◎ 顏佳玥

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“預(yù)備知識(shí)”“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”五個(gè)主題。其中“概率與統(tǒng)計(jì)”這個(gè)主題的內(nèi)容在橫向上與其他模塊的聯(lián)系相對(duì)較少，學(xué)生有時(shí)比較難以理解這部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容，就如滬教版高中數(shù)學(xué)教材必修第三冊(cè)第12章“概率初步”中也提到“盡管所涉及的內(nèi)容實(shí)際上相當(dāng)初等，但是和學(xué)習(xí)以往的內(nèi)容不同，不僅要換一種思路，而且要換一套語(yǔ)言?！辫b于此，教師在進(jìn)行“概率與統(tǒng)計(jì)”主題相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，不能簡(jiǎn)單地照搬其他內(nèi)容教與學(xué)的模式和方法，而應(yīng)當(dāng)仔細(xì)分析、深入思考，尋找一種更加有效、更為適切的教學(xué)方式。

一、“概率與統(tǒng)計(jì)”主題中新增學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

“概率與統(tǒng)計(jì)”主題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)其實(shí)并不陌生，在小學(xué)階段學(xué)生就接觸了不確定事件發(fā)生可能性的大小、枚舉隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果以及繪制條形統(tǒng)計(jì)圖等的實(shí)踐，初步感知了概率與統(tǒng)計(jì)的樸素表達(dá)。在初中階段學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)了隨機(jī)現(xiàn)象的概率、統(tǒng)計(jì)圖表及簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)特征刻畫(huà)。此階段的學(xué)生已經(jīng)能夠利用枚舉法計(jì)算概率，說(shuō)明學(xué)生對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象有了一定的了解。但是，這種理解和應(yīng)用往往停留和局限于從具體的生活實(shí)例所建立的數(shù)學(xué)情境上，缺乏對(duì)隨機(jī)思想的充分認(rèn)識(shí)。到了高中階段，在高二的必修課程中，學(xué)生在集合的框架基礎(chǔ)下，用集合的語(yǔ)言重建了樣本空間、隨機(jī)事件和概率的概念和定義。學(xué)生學(xué)習(xí)了不同抽樣方式、統(tǒng)計(jì)圖表和用樣本估計(jì)總體。在此基礎(chǔ)上，本次新教材對(duì)于“概率與統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)行了新增與延續(xù)。

（一）新增內(nèi)容

作為高二必修課程相關(guān)內(nèi)容的續(xù)篇，本次新教材“概率與統(tǒng)計(jì)”主題中新增的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要有：條件概率、全概率公式、二項(xiàng)分布、超幾何分布、莖葉圖、成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)分析、2×2列聯(lián)表等。這部分新增的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要集中于高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)中，是必修課程第12章“概率初步”和第13章“統(tǒng)計(jì)”學(xué)習(xí)內(nèi)容的后續(xù)和加深，與舊教材相比變化較大且難度有所上升。

（二）學(xué)習(xí)價(jià)值

新增內(nèi)容深入研究了概率論中的重要概念如“條件概率”以及由其引出的重要公式，通過(guò)隨機(jī)變量及其分布介紹了重要而基本的概率模型，并引入了重要的推斷性統(tǒng)計(jì)方法，將“概率與統(tǒng)計(jì)”主題提升到了更高的學(xué)科高度，在分析隨機(jī)事件的角度上幫助學(xué)生形成更加客觀、理性和系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。因此學(xué)習(xí)這些新增的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生而言，不僅可以豐富他們已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)體系、圖式和數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為他們打開(kāi)新思路，對(duì)他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)更高級(jí)別的數(shù)學(xué)知識(shí)或者其他相關(guān)學(xué)科帶來(lái)助力；而且能夠幫助學(xué)生體會(huì)在接觸、學(xué)習(xí)一塊新內(nèi)容的時(shí)候如何去聯(lián)系自己已有的常識(shí)，并在體驗(yàn)和理解中準(zhǔn)確地挖掘出蘊(yùn)含在其繁復(fù)的概念、運(yùn)算之中的核心思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提高學(xué)生分析處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行抽象概括以及運(yùn)用數(shù)學(xué)方法合理分析問(wèn)題的能力。

