紀(jì) 歷 馬雪晴 陳震民

1.杭州電子科技大學(xué)信息工程學(xué)院，杭州，311305 2.浙江中源磁懸浮技術(shù)有限公司，杭州，310011

0 引言

磁懸浮高速電機(jī)(本文特指磁懸浮軸承支撐的高速電機(jī))的定轉(zhuǎn)子之間無(wú)接觸、無(wú)摩擦，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速普遍在100 000 r/min以上，可直接與高速原動(dòng)機(jī)或工作機(jī)相連，取消了原有的增速/減速機(jī)構(gòu)，能夠大幅提高設(shè)備效率[1-3]。基于這一關(guān)鍵技術(shù)開發(fā)的磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)、磁懸浮壓縮機(jī)等產(chǎn)品已經(jīng)逐漸成熟，并在工業(yè)應(yīng)用中取得了很好的節(jié)能效果。然而，在一些對(duì)可靠性要求較高的場(chǎng)合，由磁懸浮轉(zhuǎn)子振動(dòng)超限而導(dǎo)致的停機(jī)成為了制約磁懸浮產(chǎn)品推廣的主要瓶頸。

針對(duì)這一問(wèn)題，大量的研究工作著眼于解決由轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量引發(fā)的同頻振動(dòng)[4-8]，如自平衡控制(最小力補(bǔ)償)[9-10]和不平衡補(bǔ)償(最小位移補(bǔ)償)[11-13]。然而，根據(jù)大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，在現(xiàn)場(chǎng)工況中磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動(dòng)情況非常復(fù)雜，并不僅限于同頻振動(dòng)。一個(gè)較為常見的現(xiàn)象是，當(dāng)設(shè)備振動(dòng)超限跳停時(shí)，除了同頻振動(dòng)外，常伴隨與轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)的低頻(50 Hz以下)振動(dòng)。

文獻(xiàn)[14]認(rèn)為低頻振動(dòng)由磁懸浮系統(tǒng)中的非線性引發(fā)，認(rèn)為非線性會(huì)使低頻增益下降，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[15]發(fā)明了一種諧振質(zhì)量阻尼器來(lái)抑制磁懸浮飛輪系統(tǒng)的低頻振動(dòng)。文獻(xiàn)[16]提出利用干擾觀測(cè)器對(duì)轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的低頻振動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和抑制。

目前，有關(guān)磁懸浮轉(zhuǎn)子低頻振動(dòng)的研究較少，并不能很明確地解釋其產(chǎn)生的機(jī)理。本文在已有研究基礎(chǔ)之上，分析了導(dǎo)致轉(zhuǎn)子低頻振動(dòng)的外部激勵(lì)，結(jié)合磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型研究了該低頻振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)理，并提出了基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的振動(dòng)補(bǔ)償策略及穩(wěn)定性判據(jù)方法。通過(guò)仿真與試驗(yàn)對(duì)得出的結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證，為磁懸浮技術(shù)在工業(yè)應(yīng)用中的進(jìn)一步推廣提供了參考。

1 磁懸浮轉(zhuǎn)子低頻振動(dòng)產(chǎn)生機(jī)理

1.1 磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文以磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行研究。經(jīng)典的磁懸浮系統(tǒng)主要由控制器、功率放大器、磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子、位移傳感器四部分組成。其中，控制器是磁懸浮系統(tǒng)的核心，在工業(yè)應(yīng)用中最為成熟的是PID控制器，其數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

式中，KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數(shù)；Tf為不完全微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，用來(lái)濾除信號(hào)中的噪聲，避免微分環(huán)節(jié)過(guò)度放大系統(tǒng)中的噪聲。

磁懸浮功率放大器[17]放大控制信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)勵(lì)磁電流的控制，該環(huán)節(jié)是典型的非線性設(shè)備，其工作過(guò)程會(huì)引入大量的高次諧波。但由于勵(lì)磁線圈及磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身具有較大慣性，高頻諧波電流對(duì)系統(tǒng)影響較小，因此在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)通常將其簡(jiǎn)化為一個(gè)線性的增益KA。

