.

證明“?”由于a∈REP，故aa+=a+a.因此由命題1的證明知

(a#a*a)(a+(a+)*a2a+)=(a+(a+)*a2a+)(a#a*a).

于是a#a*a∈REP.

“?”假設(shè)a#a*a∈REP，則(a#a*a)(a#a*a)+=(a#a*a)+a#a*a.故由命題1的證明知，aa+=a+a.

從而有a∈REP.

定理1設(shè)a∈R#∩R+，則

(1)a∈REP當(dāng)且僅當(dāng)(a#a*a)+=a+(a+)*a；

(2)a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)(a#a*a)+=a+a3a+；

(3)a∈RSEP當(dāng)且僅當(dāng)(a#a*a)+=a；

(4)a是正規(guī)元當(dāng)且僅當(dāng)(a#a*a)+=(a+)*；

(5)a是2-正規(guī)元當(dāng)且僅當(dāng)(a#a*a)+=a(a+)*a+；

(6)a是對稱元當(dāng)且僅當(dāng)(a#a*a)+=a#.

證明(1) “?”由于a∈REP，故a+=a#.從而由命題1知

(a#a*a)+=a+(a+)*a2a+=a+(a+)*a.

“?”若(a#a*a)+=a+(a+)*a，則由命題1知，a+(a+)*a2a+=a+(a+)*a.左乘aa*a得a3a+=a2，故a∈REP.

(2) “?”由于a∈RPI，故(a+)*=a.由命題1知(a#a*a)+=a+(a+)*a2a+=a+a3a+.

“?”若(a#a*a)+=a+a3a+，則由命題1知a+(a+)*a2a+=a+a3a+.右乘a#，利用推論1得a+(a+)*=a+a.再左乘a得(a+)*=a.從而a∈RPI.

(3) “?”由于a∈RSEP，故a∈RPI且a+=a#.由(2)知(a#a*a)+=a+a3a+=a#a3a#=a.

“?”若(a#a*a)+=a，則由命題1知a+(a+)*a2a+=a.右乘a#得a+(a+)*=aa#，故

aa+(a+)*=aaa#，即(a+)*=a，從而a∈RPI.此時(shí)有aa#=a+(a+)*=a+a，故a∈REP，因此a∈RSEP.

(4) “?”由于a是正規(guī)元，故a為EP元，且a#a*=a*a#，所以a(a#)*=(a#)*a.由命題1知

(a#a*a)+=a+(a+)*a2a+=a+(a#)*a2a#=a+(a#)*a=a+a(a#)*=(a#)*=(a+)*.

“?”若(a#a*a)+=(a+)*，則a#a*a=a*.右乘a+a得a*=a*a+a，因此a=a+a2，即a∈REP.

故aa*=aa#a*a=a#aa*a=a+aa*a=a*a.所以a是正規(guī)元.

(5) “?”由于a是2-正規(guī)元，則a是EP元且a2a*=a*a2，故a*a*a=aa*a*.

于是a*a*a#=a#a*a*，進(jìn)而有a*a*a+=a+a*a*，從而(a+)*a2=a2(a+)*.由命題1知

(a#a*a)+=a+(a+)*a2a+=a+a2(a+)*a+=a(a+)*a+.

“?”若(a#a*a)+=a(a+)*a+，則由命題1知a+(a+)*a2a+=a(a+)*a+.右乘a得

a+(a+)*a2=a(a+)*.左乘1-a+a得(1-a+a)a(a+)*=0.右乘a*a#a得(1-a+a)a=0，從而a是EP元.故a2(a+)*=a(a+(a+)*a2)=(a+)*a2，即有a+(a*)2=(a*)2a+，從而a#(a*)2=(a*)2a#.進(jìn)一步有a(a*)2=(a*)2a，所以a是2-正規(guī)元.

(6) “?”由于a是對稱元，則a*=a且a是EP元.由1)知

(a#a*a)+=a+(a+)*a=a+(a+)*a*=a+=a#.

“?”若(a#a*a)+=a#，則由命題1知，a+(a+)*a2a+=a#.先右乘a#，由推論1得a+(a+)*=a#a#.再左乘a得(a+)*=a#.從而有a#=a+(a+)*a2a+=a+a#a2a+=a+.注意到a=aa*(a+)*=aa*a#，所以a+a=a+aa*(a+)*=a+aa*a#=a*a#.于是a=a#a2=a+a2=a*a#a=a*aa+=a*，故a是對稱元.

命題2設(shè)a∈R#∩R+，則a+a3a+∈R+且(a+a3a+)+=a#.

證明注意到a#=a#a*(a+)*，a+a3a+=a*(a+)*a2a+，由引理1知

(a+a3a+)a#=a*(((a+)*a2a+)(a#a*))(a+)*=a*aa+(a+)*=a+a；

a#(a+a3a+)=(a#a*(a+)*a*)((a+)*a2a+)=(a#a*)((a+)*a2a+)=aa+.

因此a+a3a+∈R+且(a+a3a+)+=a#.

命題3設(shè)a∈R#∩R+，則a*a#a*∈R+且(a*a#a*)+=(a+)*a(a+)*.

證明注意到(a+)*a(a+)*=(a+)*a2a+(a+)*，由引理1知

(a*a#a*)((a+)*a(a+)*)=a*(a#a*)((a+)*a2a+)(a+)*=a*aa+(a+)*=a+a；

((a+)*a(a+)*)(a*a#a*)=(a+)*a2(a+(a+)*a*)(a#a*)=((a+)*a2a+)(a#a*)=aa+.

故a*a#a*∈R+且(a*a#a*)+=(a+)*a(a+)*.