此外，盡管“概率與統(tǒng)計(jì)”這個(gè)主題在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中相對(duì)“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”而言所占的篇幅并不算大，但它有別于學(xué)生長(zhǎng)期學(xué)習(xí)的確定性邏輯思維，對(duì)于學(xué)生理解“不確定性”中的規(guī)律與科學(xué)、建立統(tǒng)計(jì)直覺(jué)、學(xué)會(huì)預(yù)測(cè)結(jié)果和因果分析的基本方法具有非常重要的教育教學(xué)價(jià)值和作用。

（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)

該主題部分新增學(xué)習(xí)內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”中數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分的“抽樣分布”“假設(shè)檢驗(yàn)”“方差分析”等知識(shí)密切相關(guān)，因此高中階段的學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，對(duì)于相關(guān)的完整理論體系和其中一些概念的具體來(lái)龍去脈就會(huì)出現(xiàn)無(wú)法充分理解的現(xiàn)象，因而學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)感到思維上的跳躍和迷茫。但如果將大學(xué)中的相關(guān)理論完整周密地向高中學(xué)生全部進(jìn)行展示和介紹無(wú)疑既不太現(xiàn)實(shí)，也沒(méi)有必要，數(shù)學(xué)分析過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性往往受到量力而行的限制。那么對(duì)于此類內(nèi)涵深遠(yuǎn)的教學(xué)內(nèi)容，如何使高中學(xué)生從其本身基礎(chǔ)出發(fā)，去自主建構(gòu)這樣一些知識(shí)和方法，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)也是一個(gè)挑戰(zhàn)，促使教師去思考，去尋找一種更加有效、更為適切的教學(xué)方式，從而融合數(shù)學(xué)過(guò)程的教育形態(tài)和學(xué)術(shù)形態(tài)，提高較為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)的實(shí)效性。

二、對(duì)主題中部分新增學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)思考

（一）設(shè)計(jì)總體思路

“概率”的教學(xué)著眼于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)古典概型，建立有限樣本空間，理解隨機(jī)事件等概念的知識(shí)內(nèi)涵，作為“統(tǒng)計(jì)”的理論基礎(chǔ)。而“統(tǒng)計(jì)”則偏向于操作性的層面，不僅需要教師的指導(dǎo)和講解，更需要學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過(guò)程。

1.有的放矢，直擊抽象概念及運(yùn)算中的數(shù)學(xué)核心思想方法

從教材內(nèi)容來(lái)看，新課標(biāo)和新教材在引入“卡方統(tǒng)計(jì)量”時(shí)淡化了對(duì)卡方分布的具體定義，只是對(duì)其進(jìn)行了具體應(yīng)用。而高等數(shù)學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中清楚地交代了“卡方分布”是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量之一，即設(shè)（X1，X2，…，Xn）為來(lái)自總體X～N（0，1）的一個(gè)樣本，則稱為卡方統(tǒng)計(jì)量，且服從自由度為n的卡方分布。高等數(shù)學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程在介紹“假設(shè)檢驗(yàn)”一章時(shí)對(duì)“顯著性檢驗(yàn)”中的各種概念如“參數(shù)假設(shè)”“非參數(shù)假設(shè)”“拒絕域”“顯著性水平”“兩類錯(cuò)誤”等進(jìn)行了深入的分析，并且給出了對(duì)于各類假設(shè)檢驗(yàn)的系統(tǒng)性操作方法，而新教材并未詳細(xì)深入地闡述這些內(nèi)容，只是要求學(xué)生能夠判斷出具體實(shí)例中相關(guān)變量間的獨(dú)立性關(guān)系。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)在情境中的理解和應(yīng)用來(lái)強(qiáng)化大觀念、大概念，重視思想方法的滲透。在淡化過(guò)多抽象內(nèi)容的闡釋與運(yùn)算的同時(shí)，將“假設(shè)檢驗(yàn)”中最為關(guān)鍵的思想內(nèi)核清晰地展示給學(xué)生，幫助和促使學(xué)生對(duì)于其中數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟和理解。