磁懸浮轉(zhuǎn)子是系統(tǒng)中的被控對(duì)象，可根據(jù)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出懸浮力與勵(lì)磁電流及轉(zhuǎn)子位移間的關(guān)系，從而得到其數(shù)學(xué)模型。由于電磁力的非線性及結(jié)構(gòu)上的耦合，磁懸浮轉(zhuǎn)子是一個(gè)高階的非線性系統(tǒng)，但對(duì)于剛性轉(zhuǎn)子通常將其簡(jiǎn)化為一個(gè)SISO的線性模型，如下：

(2)

式中，m為轉(zhuǎn)子單端的等效質(zhì)量；Ki為電流剛度；Kx為位移剛度。

轉(zhuǎn)子的振動(dòng)量由傳感器檢測(cè)并轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)用于反饋控制，該環(huán)節(jié)用增益KS來(lái)表示，通常情況下傳感器及其檢測(cè)電路帶有低通濾波器，可以由一個(gè)串聯(lián)的一階慣性環(huán)節(jié)來(lái)描述。

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作時(shí)受到的外部激勵(lì)主要來(lái)自轉(zhuǎn)子的不平衡力，其形式表現(xiàn)為一個(gè)與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的力矢量：

(3)

式中，ep為轉(zhuǎn)子偏心距(質(zhì)心到形心的距離)；Δd為形心到旋轉(zhuǎn)中心的距離，即動(dòng)態(tài)偏心量；ωr為轉(zhuǎn)子角速度。

此外，系統(tǒng)工作時(shí)不可避免地受噪聲的影響，如數(shù)字系統(tǒng)A/D轉(zhuǎn)換中引入的白噪聲、功率放大器引入的開關(guān)噪聲以及位移傳感器調(diào)理電路引入的相關(guān)噪聲，這些噪聲將在微分控制器的作用下被放大，從而對(duì)系統(tǒng)造成不利的影響。為便于分析，本文將其統(tǒng)一等效為信號(hào)采樣處的白噪聲。

1.2 轉(zhuǎn)子低頻振動(dòng)的仿真分析

在MATLAB中建立上述磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，逐步加入激勵(lì)，得到的仿真結(jié)果如圖1所示。仿真主要參數(shù)如表1所示。

(a)無(wú)激勵(lì)

(b)施加高斯白噪聲

(c)施加不平衡力

(d)施加高斯噪聲和不平衡力圖1 不同激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動(dòng)波形及頻譜特性Fig.1 Vibration waveforms and its spectrum for AMB based rotor with different noise excitation

表1 磁懸浮控制系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 The key parameters of the AMB system

圖1a所示為無(wú)外部激勵(lì)作用時(shí)磁懸浮轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)懸浮的振動(dòng)波形，此時(shí)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)信號(hào)極其微小，但仍可見微弱的低頻振動(dòng)。在轉(zhuǎn)子位移信號(hào)采樣處加入PSD(能量譜密度)高度為0.03的高斯白噪聲，得到轉(zhuǎn)子振動(dòng)波形如圖1b所示，可以看出，在白噪聲的激勵(lì)下，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生了明顯的低頻振動(dòng)，主要頻率成分集中在50 Hz以下，其中30 Hz為頻率的峰值。在仿真模型中施加幅值為400 N、頻率為500 Hz的不平衡力，模擬轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的不平衡振動(dòng)，得到轉(zhuǎn)子的振動(dòng)波形如圖1c所示，此時(shí)轉(zhuǎn)子將產(chǎn)生很大的同頻振動(dòng)，低頻振動(dòng)則非常微小。最后，同時(shí)施加不平衡力與高斯白噪聲，得到的轉(zhuǎn)子振動(dòng)波形如圖1d所示，其中除占主導(dǎo)的同頻500 Hz振動(dòng)外，圖1b中原有的低頻成分也同時(shí)出現(xiàn)。

