劉振宇，張二亮

（鄭州大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

由于結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)，現(xiàn)代機(jī)械裝備中平板類結(jié)構(gòu)應(yīng)用廣泛，但它們在服役過程中容易受激振動并產(chǎn)生噪聲。通過將平板類結(jié)構(gòu)表面振速可視化，便于揭示結(jié)構(gòu)的振動噪聲的產(chǎn)生與輻射機(jī)理，這對平板類機(jī)械零件的優(yōu)化設(shè)計(jì)和振動控制具有重要指導(dǎo)意義。

傳統(tǒng)接觸式表面測量振動的方法快捷精確，例如采用加速度計(jì)測量，但此類方法容易導(dǎo)致因加速度計(jì)自身的質(zhì)量而使其附著的平板動力學(xué)固有性質(zhì)被改變的問題。非接觸式的測量方法能夠避免這類問題，例如利用光學(xué)儀器進(jìn)行測量，諸如數(shù)字圖像相關(guān)法[1]或激光多普勒法[2]。近年來，利用麥克風(fēng)陣列聲學(xué)測量來重構(gòu)表面振速的方法引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，作為一類實(shí)用的非接觸式測量方法，逐漸發(fā)展起來。

利用聲學(xué)測量來回溯聲源的方法目前有如下幾類：基于空間傅里葉變換的近場聲全息法通過測量聲源面近場的聲壓，利用二維空間傅里葉變換將聲壓信息轉(zhuǎn)換到波數(shù)域，然后通過傳遞算子傳遞相關(guān)信息到重建面，最后再經(jīng)過逆傅里葉變換獲得重建面上的振速[3]。基于邊界元的方法通過建立聲源面和全息面以及預(yù)測面之間的振聲傳遞矩陣，利用奇異值分解對該矩陣求逆，并結(jié)合測得的聲壓數(shù)據(jù)來重建聲源表面的振速，該方法適用于不規(guī)則的聲源面，但計(jì)算效率和精度均受許多限制[4]。等效源法通過有限數(shù)量虛擬等效源的聲場疊加來替代振動體的輻射聲場，通過匹配振動體表面的法向振速得到虛擬源的強(qiáng)度[5-6]。基于貝葉斯的聲源重建方法能充分融合先驗(yàn)信息，基于邊際似然最大化實(shí)現(xiàn)正則化參數(shù)的尋優(yōu)，實(shí)現(xiàn)了先驗(yàn)信息和似然函數(shù)（數(shù)據(jù)信息）的最佳匹配，能夠較高精度地重構(gòu)聲源表面振速[7-8]。

經(jīng)過技術(shù)不斷地探索與發(fā)展，文獻(xiàn)[9]開發(fā)了實(shí)時(shí)近場聲全息技術(shù)，利用在時(shí)間-波數(shù)域中格林函數(shù)的采樣來連續(xù)地計(jì)算聲壓場。文獻(xiàn)[10]改進(jìn)了實(shí)時(shí)近場聲全息技術(shù)，實(shí)現(xiàn)平板表面法向振速的重構(gòu)。文獻(xiàn)[11]利用聲壓與質(zhì)點(diǎn)法向速度之間的聯(lián)系改進(jìn)了時(shí)空域近場聲全息技術(shù)，實(shí)現(xiàn)平板表面瞬時(shí)法向振速的重構(gòu)。文獻(xiàn)[12]在貝葉斯方法的基礎(chǔ)上利用循環(huán)維納濾波器對循環(huán)平穩(wěn)聲源的表面振速進(jìn)行重構(gòu)。文獻(xiàn)[13]對于稀疏聲源的表面重構(gòu)問題提出了一種迭代貝葉斯聚焦法。文獻(xiàn)[14]針對聲源重構(gòu)技術(shù)中麥克風(fēng)陣列位置的布局給出了一種優(yōu)化方法。

基于近場聲壓測試數(shù)據(jù)，應(yīng)用貝葉斯方法研究平板類結(jié)構(gòu)表面振速的測量問題，首先概述了利用麥克風(fēng)陣列進(jìn)行聲學(xué)測量的方法，然后給出了貝葉斯方法重構(gòu)聲源的具體過程和關(guān)鍵步驟，最后通過簡支平板的振動噪聲仿真和自由平板的噪聲測試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提出方法的有效性。

2 表面法向振速重構(gòu)的貝葉斯方法

2.1 麥克風(fēng)陣列聲學(xué)測量

通過麥克風(fēng)陣列對平板進(jìn)行聲學(xué)測量的方法，如圖1所示。假設(shè)聲源是聲源面S上的感興趣區(qū)域，p(ri)是M個(gè)麥克風(fēng)傳感器在不同的位置ri，i=1，...，M處測量的聲壓數(shù)據(jù)。針對特定頻率ω，麥克風(fēng)陣列測得的聲壓數(shù)據(jù)p(ri)與待重構(gòu)的聲源（法向振速）v(r)之間的機(jī)理模型為：

