陳益群，劉利琴，羅 超，吳志強(qiáng)，胡文韜

(1.天津大學(xué)a.建筑工程學(xué)院;b.機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2.海洋石油工程股份有限公司，天津 300461)

0 引 言

隨著海洋資源的開發(fā)走向深水海域，越來越多的深水導(dǎo)管架平臺(tái)投入使用。由于長期承受波浪、風(fēng)、流、地震等環(huán)境載荷的作用，不可避免地會(huì)引起導(dǎo)管架平臺(tái)系統(tǒng)的振動(dòng)問題。特別是深水導(dǎo)管架平臺(tái)的剛度較小，低階自振頻率會(huì)落入波浪能量主要頻率范圍，產(chǎn)生較為劇烈的振動(dòng)[1]。這不但會(huì)損壞平臺(tái)的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，還會(huì)對在平臺(tái)上進(jìn)行施工的人員身心健康與工作能力產(chǎn)生很大影響。因此開展波浪激勵(lì)下海洋平臺(tái)的減振研究，對平臺(tái)安全非常重要。

國內(nèi)外學(xué)者對導(dǎo)管架平臺(tái)的振動(dòng)問題開展了一系列研究：孫樹民[2]通過在獨(dú)樁平臺(tái)上附加質(zhì)量調(diào)制阻尼器（TMD）進(jìn)行了波浪激勵(lì)和地震激勵(lì)下的減振分析，結(jié)果表明，TMD對波浪激勵(lì)作用下獨(dú)樁平臺(tái)的減振非常有效；Patil[3]在導(dǎo)管架平臺(tái)上安裝粘彈性摩擦阻尼器，增加了原結(jié)構(gòu)的粘性阻尼和橫向剛度，從而極大降低了海洋平臺(tái)的振動(dòng)響應(yīng)；李寧[4]運(yùn)用LQG 控制算法來對海洋平臺(tái)進(jìn)行磁流變阻尼器半主動(dòng)振動(dòng)控制和魯棒性研究，結(jié)果表明，雖然半主動(dòng)控制和主動(dòng)控制下的TMD 對平臺(tái)均具有十分良好的減振效果，但有源控制需要傳感器、外部能源等設(shè)備，比被動(dòng)控制減振要求更為復(fù)雜，而且被動(dòng)控制理論設(shè)計(jì)更為簡易，更適合在工程領(lǐng)域中使用。

傳統(tǒng)的TMD 線性吸振器減振頻帶較窄，在偏離減振頻帶時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)放大現(xiàn)象[5]?；诖?，人們研究了非線性吸振器（NVA），這是一種減振頻帶寬、魯棒性能好的減振裝置。一般來說，使用同等質(zhì)量的線性吸振器與非線性吸振器進(jìn)行減振分析，非線性吸振器往往會(huì)有更好的減振效果[6]。非線性的形式多樣，許多學(xué)者采用了純立方剛度的非線性吸振器作為研究對象，在面對沖擊載荷的情況下，滿足一定的立方剛度條件時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)能量不可逆?zhèn)鬟f（TET）現(xiàn)象[7]。受簡諧激勵(lì)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一種特殊的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)（SMR）[8-9]。出現(xiàn)TET 和SMR 的情況下，主系統(tǒng)中的大部分能量會(huì)傳遞到非線性吸振器中，通過阻尼元件進(jìn)行耗散，從而實(shí)現(xiàn)減振的效果。對于NVA 的解析分析，目前多采用復(fù)變量平均法[10]。Luongo 和Zulli[11]采用了多尺度法混合諧波平衡法對方程進(jìn)行解析求解，這種方法不需要進(jìn)行復(fù)變量替換，參數(shù)的物理意義更加清晰。

本文基于非線性吸振器（NVA）對深水導(dǎo)管架平臺(tái)的波激振動(dòng)進(jìn)行減振研究。采用多尺度混合諧波平衡法[11]對動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行解析求解，分析結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與非線性特性，并基于振動(dòng)傳遞率[12]對非線性吸振器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

1 平臺(tái)減振動(dòng)力學(xué)建模

波浪作用下海洋平臺(tái)的第一階模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)占據(jù)整個(gè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的主要部分[13]，且一階頻率更加接近波浪頻率。為了簡化計(jì)算，突出結(jié)構(gòu)的主要振動(dòng)特性，考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)為單自由度（以下稱為主系統(tǒng)），吸振器為附加的一個(gè)含有非線性立方剛度的振子（以下稱為子系統(tǒng)），如圖1所示，并寫出兩自由度運(yùn)動(dòng)方程：