由圖1可看出，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)中的固有低頻成分與轉(zhuǎn)子受到的不平衡力無(wú)關(guān)，而當(dāng)系統(tǒng)中存在白噪聲時(shí)該低頻振動(dòng)會(huì)明顯增大。

進(jìn)一步研究系統(tǒng)在白噪聲激勵(lì)情況下各環(huán)節(jié)的輸出，如圖2所示。圖2a、2b分別表示系統(tǒng)中控制器環(huán)節(jié)與功率放大器環(huán)節(jié)的頻率特性曲線，圖2c、2d為控制器輸出信號(hào)與功率放大器的輸出電流波形?？梢钥闯?，白噪聲通過(guò)PID控制器后，在中高頻段出現(xiàn)了明顯放大，而由于功率放大器的帶寬限制，輸出控制電流在高頻段幾乎完全衰減，與其傳遞函數(shù)的頻率特性相一致。最后，由于磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子本身具有很大慣性，高頻成分在通過(guò)轉(zhuǎn)子后完全衰減，得到圖1b所示的位移輸出。此外，由圖2c、2d可以看出，圖1中所示的低頻成分在控制器與功放的輸出中都存在，且占據(jù)主導(dǎo)作用。

(a)控制器頻率

(b)功放環(huán)節(jié)頻率

(c)控制器輸出

(d)功放環(huán)節(jié)輸出圖2 磁懸浮系統(tǒng)控制器和功放環(huán)節(jié)的伯德圖及白噪聲激勵(lì)下的輸出波形Fig.2 Bode diagrams for AMB system and its output waveform

將表1中所有相關(guān)參數(shù)代入上述磁懸浮系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算其特征根，得到此時(shí)整個(gè)磁懸浮系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，為一對(duì)共軛復(fù)根-205.37±42.54j，根據(jù)自動(dòng)控制原理的基本理論計(jì)算該磁懸浮系統(tǒng)的固有頻率，為33.38 Hz，與仿真結(jié)果非常接近，因此可以得出如下結(jié)論：磁懸浮轉(zhuǎn)子的低頻振動(dòng)由閉環(huán)控制系統(tǒng)的固有頻率決定，該振動(dòng)會(huì)在噪聲的激勵(lì)下被激發(fā)，減小系統(tǒng)的噪聲可以有效地抑制該低頻振動(dòng)。

2 基于ESO的振動(dòng)補(bǔ)償策略

擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器(extended state observer，ESO)是在原有全階觀測(cè)器的基礎(chǔ)上，將外部干擾及模型中的不確定性作為擾動(dòng)，并將其擴(kuò)展成為一種新的狀態(tài)變量的方法，它不依賴于生成擾動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。對(duì)于n階系統(tǒng)，ESO的基本形式如下：

(4)

(5)

以磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為被控對(duì)象，將式(2)改寫為狀態(tài)方程的形式：

(6)

式中，x1為轉(zhuǎn)子位移量x(t)；u(t)為磁懸浮控制電流i(t)；a=Kx/m；b=Ki/m。

考慮工程實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)便性，將ESO中的非線性函數(shù)簡(jiǎn)化為線性，即gi(e1)=e1，則得出線性ESO的形式如下：

(7)

將模型式(7)與磁懸浮軸承系統(tǒng)狀態(tài)空間方程式(6)作差，并記e1=z1-x1，e2=z2-x2，e3=z3-x3,即可得到誤差方程：

(8)

根據(jù)式(7)可以得到加入ESO的磁懸浮控制系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3 加入ESO的磁懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖Fig.3 The schematic diagram of AMB control system with ESO

當(dāng)前關(guān)于ESO本身收斂性的理論已較為成熟，但是如圖3所示，ESO的加入改變了原有磁懸浮控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，必然導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生改變，需要進(jìn)一步研究。

根據(jù)圖3中控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，將控制器輸出量u改寫為位移量Vx，得

(9)

將式(9)代入式(7)，可使ESO簡(jiǎn)化為一個(gè)SISO系統(tǒng)，推導(dǎo)出其傳遞函數(shù)為

(10)