2.體驗(yàn)參與，聯(lián)結(jié)已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自主構(gòu)建新的知識(shí)體系

盡管部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的困難，但毫無(wú)疑問(wèn)針對(duì)這些內(nèi)容的探究過(guò)程和成果對(duì)于學(xué)生而言都是很有價(jià)值的。因此，在學(xué)習(xí)形式和探究策略上，要注重調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)使其參與到學(xué)習(xí)的全過(guò)程，在不斷自主體驗(yàn)中推進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)程，建構(gòu)一個(gè)體驗(yàn)式的課堂。

（二）以“2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)” 為例的教學(xué)設(shè)計(jì)

下文以該主題中第8章“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”中的第3節(jié) “2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)”內(nèi)容為例進(jìn)行闡述。這一單元承接必修課程的“統(tǒng)計(jì)”一章，在研究來(lái)自單一變量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，如集中趨勢(shì)、離散程度、分布等的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)來(lái)自兩個(gè)變量的成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)分析、回歸分析和χ2檢驗(yàn)等推斷性統(tǒng)計(jì)方法。在單元教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主繪制已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的散點(diǎn)圖、各種統(tǒng)計(jì)圖表等，通過(guò)觀察來(lái)大致了解數(shù)據(jù)的整體形態(tài)及偏離情況和猜測(cè)兩組數(shù)據(jù)之間的變化規(guī)律；引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待現(xiàn)實(shí)世界中的事物和現(xiàn)象，構(gòu)建適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型，通過(guò)邏輯推理等理性分析得出相關(guān)性、線性關(guān)系、獨(dú)立性等在統(tǒng)計(jì)上正確的結(jié)論。

其中“2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)”這節(jié)內(nèi)容主要解決“如何利用取自兩類變量的樣本來(lái)判斷它們是否相互獨(dú)立”的問(wèn)題，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容的難點(diǎn)。圍繞這一問(wèn)題，本節(jié)課主要通過(guò)學(xué)生先行的自主數(shù)據(jù)處理和分析，得出初步推斷及再思考，到使用統(tǒng)計(jì)量科學(xué)地檢驗(yàn)獨(dú)立性這一學(xué)習(xí)路徑，在情境問(wèn)題的導(dǎo)向下，開(kāi)展體驗(yàn)式學(xué)習(xí)。

1.通過(guò)數(shù)據(jù)處理，學(xué)生自主分析，得出初步推斷

以“吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病間關(guān)系”的具體案例引入，教師以文字?jǐn)⑹鲂问浇o出“339名50歲以上公民的吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的具體數(shù)據(jù)”，啟發(fā)學(xué)生自己用簡(jiǎn)潔的方式來(lái)呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律。學(xué)生在日常生活實(shí)踐中對(duì)于列出一個(gè)橫向和縱向不同項(xiàng)目的四格表，來(lái)清楚地呈現(xiàn)事實(shí)的方法應(yīng)當(dāng)是不陌生的，因此對(duì)于以“是否吸煙”和“是否患慢性氣管炎”兩種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，并體現(xiàn)了變量間交織的關(guān)系的數(shù)據(jù)，能很快自主列出這樣一個(gè)能體現(xiàn)兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，即2×2列聯(lián)表（見(jiàn)表1）。

表1 2×2列聯(lián)表

根據(jù)羅列的這張表格，學(xué)生發(fā)現(xiàn)2×2列聯(lián)表雖能實(shí)現(xiàn)清晰地呈現(xiàn)事實(shí)，但是較難直接解釋這些事實(shí)，需要進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得出相關(guān)推斷。學(xué)生之前已有相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)想到去計(jì)算各類個(gè)體在總體中的百分比，研究各類個(gè)體在總體中的分布，因此得到了分布表（見(jiàn)表2）或者條形統(tǒng)計(jì)圖（見(jiàn)圖1）。