圖1 海洋平臺(tái)減振模型Fig.1 Offshore platform vibration control model

式中：m1為平臺(tái)的一階模態(tài)質(zhì)量；m2為NVA 的質(zhì)量；c1和c2分別為海洋平臺(tái)和吸振器的阻尼；k1為平臺(tái)剛度；k2為吸振器的立方剛度；x1、x?1、x?1分別為主系統(tǒng)水平位移、速度、加速度；x2、x?2、x?2分別為附加的子系統(tǒng)水平位移、速度、加速度。平臺(tái)受到的波浪載荷處理為規(guī)則波fcos(Ωt)。

導(dǎo)管架平臺(tái)的樁腿直徑相對于波浪波長一般小于0.2，目前主要使用莫里森公式計(jì)算作用于樁腿上的波浪力。單位長度上樁腿水平受載為

式中：ρ為海水密度；Cd為拖曳力系數(shù)；Cm為慣性力系數(shù)；D為特征長度，這里為樁腿的直徑；u為某高度水質(zhì)點(diǎn)的水平速度；u?為某高度水質(zhì)點(diǎn)的水平加速度。u和u?由AIRY波理論得到。

2 運(yùn)動(dòng)方程解析分析

2.1 基于多尺度混合諧波平衡法的運(yùn)動(dòng)方程求解

為了簡化推導(dǎo)過程，進(jìn)行以下變量替換：

式中，z為主系統(tǒng)和子系統(tǒng)的相對位移。子系統(tǒng)質(zhì)量相對主系統(tǒng)來說較小，為了使用多尺度混合諧波平衡法對方程求解，引入小量ε?1對一些變量進(jìn)行重新標(biāo)度，變量替換之后的運(yùn)動(dòng)方程為

引入?yún)f(xié)調(diào)因子σ，表示外激勵(lì)頻率接近平臺(tái)一階固有頻率的程度，Ω=ω+εσ。設(shè)解為

式中，t0=t，t1=εt，并引入

式中，cc為共軛復(fù)數(shù)。A是變量t1的待定復(fù)函數(shù)，z11通過諧波平衡法設(shè)解：

其中，B1是變量t1的待定復(fù)函數(shù)。將式（11）～（12）代入式（8）中，消去永年項(xiàng)，得到的一階攝動(dòng)解的關(guān)系可以表示系統(tǒng)的慢不變流形方程，如式（13）所示：

式（13）得到了系統(tǒng)的不變流形方程，表示主系統(tǒng)和非線性吸振器的振幅關(guān)系。

把式（11）、（12）代入式（7），消去永年項(xiàng)，得到第一個(gè)可解性條件為

為了進(jìn)一步分析二階攝動(dòng)，需要對式（10）作進(jìn)一步分析。將式（11）、（12）、（14）代入式（7），求得x12，其中z12再由諧波平衡法來設(shè)解，得到：

將式（12）、（15）代入式（10）中，消除永年項(xiàng)后得到的解表達(dá)式與式（13）進(jìn)行B=B1+εB2重組，得到第二個(gè)可解性條件為

將式（17）代入式（14）、（16）中，分離實(shí)虛部，得到關(guān)于a、b、α、β的四個(gè)方程和解的形式，如式（18）所示：

由式（18）數(shù)值求解a、b、α、β四個(gè)變量，最終求得系統(tǒng)的一階攝動(dòng)解為

2.2 幅頻響應(yīng)曲線

上一節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果可以得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)時(shí)程圖，進(jìn)一步求解幅頻響應(yīng)曲線，可以更加全面地觀察振動(dòng)響應(yīng)特性。

考慮式（19）當(dāng)a?=0，b?=0，γ?1=0，γ?2=0時(shí)，可以得到系統(tǒng)的平衡解，推導(dǎo)出以下由γ1和γ2表示的方程：

通過三角函數(shù)的關(guān)系可以將式（21）中的γ1和γ2消去，可以得到兩個(gè)含有a、b、σ的方程，再進(jìn)行代換消去a，可以得到只含有b和σ的非線性方程。求解方程則可以得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。具體b和σ的表達(dá)式可參考附錄A。

2.3 平衡解穩(wěn)定性分析

同樣，當(dāng)式（18）中a?=0，b?=0，γ?1=0，γ?2=0時(shí)，為了分析平衡解的穩(wěn)定性，需要將式（18）寫成直角坐標(biāo)形式，由式（20）得到

式中，p1=acos(γ2)，q1=asin(γ2)，p2=bcos(γ2-γ1)，q2=bsin(γ2-γ1)，v1=σ，v2=0。將式（23）代入可解性條件式（14）、（16）并分離實(shí)虛部，得到以下四個(gè)表達(dá)式：

寫出式（24）的向量形式，并求其雅克比矩陣，并寫出該雅克比矩陣的特征方程式（25），其中特征方程系數(shù)的表達(dá)式在附錄A中給出。

根據(jù)羅斯霍爾維茲準(zhǔn)則，可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性如下：

（1）當(dāng)δ4=0時(shí)，發(fā)生鞍結(jié)分岔，系統(tǒng)平衡點(diǎn)數(shù)目發(fā)生變化；

（2）當(dāng)δ1δ3＞0，δ1δ2δ3-δ32-δ12δ4=0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。

