高明，陳家豪，王麗曉，唐武琛，王智東，張紫凡，馬海霞，馮瑞玨，周長鵬

（1.廣州城市理工學(xué)院電氣工程學(xué)院，廣州 510800；2.宜通世紀(jì)物聯(lián)網(wǎng)研究院（廣州）有限公司，廣州 510665；3.華南理工大學(xué)電力學(xué)院智慧能源工程技術(shù)研究中心，廣州 510640）

0 引言

隨著中國能源戰(zhàn)略的改變，可再生能源發(fā)電成為研究熱點，經(jīng)過近10 年的快速發(fā)展，間歇性可再生能源已成為我國重要的能源供應(yīng)形式之一［1］。

光伏作為可再生能源的重要組成部分，裝機(jī)容量逐年提升，截至2020 年年末，我國光伏發(fā)電累計裝機(jī)已經(jīng)達(dá)到253.43 GW［2］。而光伏發(fā)電具有隨機(jī)性和波動性，其在電網(wǎng)發(fā)電的比例越高，給電力系統(tǒng)運行狀態(tài)帶來的影響越不容忽略［3］。

但傳統(tǒng)的確定性潮流無法準(zhǔn)確反映系統(tǒng)真實運行狀況，故提出概率潮流算法理論，這一概念最早是在1974 年由Brokowska 提出并應(yīng)用于電力系統(tǒng)潮流計算中［4］。

根據(jù)現(xiàn)有概率潮流計算方法的工作原理，可將其大致分成以下3 類：蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation，MCS）、解析法、近似法［5-6］。

MCS 是一種以概率論和數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ)的試驗統(tǒng)計方法，它的收斂性幾乎不受系統(tǒng)規(guī)模和復(fù)雜程度的影響，且在采樣規(guī)模足夠大時具有很高的計算精度，但計算時間難以承受［7］，該方法通常是其他概率潮流算法計算準(zhǔn)確度的評估基準(zhǔn)。

為了提高M(jìn)CS 的計算速度，減少采樣數(shù)量，文獻(xiàn)［8］采用基于Sobol序列的擬蒙特卡羅法獲得具有隨機(jī)性的可再生能源出力和負(fù)荷的樣本，規(guī)避了MCS 中的隨機(jī)抽樣。同樣，拉丁超立方采樣法也可以避免隨機(jī)大規(guī)模采樣，文獻(xiàn)［9］將Cholesky分解與之相結(jié)合。文獻(xiàn)［10］將自適應(yīng)重要抽樣與之相結(jié)合，都提高了抽樣效率。文獻(xiàn)［11］對拉丁超立方采樣法的采樣排序進(jìn)行改進(jìn)，提出一種將隨機(jī)行走原理和拉丁超立方采樣相結(jié)合的方法，提高了計算精度，更為精確地反映隨機(jī)變量的數(shù)字特征。文獻(xiàn)［12］利用概率潮流中的拉丁超立方采樣法和Cholesky 分解進(jìn)行相關(guān)性樣本的采集，將生成的秩相關(guān)系數(shù)矩陣加入概率潮流計算中。文獻(xiàn)［13］建立了包括儲能系統(tǒng)的成本、支路潮流的越限概率和電網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)損耗在內(nèi)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并用遺傳算法求取目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。解析法中主要包括卷積法和半不變量法，可以根據(jù)輸出隨機(jī)變量與輸入隨機(jī)變量之間的線性函數(shù)關(guān)系得到輸出隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計特性。為了提高半不變量法的求解精度，文獻(xiàn)［14］采用分段線性化的手段來減小潮流方程線性化誤差。文獻(xiàn)［15］根據(jù)光伏出力的概率分布特性，分別采用離散數(shù)據(jù)法和樣條插值法對超拉丁立方抽樣法進(jìn)行改進(jìn)，并與半不變量法結(jié)合，從而也有效提高了概率潮流的計算準(zhǔn)確性。在半不變量法輸出結(jié)果的處理上，文獻(xiàn)［16］利用Gram-Charlier級數(shù)展開理論，保證結(jié)果高度準(zhǔn)確的同時提高了計算效率，可以用于處理大型的實際系統(tǒng)。文獻(xiàn)［17］比較了基于半不變量法的3 種展開式：Gram-Charlier，Edgeworth，Cornish-Fisher，結(jié)果表明這3種方法都能在隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布時得到準(zhǔn)確結(jié)果。