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程，根據(jù)文獻(xiàn)[18]，將參數(shù)β01、β02、β03配置成β01=3ω，β02=3ω2，β03=ω3的形式，則ESO系統(tǒng)的收斂性及磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系數(shù)ω。代入圖3中所有傳遞函數(shù)及表1中的相關(guān)系數(shù)，以ω為單一變量求取嵌入ESO后磁懸浮閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征根，并繪制出相應(yīng)的主導(dǎo)根軌跡，如圖4所示。可以得出當(dāng)ω>530后，閉環(huán)系統(tǒng)全部特征根均位于左半平面，系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

圖4 加入ESO的磁懸浮閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)根軌跡Fig.4 Root locus of AMB control system with ESO

3 仿真與試驗(yàn)

3.1 仿真分析

在MATLAB/Simulink中建立圖3所示的磁懸浮控制系統(tǒng)，仿真涉及的主要參數(shù)如表1所示。首先驗(yàn)證控制系統(tǒng)對(duì)白噪聲的抑制效果，在穩(wěn)態(tài)懸浮時(shí)加入PSD高度為0.03的白噪聲，當(dāng)ESO的控制增益ω分別為500、600、10 000時(shí)，系統(tǒng)輸出的轉(zhuǎn)子振動(dòng)波形及ESO的誤差量e1、e2如圖5a、5b、5c所示。從圖中可以看出，當(dāng)ω=500時(shí)，系統(tǒng)并不穩(wěn)定，轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過(guò)短時(shí)振蕩后逐漸失穩(wěn)。ω增加至600后，系統(tǒng)輸出穩(wěn)定，但由于增益較小，ESO并不能很好地抑制干擾，此時(shí)磁懸浮轉(zhuǎn)子在白噪聲的干擾下仍呈現(xiàn)了較大的低頻振動(dòng)，通過(guò)圖5b、5c中展示的誤差信號(hào)也可以看出，此時(shí)ESO對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)還存在較大的誤差，繼續(xù)增大ω至10 000，此時(shí)ESO的估計(jì)誤差基本為零，對(duì)比圖1b中未加入ESO反饋的情況(振動(dòng)峰值4.65 μm)，轉(zhuǎn)子原有低頻振動(dòng)大幅下降(峰值1.12 μm)。

(a)轉(zhuǎn)子振動(dòng)波形

(b)誤差e1

(c)誤差e2

(d)加入500 Hz不平衡力圖5 加入ESO的磁懸浮閉環(huán)系統(tǒng)仿真波形Fig.5 Simulation waveforms of AMB control system with ESO

在白噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加入500 Hz不平衡力，轉(zhuǎn)子振動(dòng)輸出信號(hào)如圖5d所示，圖中藍(lán)色波形為未加入ESO反饋的情況，黑色波形為加入ESO反饋后的輸出情況，對(duì)比可知，加入ESO反饋后，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)量大幅下降，由峰值14.5 μm下降至峰值6.9 μm，通過(guò)頻譜圖可以進(jìn)一步看出100 Hz以下低頻分量明顯下降。由此可以得出結(jié)論：提出的基于ESO的擾動(dòng)補(bǔ)償策略可以很好地克服外界的擾動(dòng)，降低磁懸浮轉(zhuǎn)子運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)量。

3.2 試驗(yàn)研究

為驗(yàn)證磁懸浮轉(zhuǎn)子低頻振動(dòng)與激勵(lì)的關(guān)系及振動(dòng)補(bǔ)償策略的有效性，本文在一臺(tái)額定功率110 kW的磁懸浮高速永磁電機(jī)上進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)。試驗(yàn)所用電機(jī)及測(cè)試環(huán)境如圖6所示，電機(jī)及基礎(chǔ)控制系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。試驗(yàn)波形均為示波器實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)后在MATLAB中繪制，為便于分析，繪制波形時(shí)將示波器測(cè)試的電壓值直接換算為了轉(zhuǎn)動(dòng)量(傳感器的靈敏度為20 V/mm)。

圖6 磁懸浮高速電機(jī)及其試驗(yàn)臺(tái)Fig.6 The prototype of AMB based motor and its test board