3 算例和結(jié)果分析

3.1 平臺(tái)減振結(jié)果分析

本文算例參數(shù)[14]有：深水導(dǎo)管架平臺(tái)，樁腿長度為249 m，水深為218 m，等效樁腿直徑為1.83 m，一階模態(tài)質(zhì)量為7 852 307 kg，一階固有頻率為2.046 rad/s，主結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.02。根據(jù)主結(jié)構(gòu)模型，初步選取非線性吸振器參數(shù)為ρ2=0.02，κ=100，ξ2=0.0034。計(jì)算海況取1.5 m波高、周期為3.07 s。

根據(jù)2.1節(jié)中的求解方法，得到近似解析解的響應(yīng)時(shí)歷曲線，并與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比（數(shù)值解采用四階龍格庫塔方法直接求解方程組（1）），對比結(jié)果如圖2所示。

圖2 響應(yīng)時(shí)間歷程（σ=0）Fig.2 Response time history(σ=0)

圖2（a）表明，平臺(tái)響應(yīng)為非簡諧的概周期運(yùn)動(dòng)，吸振器與平臺(tái)的相對運(yùn)動(dòng)明顯大于平臺(tái)自身的運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，作用于主系統(tǒng)的部分能量轉(zhuǎn)移到了吸振器中，使得平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)減小，從而實(shí)現(xiàn)了減振目的。比較圖2（a）和圖2（b）的結(jié)果表明，數(shù)值解與解析解吻合較好，驗(yàn)證了多尺度混合諧波平衡法求解的有效性。

圖3給出了根據(jù)解析解求出的幅頻響應(yīng)曲線，并根據(jù)2.2節(jié)中的方法判定解的穩(wěn)定性。圖中直線表示穩(wěn)定的周期解，點(diǎn)劃線表示出現(xiàn)了不穩(wěn)定解，其中不穩(wěn)定解包括出現(xiàn)了Hopf分岔與鞍結(jié)分岔。計(jì)算表明，發(fā)生Hopf分岔時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)出現(xiàn)了概周期現(xiàn)象，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值不斷變化。圖3（a）表明，主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線在固有頻率附近向下彎曲，整體表現(xiàn)不穩(wěn)定解，最低幅值為0.005 m左右。

圖3 幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Amplitude-frequency response curve

圖3（b）表明，子系統(tǒng)響應(yīng)在左上角出現(xiàn)了部分區(qū)域響應(yīng)相對較高的平衡解，經(jīng)分析，為協(xié)調(diào)因子σ=[-0.18，-0.072]時(shí)出現(xiàn)了多解，具體解的情況受初始條件影響。圖3（b）共振區(qū)域運(yùn)動(dòng)響應(yīng)明顯放大，同向表現(xiàn)為不穩(wěn)定解。因此，這時(shí)在共振區(qū)域附近，大部分能量轉(zhuǎn)移到了非線性吸振器上，使得平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)幅值減小。以下通過數(shù)值方法計(jì)算不同初始條件下的響應(yīng)，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同初值的主子系統(tǒng)相對位移時(shí)程響應(yīng)（σ=-0.1）Fig.4 Time history response at different initial values

圖4表明，在初始位移較小時(shí)，平衡點(diǎn)幅值在0.006 m 附近，如圖4（a）所示；初始位移較大時(shí)，平衡點(diǎn)的幅值在0.035 m左右。根據(jù)圖3（a），在這個(gè)多解范圍內(nèi)，主系統(tǒng)位移幅值會(huì)偏大一些，然而整體仍小于0.011 m。在發(fā)生這類鞍結(jié)分岔時(shí)需要格外注意，可能會(huì)發(fā)生跳躍現(xiàn)象使得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)放大，非線性吸振器反而增大了系統(tǒng)振動(dòng)幅值。

3.2 平臺(tái)減振系統(tǒng)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)機(jī)理

平衡解穩(wěn)定性分析表明，系統(tǒng)響應(yīng)可能發(fā)生類似概周期的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)。因此分析其特有的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)對認(rèn)識(shí)基于非線性吸振器的海洋平臺(tái)減振效果有重要意義。將式（17）代入式（13），分離實(shí)虛部，得到不變流形的具體方程為

根據(jù)式（26）可得到慢不變流形，如圖5所示。

圖5反映了系統(tǒng)中a、b的變化關(guān)系，可以看到不變流形含有穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩個(gè)部分。當(dāng)系統(tǒng)沿著慢不變流形運(yùn)動(dòng)到達(dá)N1點(diǎn)時(shí)，發(fā)生跳躍至Nu點(diǎn)；接著系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)沿著不變流形向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)N2點(diǎn)時(shí)，又會(huì)跳躍到Nd點(diǎn)，繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，形成一個(gè)往復(fù)的跳躍循環(huán)，這就是發(fā)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的機(jī)理。