對于變量的相關(guān)性處理，文獻(xiàn)［18］提出了一種基于Cholesky 分解的半不變量法，使半不變量法能夠應(yīng)用于輸入隨機(jī)變量具有相關(guān)性的場合，同時提出了基于MCS 的方法來解決某些輸入變量的半不變量不能被常規(guī)數(shù)值方法求解的問題。

近似法根據(jù)輸入隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計特性近似描述輸出隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計特性，典型方法為點估計法（Point Estimate Method，PEM），具有計算效率高的優(yōu)點。

文獻(xiàn)［19］比較了4種不同的PEM策略：2m，2m+1，3m，4m，結(jié)果表明2m+1 策略在系統(tǒng)擁有大量輸入隨機(jī)變量的情況下，無論處理離散還是連續(xù)變量，都具有最佳性能，故本文也采用此策略。一般假設(shè)輸入隨機(jī)變量相互獨立，而文獻(xiàn)［20］結(jié)合Nataf變換使PEM 能夠處理輸入隨機(jī)變量具有相關(guān)性的問題。文獻(xiàn)［21-25］均采用了2m+1 策略的三點估計法（Three-Point Estimate Method，3PEM）和Nataf逆變換，而且前者與直流潮流模型相結(jié)合提高了計算速度，適用于直流系統(tǒng)，而后者通過增加一組正態(tài)分布尾部點的組合克服了3PEM 尾部準(zhǔn)確度不足的問題。文獻(xiàn)［25］提出一種基于貝葉斯理論的最大期望算法及Rosenblatt 變換的3PEM，能夠很好捕捉風(fēng)電場之間的非線性相關(guān)性。文獻(xiàn)［26］考慮輸入隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)矩陣非正定的情形，提出一種主元分析結(jié)合Cornish-Fisher級數(shù)展開的PEM，能適應(yīng)新能源發(fā)電高滲透率電力系統(tǒng)的快速概率潮流計算。

綜上所述，MCS 原理簡單而且求解精度高，但往往伴隨著計算量大、耗時長的問題，故一般作為其他概率潮流計算方法準(zhǔn)確度的參照。

同時，為了避免大規(guī)模的采樣，本文選擇基于超拉丁立法的MCS 來減少運行時間。對于解析法中的半不變量法，其在原理上需要對系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理得到解析式，因而在對潮流方程進(jìn)行近似化處理的過程中，誤差不可避免，故本文決定采用3PEM來計算概率潮流。

對于潮流結(jié)果的處理上，文獻(xiàn)［27］指出，Cornish-Fisher級數(shù)與Gram-Charlier級數(shù)相比，在計算非正態(tài)分布的概率分布時，具有更高的精度?？紤]到本文光伏發(fā)電的概率模型屬于非正態(tài)分布，故本文將采用Cornish-Fisher 級數(shù)展開來獲得輸出隨機(jī)變量的概率分布。

本文第1 節(jié)介紹了光伏發(fā)電和負(fù)荷的概率模型；第2節(jié)介紹了基于3PEM的概率潮流求解的過程與相關(guān)理論基礎(chǔ)，包括半不變量的定義、3PEM 的原理，以及Cornish-Fisher 級數(shù)展開理論；第3 節(jié)介紹了算法的完整流程，并在改進(jìn)的IEEE 33 節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行算例分析，驗證了3PEM 的有效性，且分析了光伏接入對電力系統(tǒng)的影響；第4節(jié)為本文的結(jié)論。