表2 分布表

圖1 條形統(tǒng)計(jì)圖

接著，學(xué)生通過(guò)直觀地比較數(shù)據(jù)的差異，能夠得出“吸煙者患慢性氣管炎的可能性更大”這個(gè)推斷。學(xué)生們對(duì)于這樣一個(gè)解釋事實(shí)數(shù)據(jù)、探索兩個(gè)變量之間是否相關(guān)的過(guò)程也是比較熟悉的?？梢哉f(shuō)，學(xué)生有自己的一些非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識(shí)、生活中積累的常識(shí)性知識(shí)和已經(jīng)具有的但未經(jīng)訓(xùn)練和不那么嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體驗(yàn)［1］，而這樣的一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程充分利用和發(fā)揮了學(xué)生各自的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，盡量使學(xué)生充分地體驗(yàn)情境，通過(guò)啟發(fā)和互動(dòng)，讓探究過(guò)程由學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)和積累以及逐步深入研究的自發(fā)原動(dòng)力來(lái)推進(jìn)，而不是教師的直接講解和提問(wèn)。

2.教師質(zhì)疑追問(wèn)，直擊核心問(wèn)題，探索研究策略

由于學(xué)生受到自身知識(shí)框架和現(xiàn)有認(rèn)識(shí)水平的限制，可能會(huì)以“計(jì)算數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)吸煙者較不吸煙者中有更高比例的人患慢性氣管炎，且兩者比例相差較大”，就直接給出“慢性氣管炎患病與吸煙有關(guān)系”的結(jié)論。此時(shí)教師質(zhì)疑追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考這一結(jié)論的得出是否有些主觀武斷？能否以更客觀的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)性。然后，直擊本節(jié)最為關(guān)鍵的核心問(wèn)題，即“這一推斷是否具有統(tǒng)計(jì)意義，有多大把握認(rèn)為慢性氣管炎患病與吸煙有關(guān)”。

接著教師引導(dǎo)學(xué)生回憶之前學(xué)習(xí)過(guò)的反證法的證明思路，進(jìn)行類比，向?qū)W生闡述“要檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量是否有關(guān)系，統(tǒng)計(jì)上一般先假設(shè)它們沒(méi)有關(guān)系（原假設(shè)），再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)”的原則。如果“原假設(shè)”成立，那么如何進(jìn)行計(jì)算和處理，可以在數(shù)據(jù)層面上表征出“慢性氣管炎患病與吸煙沒(méi)有關(guān)系”這一假設(shè)？此時(shí)學(xué)生容易想到：可以通過(guò)去計(jì)算完全按人數(shù)等比例分配時(shí)得到的預(yù)期結(jié)果（見(jiàn)表3），來(lái)體現(xiàn)這兩個(gè)隨機(jī)變量之間沒(méi)有任何相關(guān)或者因果關(guān)系的假設(shè)。

表3 預(yù)期結(jié)果

3.從定性到定量，理解科學(xué)判斷獨(dú)立性的方法

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)真實(shí)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（即觀察值）和原假設(shè)成立條件下計(jì)算得到的數(shù)據(jù)（即預(yù)期值）間存在差異，深入探究，引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)偏差的存在即說(shuō)明這兩個(gè)隨機(jī)變量之間還是存在一些相關(guān)性。

在下一步的定量研究之前，給予學(xué)生空間先談一談定性的理解：觀察值和預(yù)期值之間的差異越大，說(shuō)明原假設(shè)越不合理，即兩個(gè)隨機(jī)變量間的相關(guān)性越大。如此，引入“卡方統(tǒng)計(jì)量”來(lái)描述觀察值與預(yù)期值之間的總體偏差也就水到渠成了。

最后，通過(guò)查“卡方分布概率表”中P（χ2≥6.635）≈0.01，得出原假設(shè)（小概率事件）不太可能發(fā)生，因此可以拒絕原假設(shè)，得出“慢性氣管炎患病與吸煙有關(guān)系”的結(jié)論。