圖5 慢不變流形Fig.5 Slowly invariant manifold

但是產(chǎn)生這種跳躍現(xiàn)象還需要滿足一定的參數(shù)條件，主要影響參數(shù)包括非線性吸振器本身的參數(shù)和外激勵(lì)幅值的影響。在ρ2=0.02，κ=100，ξ2=0.0034 的參數(shù)下，就發(fā)生了這種強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，如圖2所示。發(fā)生這類強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)時(shí)，外激勵(lì)頻率往往接近結(jié)構(gòu)固有頻率，此時(shí)結(jié)構(gòu)的部分能量會(huì)明顯地傳遞到NES 中，從而減小了主系統(tǒng)的振動(dòng)幅值。

3.3 平臺(tái)減振效果評價(jià)

本節(jié)對平臺(tái)的減振性能進(jìn)行評價(jià)。首先采用振動(dòng)傳遞率的評價(jià)方法，確定非線性吸振器的最優(yōu)參數(shù)，獲得最優(yōu)的非線性吸振器剛度和阻尼。振動(dòng)傳遞率定義為T=RMS(x1)/F，這里F=0.002 54，表示海洋平臺(tái)振動(dòng)有效值與外激勵(lì)幅值的比值[12]。

以下結(jié)合全局搜索的方法，基于振動(dòng)傳遞率的評價(jià)方法對非線性吸振器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。為了考慮到在共振頻率附近的整體減振效果，這里的RMS（x）取σ∈[-0.2 0.2]時(shí)，協(xié)調(diào)參數(shù)σ與數(shù)值掃頻計(jì)算得到的有效值曲線圍成的面積，得到系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率三維圖，如圖6所示。

由圖6 可知，不同的參數(shù)組合下，可以得到不同的減振效果。在較差的參數(shù)組合條件下，最大振動(dòng)傳遞率達(dá)到了24.65；而在較好的參數(shù)組合條件下，最小振動(dòng)傳遞率達(dá)到14.3，最小振動(dòng)傳遞率對應(yīng)的非線性吸振器的剛度κ=279、阻尼ξ2=0.0011。優(yōu)化參數(shù)非線性剛度和阻尼在κ∈[300,600]和ξ2∈[0.012,0.02]范圍內(nèi)變化時(shí)，仍能保持振動(dòng)傳遞率低于17.4的減振效果。

圖6 基于振動(dòng)傳遞率的參數(shù)優(yōu)化圖Fig.6 Parameter optimization diagram based on vibration transmission rate

將得到的優(yōu)化參數(shù)代入式（1），求解得到如圖7所示的幅頻響應(yīng)曲線。優(yōu)化后的參數(shù)幅頻響應(yīng)曲線，在σ=0 時(shí)主系統(tǒng)的振動(dòng)幅值為0.005 6 m，而減振前的振動(dòng)幅值為0.015 m，此時(shí)的減振效果為62.7%，在偏左區(qū)域存在動(dòng)力放大現(xiàn)象，偏右區(qū)域則整體振動(dòng)幅值偏小。此時(shí)主要表現(xiàn)為鞍結(jié)分岔現(xiàn)象，在大范圍內(nèi)出現(xiàn)多解，但共振區(qū)域內(nèi)右側(cè)的減振性能相對參數(shù)優(yōu)化之前有了較好的提升。

圖7 幅頻響應(yīng)曲線Fig.7 Amplitude-frequency response curve

4 結(jié) 論

本文基于非線性吸振原理研究規(guī)則波激勵(lì)下海洋平臺(tái)的被動(dòng)減振，建立了海洋平臺(tái)-非線性吸振器系統(tǒng)兩自由度耦合動(dòng)力學(xué)方程，采用多尺度混合諧波平衡法研究了系統(tǒng)的非線性動(dòng)力特性。主要結(jié)論如下：

（1）附加了非線性吸振器之后深水海洋平臺(tái)系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)鞍結(jié)分岔和Hopf 分岔的現(xiàn)象，具有明顯的非線性。

（2）全局搜索的方法優(yōu)化后，非線性吸振器在共振頻率附近有很好的減振效果。同時(shí)給出了優(yōu)化參數(shù)后的幅頻響應(yīng)曲線，可以很好地觀察到其在整個(gè)頻率變化下的減振性能和非線性特性，更加全面地了解設(shè)計(jì)的非線性吸振器。

（3）非線性吸振器的非線性剛度和阻尼在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，仍可以保持較好的減振性能，相對于線性吸振器而言，具有較好的穩(wěn)定性。在σ=0時(shí)，最優(yōu)減振效果為62.7%。

附錄A：