1 概率模型

1.1 光伏出力的概率模型

光照強(qiáng)度是一種不確定的隨機(jī)變量，本文采用Beta 分布來模擬光照強(qiáng)度的概率分布［21］，其概率密度函數(shù)表示為

1.2 負(fù)荷的概率模型

負(fù)荷功率往往伴隨著時間的改變而上下浮動，普通意義上的負(fù)荷值表示的是其平均值［28］。

目前較為接受的觀點是認(rèn)為負(fù)荷隨機(jī)變化服從正態(tài)分布，因此本文分別用σP和μP為有功功率的方差和期望值，用σQ和μQ為無功功率的方差和期望，則二者的概率密度函數(shù)為

故在已知負(fù)荷有功功率和無功功率的期望和方差的前提下，可以通過式（4）求得一組服從正態(tài)分布的P，Q值。于是，在極坐標(biāo)下根據(jù)節(jié)點功率方程，可以寫出負(fù)荷節(jié)點的節(jié)點功率不平衡量方程為

2 基于3PEM的概率潮流求解

2.1 半不變量

半不變量，又稱累積量，也是隨機(jī)變量的一種數(shù)字特征［29］。半不變量具有2個重要的性質(zhì)。

（2）齊次性：相互獨立隨機(jī)變量Ω倍的k階半不變量等于該隨機(jī)變量k階半不變量的Ωk倍。

假設(shè)F（x）是隨機(jī)變量X的一元累積分布函數(shù)，令t為任意實數(shù)，則在（-∞，+∞）上關(guān)于F（x）的積分函數(shù)g（x）=ejtx=cos（tx）+jsin（tx）稱為F（x）的特征函數(shù)，該特征函數(shù)具體可表示為

2.2 PEM

在電力系統(tǒng)中，若已知各節(jié)點輸入隨機(jī)變量（x1，x2，…，xm）的概率分布，則理論上可通過3PEM利用輸入輸出的函數(shù)關(guān)系Z=f（x1，x2，…，xm），求取系統(tǒng)各節(jié)點電壓與支路潮流的有限階原點矩［30］。其中，函數(shù)關(guān)系f為如下交流潮流方程

式中：Pis，Qis分別為給定的有功、無功功率。寫成矩陣形式為

式中：ΔF=［ΔP；ΔQ］；ΔX=［V；θ］；J為雅可比矩陣。于是，便可以用牛頓-拉夫遜潮流計算方法求得輸出變量。

為了便于分析，假設(shè)各輸入隨機(jī)變量之間相互獨立。根據(jù)1.1 和1.2 節(jié)建立光伏出力和負(fù)荷的概率模型后，求出每一個輸入隨機(jī)變量xk的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，記為μk和δk，再用式（11）計算其3 個估計點，記為xk，1，xk，2，xk，3。

式中：λk，3為隨機(jī)變量xk的3 階中心距，稱為偏度系數(shù)，表示xk的分布偏離標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的程度；λk，4為隨機(jī)變量xk的4 階中心矩，稱為峰度系數(shù)：若λk，4很小，說明xk的取值集中在期望附近；若為0，說明隨機(jī)變量xk的分布和正態(tài)分布的陡峭度一致。二者的表達(dá)式為

構(gòu)造出隨機(jī)變量Xk的3 個估計點后，就可以通過牛頓-拉夫遜潮流計算方法求得輸出隨機(jī)變量的相應(yīng)估計點。理論上，擁有m個隨機(jī)輸入變量的系統(tǒng)可以獲得3m個估計點，從而需要求解3m次潮流方程，但由于ξk，3=0，此位置上所有輸入隨機(jī)變量為各自的均值，即有m個點是相同的，故只需要求解2m+1次潮流方程，減少了計算量。

利用2m+1 次潮流計算得到的節(jié)點電壓和支路潮流結(jié)果，分別計算它們的各階原點矩為

2.3 Cornish-Fisher展開級數(shù)

利用上述PEM 求得的節(jié)點電壓和支路潮流的期望、方差等原點矩和半不變量后，結(jié)合Cornish-Fisher 展開級數(shù)［31］可以求出這些輸出隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（Probabilistic Density Function，PDF）和累積量分布函數(shù)（Cumulant Distribution Function，CDF）。