整堂課，在教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程中，筆者努力構(gòu)建一個(gè)體驗(yàn)式的課堂，讓教師的講解 “淡出”，只在核心問(wèn)題的提出環(huán)節(jié)以及研究的策略方向上給出一定的引導(dǎo)和講解，意圖以情境中的問(wèn)題誘導(dǎo)學(xué)生逐步地去深入探究，從而自發(fā)地推進(jìn)課堂的節(jié)奏。

三、教學(xué)反思

（一）滲透數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

本節(jié)課通過(guò)一個(gè)具體的生活化素材，以學(xué)生所能夠理解和接受的方式向?qū)W生滲透了“假設(shè)檢驗(yàn)”的核心思想。課始，學(xué)生自主利用已有的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，在不斷推進(jìn)的任務(wù)中逐步理解“檢驗(yàn)總體中兩個(gè)分類變量間是否獨(dú)立”的方法。課中，在獨(dú)立性檢驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能運(yùn)用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的反證法，通過(guò)類比明白零假設(shè)中“假設(shè)兩者無(wú)關(guān)”的原理，自行感悟“概率反證法”這一假設(shè)檢驗(yàn)的核心思想，即用“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生”這一原理去找“矛盾”，從而決定是否拒絕原假設(shè)，接受備選假設(shè)。或許，這一概率反證法的思想本質(zhì)對(duì)于學(xué)生而言，他們不一定能抽象完整地去進(jìn)行表達(dá)，但是在生活實(shí)踐和邏輯思考的過(guò)程中，學(xué)生其實(shí)已經(jīng)不知不覺(jué)地去使用了。學(xué)生不只是模仿和接受教師的策略和思維模式，他們會(huì)用自己經(jīng)驗(yàn)中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去過(guò)濾和解釋新信息，以致同化它［2］。學(xué)生的理解只能由學(xué)生自己去進(jìn)行，發(fā)現(xiàn)教師所呈現(xiàn)的信息和他們已有的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，而且要通過(guò)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行分析、檢驗(yàn)和批判這一過(guò)程才能真正做到理解。

（二）合理分析決策，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維

概率起源于對(duì)生活中存在的隨機(jī)現(xiàn)象的研究，為人們從不確定性的角度去認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法。統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)學(xué)分析。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)對(duì)于結(jié)論可靠性的進(jìn)一步討論，體會(huì)到取自總體的樣本具有隨機(jī)性，因而可能導(dǎo)致判斷的結(jié)果不適用于整體。由頻率穩(wěn)定于概率的原理，當(dāng)樣本總數(shù)越大時(shí)，出錯(cuò)的可能性越低。這一思考過(guò)程有助于學(xué)生感悟在實(shí)際生活中進(jìn)行科學(xué)決策的必要性和可能性，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維之間的差異。

（三）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)科志趣

本節(jié)課以“從定性到定量”的路徑引入了卡方統(tǒng)計(jì)量，但尚未深究卡方統(tǒng)計(jì)量的合理性，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)高中學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)這樣的新知識(shí)有著積極向上的態(tài)度，始終充滿好奇，且具有一定的思辨能力。因此，不妨給予學(xué)生更多的探究空間，對(duì)于卡方統(tǒng)計(jì)量公式的構(gòu)造進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其與獨(dú)立性假設(shè)中期望頻數(shù)之間的聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)于在大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣和期待，培養(yǎng)學(xué)科志趣，并幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)方法過(guò)渡和知識(shí)遷移的習(xí)慣。

弗賴登塔爾這樣說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)思想如當(dāng)初剛被發(fā)現(xiàn)時(shí)那樣發(fā)表出來(lái)。一旦問(wèn)題解決了，思考的程序便顛倒過(guò)來(lái)，把火熱的思考變成冰冷的美麗?！庇袝r(shí)，教材上陳述的數(shù)學(xué)過(guò)程是一種嚴(yán)密的學(xué)術(shù)形態(tài)。作為數(shù)學(xué)教師，我們要善于構(gòu)建合適的學(xué)習(xí)模式，使之呈現(xiàn)出學(xué)生容易接受的教育形態(tài)，從而使冰冷的美麗升華為火熱的思考［3］。