圖1 麥克風(fēng)陣列聲學(xué)測量Fig.1 Acoustic Measurement by Microphone Array

式中：G(ri|r)—聲源面S上的不同位置r與麥克風(fēng)的位置ri之間的振速-聲壓轉(zhuǎn)換和格林函數(shù)；n(ri)—測量噪聲。在文中，為保持符號的簡潔，頻率變量ω不再標(biāo)出。聲源重建即通過聲壓數(shù)據(jù)p(ri)的測量，回溯聲源面法向振速v(r)的分布。一般情況下，聲源可表示為：

式中：cl—由傳感器測量的聲壓數(shù)據(jù)所決定的系數(shù)；?l—獨(dú)立于測量數(shù)據(jù)的空間基函數(shù)，用于聲源空間分布的插值。估計(jì)振速v(r) 的問題歸結(jié)為尋找插值基函數(shù)?和聲壓數(shù)據(jù)中所包含的系數(shù)c的問題。

用p∈CM×1表示所有位置ri處的聲壓數(shù)據(jù)，系數(shù)c∈Cl×1和測量噪聲n∈CM×1的第i個(gè)元素分別為ci和n(ri)。式（1）的矩陣形式為：

其中，G的元素可表示為：

利用傳感器測得的聲壓數(shù)據(jù)重構(gòu)出聲源v(r)，r∈S涉及到傳播算子G的偽逆，重構(gòu)結(jié)果往往是不適定的，存在不唯一性和不穩(wěn)定性，需要正則化策略以獲得滿意的反演結(jié)果。

2.2 貝葉斯方法

本工作應(yīng)用貝葉斯聲源反演方法[7]，研究平板結(jié)構(gòu)的法向振速重構(gòu)。如上所述，用Φ和c來表示插值基函數(shù)和系數(shù)，法向振速分布表示為v(c，Φ) 。貝葉斯方法的思想是將聲壓數(shù)據(jù)下的振速分布視為通過c和Φ參數(shù)化的隨機(jī)場[v(c，Φ)|p（]其中［］表示隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)）。通過后驗(yàn)概率分布[v(c，Φ)|p]的最大化，獲得最優(yōu)參數(shù)

基于貝葉斯公式，后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以表示為：

式中：∝—正比例；[p|v(c，Φ)]—似然函數(shù)，表示在給定一個(gè)振速分布v(c，Φ)下觀察到測量聲壓數(shù)據(jù)p的概率；[v(c，Φ)]—先驗(yàn)概率分布，表征關(guān)于振速分布的所有先驗(yàn)信息（物理信息，專家知識等）。

根據(jù)中心極限定理，測量噪聲n在頻域內(nèi)服從循環(huán)復(fù)高斯分布，即[n]=CN(0，λ2IM)，其中λ2代表噪聲的平均功率，IM是M×M單位陣。那么測量聲壓的概率密度函數(shù)（似然函數(shù)）為：

假設(shè)先驗(yàn)概率密度函數(shù)[v(c，Φ)]也服從循環(huán)復(fù)高斯分布，即[v(c，Φ)]=CN(0，γ2IM)，其中，γ2—聲源的平均功率；Iv—單位矩陣。此時(shí)法向振速的空間協(xié)方差函數(shù)定義為：

孔徑函數(shù)的作用是通過獲取振速（聲源）的先驗(yàn)空間位置信息，限定平板結(jié)構(gòu)振速重構(gòu)的區(qū)域，其原理，如圖2所示。結(jié)合空間位置先驗(yàn)信息，振速的先驗(yàn)概率分布可以表示為：

圖2 孔徑函數(shù) 的概念解釋Fig.2 The Explanation of Aperture Function

將似然函數(shù)和先驗(yàn)概率分布代入貝葉斯式（6），得到后驗(yàn)概率密度函數(shù)，對其取負(fù)對數(shù)，得：

將平板表面均勻劃分N個(gè)單元，那么相應(yīng)得到格林函數(shù)G∈CM×N。對格林函數(shù)進(jìn)行奇異值分解，G=USVH，得到參數(shù)和L：

最后，振速的反演結(jié)果為：

式中：η2—正則化因子，η2=λ2/γ2。η2的最優(yōu)值可以通過邊際似然最大化來獲得。也就是：

式中：yl=UH p；sl—S對角陣上的元素。

3 仿真算例

3.1 仿真方案

仿真用的矩形簡支平板（1×1）m，厚度h=0.002m，彈性模量E=2×1011Pa，密度ρ=7800kg/m2，泊松比μ=0.3，平板的瑞利阻尼系數(shù)α和β分別為10-2和10-4。聲源傳播介質(zhì)為空氣，聲速c=340m/s。使用的麥克風(fēng)陣列為直徑1m的圓形支架，傳感器位置的隨機(jī)分布參，如圖1所示。