設(shè)輸出隨機(jī)變量Z的概率分布函數(shù)為F（z），其分位數(shù)為τ，有z（τ）=F-1（τ），則根據(jù)Cornish-Fisher級數(shù)理論［32］，z（τ）可近似表示為

式中：ζ（τ）=Ф-1（τ）；Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的CDF；γi為隨機(jī)變量z的i階規(guī)格化半不變量。

3 算法流程與算例分析

3.1 基于3PEM的概率潮流算法流程

本文算例以MATLAB 為平臺，驗證模型與算法的準(zhǔn)確性與適用性。具體步驟如下。

（1）輸入數(shù)據(jù)。

（2）建立輸入隨機(jī)變量模型。

（3）確定各輸入隨機(jī)變量的3個估計點。

（4）進(jìn)行確定性潮流計算：取某個隨機(jī)輸入變量的估計點，其余變量保持均值，即在（μ1，μ2，…，xk，i，…，μm）處進(jìn)行確定性潮流計算，得到輸出隨機(jī)變量的估計值f（μ1，μ2，…，xk，i，…，μm），其中m為輸入隨機(jī)變量個數(shù)。

（5）重復(fù)步驟（4），直到2m+1次計算結(jié)束。

（6）計算輸出隨機(jī)變量的各階原點矩E（Zj）。

（7）用Cornish-Fisher展開級數(shù)求得各輸出隨機(jī)變量的PDF和CDF，并繪制圖形。

基于上述步驟，系統(tǒng)的概率潮流計算流程如圖1所示。

圖1 基于3PEM的概率潮流計算流程Fig.1 Probabilistic load flow calculation based on 3PEM

3.2 算例分析

3.2.1 基于3PEM的概率潮流計算有效性驗證

本文以IEEE 33 節(jié)點系統(tǒng) 為例［33］，為了驗證3PEM 的概率潮流計算的準(zhǔn)確性，用MCS 得到的結(jié)果作為參考，其模擬次數(shù)為1 000次。

假設(shè)各隨機(jī)變量相互獨立，負(fù)荷服從式（4）所示的正態(tài)分布，取測試系統(tǒng)的負(fù)荷值為均值，取10%為標(biāo)準(zhǔn)差，系統(tǒng)基準(zhǔn)值為100 MV·A。輻照度服從式（1）所示的2參數(shù)Beta分布，光伏接入點位于系統(tǒng)的28號節(jié)點。

按照式（17）和（18）計算3PEM 和MCS概率潮流所得節(jié)點電壓的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差，并以此為評價的標(biāo)準(zhǔn)。

將結(jié)果繪制成直方圖，如圖2和圖3所示。

圖2 3PEM和MCS電壓幅值相對誤差比較Fig.2 Relative error of voltage amplitudes obtained by 3PEM and MCS

圖3 3PEM和MCS電壓相角相對誤差比較Fig.3 Relative errors of voltage phase angles obtained by 3PEM and MCS

可以看出：各節(jié)點電壓幅值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差最大值分別為7.89×10-7和2.92%；各節(jié)點電壓相角的均值、標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差最大值分別為0.012 9%和1.14%。

由此可以說明3PEM 得到的結(jié)果準(zhǔn)確且具有較高的精度。同時，此系統(tǒng)有32個隨機(jī)變量，由3PEM構(gòu)造出來的估計點有65 個，因此只需要進(jìn)行65 次確定型潮流計算便可得出上述結(jié)果，與MCS 的1 000次相比大大減少了計算量。

因此，3PEM 非常適合應(yīng)用于實際系統(tǒng)的概率潮流計算。

3.2.2 光伏不確定性對概率潮流的影響

3.2.2.1 對系統(tǒng)節(jié)點電壓的影響

表1給出了在3PEM下，計及光伏與不計及光伏2個系統(tǒng)中各電壓幅值的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，對比2種情況下節(jié)點電壓的幅值，可以觀察到存在一定程度的變化。為了更清楚地表示這種變化，將計及光伏前后各節(jié)點電壓幅值的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的絕對誤差繪制成圖4a。從圖4a 可知，距離光伏節(jié)點越近，其電壓幅值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差受光伏影響越大。