由命題2及命題3有下面的推論.

推論3設(shè)a∈R#∩R+，則下列條件等價(jià).

(1)a∈REP；

(2)a+a3a+∈REP；

(3)a*a#a*∈REP.

由于當(dāng)a∈R#∩R+時(shí)，(a+)*a2=(a+)*a2a+a，而且

(a+a#a*)((a+)*a2)=a+((a#a*)(a+)*a2a+)a=a+aa+a=a+a；

((a+)*a2)(a+a#a*)=(a+)*aa#a*=(a+)*a*=aa+.

從而有下面的命題:

命題4設(shè)a∈R#∩R+，則

(1)a+a#a*∈R+且(a+a#a*)+=(a+)*a2；

(2)a∈REP當(dāng)且僅當(dāng)a+a#a*∈REP.

命題5設(shè)a∈R#∩R+，則a+a#a*a∈REP且(a+a#a*a)+=a+(a+)*a2.

證明利用命題4常規(guī)驗(yàn)證即可.

當(dāng)a∈RPI時(shí)，(a+)*=a，由命題5知，一方面有

(a+a#a*a)+=a+a3=a+a(a+)*(a+)*；

另一方面又有

(a+a#a*a)+=a+a3=a+a2(a+)*.

故可構(gòu)造方程

a+ax(a+)*=a+a2x.

(1)

命題6設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)方程(1)在χa中至少有一個(gè)解.

證明“?”當(dāng)a∈RPI時(shí)，x=(a+)*為方程的一個(gè)解.

“?”(1)若x=a為解，則a+a2(a+)*=a+a3.左乘a#，由推論1得(a+)*=a，故a∈RPI.

(2)若x=a#為解，則a+aa#(a+)*=a+a2a#，由推論1知a+(a+)*=a+a.左乘a得(a+)*=a，故

a∈RPI.

(3)若x=a+為解，則a+aa+(a+)*=a+a2a+，即a+(a+)*=a+a2a+.先左乘a得(a+)*=a2a+.再右乘aa#得(a+)*=a.故a∈RPI.

(4)若x=a*為解，則a+aa*(a+)*=a+a2a*，即a+a=a+a2a*.左乘a得a=a2a*.由文獻(xiàn)[4]知

a∈RPI.

(5)若x=(a#)*為解，則a+a(a#)*(a+)*=a+a2(a#)*，即(a#)*(a+)*=a+a2(a#)*.先右乘

1-a+a得a+a2(a#)*(1-a+a)=0.然后左乘a+a#a得(a#)*(1-a+a)=0.再左乘a+a*，由推論1得

a+(1-a+a)=0.從而a∈REP，而且(a#)*(a+)*=a+a2(a#)*=a(a#)*，此時(shí)a+a#=a#a*.最后左乘

a3得a=a2a*，故a∈RPI.

(6)若x=(a+)*為解，則a+a(a+)*(a+)*=a+a2(a+)*.先左乘a，然后右乘a*，得

a(a+)*aa+=a3a+.再右乘aa#，利用推論1得a(a+)*=a2.最后左乘a#得(a+)*=a，故a∈RPI.

方程(1)可一般化為

a+ax(a+)*-a+a2y=0.

(2)

命題7設(shè)a∈R#∩R+，則方程(2)的一般解為

(3)

證明首先證明公式(3)是方程(2)的解.事實(shí)上

a+a(-a+apa*+u-a+auaa+)(a+)*-a+a2(-a#pa+a+z-a#az)

=-a+apa*(a+)*+a+au(a+)*-a+auaa+(a+)*+a+a2a#pa+a-a+a2z+a+a2a#az

=-a+apa+a+a+au(a+)*-a+au(a+)*+a+apa+a-a+a2z+a+a2z=0.

故公式(3)是方程(2)的解.

-a+a(-ay0)a*=(a+a2y0)a*=a+ax0(a+)*a*=a+ax0aa+，

于是x0=-a+a(-ay0)a*+x0-a+ax0aa+.又因?yàn)?/p>

-a#(-ay0)a+a=(a#a+a)ay0a+a=a#(a+a2y0)a+a=a#(a+ax0(a+)*)a+a

=(a#a+ax0)((a+)*a+a)=a#(a+ax0(a+)*)=a#(a+a2y0)=a#ay0.

故y0=-a#(-ay0)a+a+y0-a#ay0.于是方程(2)的一般解為公式(3).

推論4設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)方程(2)的一般解為

(4)

證明“?”由于(2)的一般解由(3)式給出，故a∈RPI時(shí)，(3)式即為(4)式，從而(2)的一般解由(4)式給出.

“?”若方程(2)的一般解由(4)式給出，則

a+a(-a*apa*+u-a+auaa+)(a+)*-a+a2(-a#pa+a+z-a#az)=0，

即對任意p∈R，有-a*apa+a+a+apa+a=0.特別地, 選取p=a，則有a*a2=a+a2，因此a∈RPI.

方程(2)可改為如下方程

a#ax(a+)*-a+a2y=0.

(5)

推論5設(shè)a∈R#∩R+，則a∈REP當(dāng)且僅當(dāng)方程(5)的一般解由(3)式給出.

證明“?”假設(shè)a∈REP，則a+a=a#a.此時(shí)方程(5)即為方程(2)，從而方程(5)的一般解由(3)式給出.

“?”若方程(5)的一般解由(3)式給出，則

a#a(-a+apa*+u-a+auaa+)(a+)*-a+a2(-a#pa+a+z-a#az)=0，

即對任意p∈R，有a#apa+a=a+apa+a.取p=1，有a#a=a+a，故a∈REP.