平板與傳感器所在平面之間距離z=0.2m。采用隨機(jī)激勵，且作用于平板中心。通過ANSYS軟件計(jì)算簡支平板的固有頻率與模態(tài)振型數(shù)據(jù)，然后利用模態(tài)疊加法得到平板表面的時(shí)域速度和加速度響應(yīng)。將平板表面的時(shí)域速度數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換得到頻域內(nèi)平板的理論表面振速。

設(shè)置仿真中采樣頻率為2048Hz，采樣時(shí)間為40s?；趥鞲衅髋c平板在聲場中的空間位置信息以及平板表面的加速度響應(yīng)，利用時(shí)域瑞利積分生成聲場內(nèi)所有傳感器位置處的仿真聲壓信號。這些聲壓數(shù)據(jù)用于法向振速的貝葉斯重構(gòu)。本例選擇孔徑函數(shù)為邊長1m的矩形，以（1～1000）Hz為關(guān)心頻帶，重構(gòu)平板的表面振速。

3.2 仿真結(jié)果

以平板中心位置為參考點(diǎn)，分析重構(gòu)的表面振速與理論值之間的差異，其對比結(jié)果，如圖3所示。

圖3表明，貝葉斯重構(gòu)的表面振速和理論表面振速在整個(gè)頻帶內(nèi)幅值接近，相對誤差較小。平板的理論表面振速在86Hz處的分布，如圖4所示。該頻率下重構(gòu)的表面振速，如圖5所示。可以看出二者吻合很好。

圖3 平板表面振速的理論值與重構(gòu)值Fig.3 Theoretical Value and Reconstructed Value

圖4 平板的理論表面振速分布Fig.4 Theoretical Surface Velocity Distribution

圖5 平板的重構(gòu)表面振速分布Fig.5 Reconstructed Surface Velocity Distribution

4 噪聲測試實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)方案

為進(jìn)一步驗(yàn)證貝葉斯方法重構(gòu)平板表面振速的精度，開展了自由平板振動噪聲實(shí)驗(yàn)。矩形平板尺寸為（0.4×0.4）m，厚度為0.003m，利用橡皮筋懸掛模擬自由邊界條件，如圖6所示。實(shí)驗(yàn)中所用的陣列支架與仿真算例相同。

圖6 激振平板信號采集實(shí)驗(yàn)Fig.6 Signal Acquisition Experiment

激振器與平板的中心連接，進(jìn)行單點(diǎn)隨機(jī)激振。平板與傳感器所在的平面平行且距離z=1m，采樣頻率為8192Hz，采樣時(shí)間為300s。在貝葉斯算法中，選擇孔徑函數(shù)為邊長0.25m 的矩形。實(shí)驗(yàn)室的環(huán)境峰值噪聲約為50dB。

在矩形平板的不同位置安裝加速度傳感器，這些傳感器記錄的加速度數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)值積分得到速度數(shù)據(jù)，用于驗(yàn)證算法的重構(gòu)精度。

4.2 重構(gòu)結(jié)果

將實(shí)驗(yàn)采集的聲壓數(shù)據(jù)應(yīng)用于貝葉斯方法，得到（0～700）Hz頻帶內(nèi)平板的表面振速。其中430Hz處的重構(gòu)的平板表面振速分布相對于陣列支架的位置，如圖7所示。與實(shí)際空間位置吻合。

圖7 重構(gòu)表面振速分布（430Hz）Fig.7 Reconstructed Surface Velocity Distribution

以平板的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取平板上位置為（0.05m，-0.1m）的加速度傳感器的數(shù)據(jù)為參考，積分得到振速數(shù)據(jù)，再通過快速傅里葉變換得到表面振速的測量值。將之與相同位置處的重構(gòu)表面振速進(jìn)行對比，如圖8所示?？梢姡桨宓恼駝釉肼暅y試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文采用貝葉斯振速重構(gòu)算法的有效性。

圖8 平板的重構(gòu)表面振速與實(shí)測表面振速Fig.8 Reconstructed Surface Velocity and Measured Surface Velocity of Plate

5 結(jié)論

利用了平板類結(jié)構(gòu)近場輻射的聲壓數(shù)據(jù)，開展了基于貝葉斯方法的表面振速重構(gòu)應(yīng)用研究。仿真和噪聲實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，近場貝葉斯聲全息方法是重構(gòu)平板類結(jié)構(gòu)表面法向振速的有效方法。這將為平板類結(jié)構(gòu)的非接觸式振動測試提供新手段，對于開展輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的振動噪聲控制和優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。