根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)，可畫出系統(tǒng)各節(jié)點電壓在接入光伏前后的PDF和CDF曲線。

表1 計及光伏后節(jié)點電壓計算結(jié)果Table 1 Results of node voltages considering PV and without PV

為了進(jìn)一步研究光伏接入對系統(tǒng)概率潮流的影響，選擇距離光伏較近的28 號節(jié)點和較遠(yuǎn)的22號節(jié)點，分別繪制其PDF 和CDF 曲線，如圖5 和圖6所示。

圖6 計及光伏前后節(jié)點22電壓的概率分布Fig.6 Probability distribution of the voltage at node 22 considering PV and without PV

由圖5a所知，距離光伏較近的28號節(jié)點的電壓波動非常明顯。在不計及光伏的情況下，其電壓均值（標(biāo)幺值）為0.933 7，標(biāo)準(zhǔn)差為0.002 160；計及光伏后，電壓均值（標(biāo)幺值）為0.947 5，標(biāo)準(zhǔn)差為0.006 300。

從圖6 可知，節(jié)點22 距離光伏較遠(yuǎn)，其PDF 和CDF 曲線在光伏接入系統(tǒng)前后變化不大，故其電壓幅值波動幅度不大。在不計及光伏的情況下，節(jié)點22 的電壓均值（標(biāo)幺值）為0.991 6，標(biāo)準(zhǔn)差為0.000 336；計及光伏后，其電壓均值（標(biāo)幺值）為0.991 9，標(biāo)準(zhǔn)差為0.000 367。

綜上所述，從圖5 和圖6 的概率分布曲線可知，計及光伏前后節(jié)點28 和節(jié)點22 的電壓都發(fā)生右移，其中節(jié)點22 移動的程度很少，而節(jié)點28 移動的程度很明顯。

3.2.2.2 對系統(tǒng)支路功率的影響

3PEM 下計及光伏前后系統(tǒng)支路有功功率的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差見表2。

表2 計及光伏后系統(tǒng)的支路有功功率數(shù)據(jù)Table 2 Active power flow of each line considering PV and without PV

為了清晰地觀察它們的變化，圖4b繪制了計及光伏前后支路有功功率期望與標(biāo)準(zhǔn)差的絕對誤差。經(jīng)對比可發(fā)現(xiàn)，1—2，2—3，3—4，4—5，5—6 支路以及6—26，26—27，27—28 支路的有功功率有明顯的改變，這些支路恰好分布在光伏附近。

取離光伏較近和較遠(yuǎn)的2 條支路，即支路27—28 和支路7—8，分別繪制它們的PDF 和CDF 曲線，如圖7 和圖8 所示。從圖7 和圖8 可以看出，支路7—8 距離光伏較遠(yuǎn)，受光伏影響較小，潮流變化不明顯，而支路27—28與光伏相連，受光伏影響較大，潮流的變化明顯。

圖7 計及光伏前后支路27—28有功功率的概率分布Fig.7 Probability distributions of the active power flow of line 27-28 with PV and without PV

圖8 計及光伏前后支路7—8有功功率的概率分布Fig.8 Probability distributions of the active power flow of line 7—8 with PV and without PV

綜上所述，接入光伏后，系統(tǒng)的節(jié)點電壓和支路潮流均受到不同程度的影響，且距離光伏接入點越近，受其影響越嚴(yán)重。

4 結(jié)論

本文提出了基于3PEM 的電力系統(tǒng)概率潮流計算方法，有效實現(xiàn)減少采用時間的同時確保采樣樣本的有效性。應(yīng)用本文所提方法對考慮負(fù)荷和光伏不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行測試分析，與MCS 進(jìn)行對比，結(jié)果表明基于三點估計的概率潮流計算結(jié)果準(zhǔn)確且大大減少了計算量，驗證了其有效性。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究并分析了計及光伏前后對系統(tǒng)的影響，結(jié)果表明距離光伏接入點越近，節(jié)點電壓和支路潮流的變化程度越大，但隨著距離的增加，這種影響逐漸減弱。