圖7所示為穩(wěn)態(tài)懸浮時(shí)，白噪聲作用下磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動(dòng)波形及頻譜特性。圖7a所示為使用單一PID控制時(shí)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)波形，可以看出轉(zhuǎn)子表現(xiàn)出了明顯的低頻振動(dòng)，其峰值頻率為35 Hz，與之前的理論分析非常接近，此時(shí)的最大振動(dòng)量為13.8 μm，圖中100 Hz的振動(dòng)為電子整流器引入的干擾(兩倍于工頻)。在控制系統(tǒng)中加入ESO補(bǔ)償，則在同樣白噪聲激勵(lì)下，輸出的振動(dòng)波形如圖7b所示。在ESO的作用下，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)得到了一定的抑制，最大振動(dòng)量下降至10.9 μm，較單一PID控制時(shí)下降約21%，且從信號(hào)頻譜看，其低頻振動(dòng)被有效抑制。

(a)單一PID控制

(b)加入ESO圖7 白噪聲激勵(lì)下轉(zhuǎn)子振動(dòng)波形及頻譜特性Fig.7 Vibration waveforms and its spectrum for AMB based rotor with random excitation

同時(shí)對(duì)系統(tǒng)施加白噪聲及100 Hz不平衡力激勵(lì)，得到的輸出波形如圖8所示。圖8a所示為單一PID控制時(shí)的波形，由于不平衡力起了主導(dǎo)作用，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生了很大的同頻振動(dòng)，達(dá)到36.2 μm，低頻振動(dòng)此時(shí)并不明顯，但仍然存在。同樣條件下，加入ESO補(bǔ)償，輸出如8b所示。此時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)大幅下降至20 μm，比單獨(dú)PID控制下降了44.8%，可見本文提出的補(bǔ)償策略對(duì)同頻干擾同樣適用。

(a)單一PID控制

(d)加入ESO圖8 白噪聲與不平衡力激勵(lì)下轉(zhuǎn)子振動(dòng)波形及頻譜特性Fig.8 Vibration waveforms and its spectrum for AMB based rotor with noise and unbalanced force excitation

圖9展示了轉(zhuǎn)子在30 000 r/min高轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)波形及頻譜特性。圖9a所示為使用單一PID控制方法時(shí)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)波形，此時(shí)轉(zhuǎn)子在不平衡力的激勵(lì)下表現(xiàn)出了較大的同頻振動(dòng)并同時(shí)伴隨有很小的低頻振動(dòng)，其最大振動(dòng)量達(dá)到27.8 μm。同樣轉(zhuǎn)速下，加入ESO補(bǔ)償，振動(dòng)波形如圖9b所示，可以看出在補(bǔ)償器的作用下，同頻振動(dòng)明顯減小，最大振動(dòng)量下降至20.4 μm，下降幅度約26.6%。

(a)單一PID控制

(b)加入ESO圖9 30 000 r/min時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)波形及頻譜特性Fig.9 Vibration waveforms and its spectrum for AMB based rotor during 30 000 r/min

4 結(jié)論

(1)磁懸浮轉(zhuǎn)子的低頻振動(dòng)由閉環(huán)控制系統(tǒng)的固有頻率決定，與轉(zhuǎn)子當(dāng)前的轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)。

(2)低頻振動(dòng)會(huì)在外部噪聲的作用下被激發(fā)，減小控制系統(tǒng)中的噪聲可以有效抑制該低頻振動(dòng)。

(3)ESO可以很好地估計(jì)外部噪聲，相應(yīng)的振動(dòng)補(bǔ)償策略能夠有效地抑制轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證，在同樣白噪聲激勵(lì)下，加入ESO補(bǔ)償器后轉(zhuǎn)子最大振動(dòng)量較單獨(dú)使用PID控制時(shí)下降約21%；在30 000 r/min轉(zhuǎn)速下，ESO補(bǔ)償器的作用更為明顯，轉(zhuǎn)子最大振動(dòng)量下降了26.6%。