王金鎖，蔣啟龍,2，羅 雨，劉騰飛

(1.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，成都 611756；2.磁浮技術(shù)與磁浮列車教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西南交通大學(xué))，成都 611756)

磁浮列車具有占用土地面積小，爬坡能力強(qiáng),噪音小等優(yōu)點(diǎn)，可以很好地滿足城市軌道交通的要求[1]。懸浮系統(tǒng)是保證列車在不同工況下穩(wěn)定運(yùn)行的前提條件，為了提高磁浮列車穩(wěn)定性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)懸浮控制算法的設(shè)計(jì)與優(yōu)化進(jìn)行了廣泛研究。文獻(xiàn)[2]構(gòu)造了一種同時(shí)考慮參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)的T-S模糊模型，設(shè)計(jì)了基于粒子群優(yōu)化的模糊自適應(yīng)控制算法，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了系統(tǒng)的懸浮穩(wěn)定性和抗干擾能力，然而，該算法存在計(jì)算量大，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化響應(yīng)不及時(shí)等問題。文獻(xiàn)[3]提出了一種磁懸浮系統(tǒng)的二維模糊滑膜控制算法，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的懸浮穩(wěn)定性，并未驗(yàn)證該算法在復(fù)雜工況下的魯棒性和反饋跟蹤能力。文獻(xiàn)[4]采用逆系統(tǒng)方法對(duì)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行線性解耦，然后采用線性二次型(LQR)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，并利用非線性觀測(cè)器補(bǔ)償負(fù)載不確定性和模型誤差的影響。但是由于控制器設(shè)計(jì)基于線性模型，在誤差較大時(shí)，控制性能下降。文獻(xiàn)[5]提出基于人工智能負(fù)載估計(jì)的磁浮列車主動(dòng)控制方法，利用多層人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行主動(dòng)控制，并采用非支配排序遺傳算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，在較大負(fù)載擾動(dòng)時(shí)仍能保持較小的誤差。但是鑒于算法的復(fù)雜性和兼容性，并沒有進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[6]提出了實(shí)時(shí)補(bǔ)償設(shè)定間隙的控制算法，仿真驗(yàn)證了該算法對(duì)懸浮間隙波動(dòng)的抑制效果。但是算法需要快速準(zhǔn)確地辨識(shí)出臺(tái)階以及臺(tái)階高度并完成算法切換，這一點(diǎn)不容易實(shí)現(xiàn)。為解決軌道不平順對(duì)懸浮系統(tǒng)控制帶來的問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，提出了一些有效的控制方案，解決懸浮列車由于軌道因素帶來的各種問題[7]。但是，懸浮系統(tǒng)在過軌道臺(tái)階時(shí)的跟蹤性和魯棒性的矛盾沒有得到一個(gè)完美的答案。

自抗擾控制(ADRC)不同于其他魯棒控制方法，是一種新型的應(yīng)對(duì)不確定性的控制算法，是韓京清于1995年提出的，2008年進(jìn)行了全面的闡述[8]。它對(duì)系統(tǒng)模型的依賴性較弱，且具有較強(qiáng)的魯棒性[9-10]。文獻(xiàn)[11-12]將自抗擾控制應(yīng)用于磁懸浮系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，但是沒有考慮軌道問題對(duì)懸浮系統(tǒng)的影響。廣義預(yù)測(cè)控制的基本思想是通過最小化在預(yù)測(cè)范圍內(nèi)定義的多級(jí)成本函數(shù)來計(jì)算未來的控制信號(hào)序列。它對(duì)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)具有很好的控制作用，但是其對(duì)模型參數(shù)敏感，在線計(jì)算量大[13]。廣義預(yù)測(cè)控制在快速的、實(shí)時(shí)的系統(tǒng)中的應(yīng)用還在不斷探究中，針對(duì)懸浮控制系統(tǒng)這樣一個(gè)實(shí)時(shí)的、快速的系統(tǒng)，降低廣義預(yù)測(cè)控制的實(shí)時(shí)計(jì)算量是首先要解決的問題。文獻(xiàn)[14]為了實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的高性能控制，將自抗擾控制和廣義預(yù)測(cè)控制結(jié)合，提出自抗擾廣義預(yù)測(cè)控制(LADRC-GPC)算法。LADRC-GPC不需要在線對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，很大程度上降低了算法的在線計(jì)算量，使得它在實(shí)時(shí)性要求很高的懸浮系統(tǒng)中應(yīng)用成為可能。磁懸浮系統(tǒng)控制器需要強(qiáng)抗干擾性、強(qiáng)魯棒性以及較高的實(shí)時(shí)性，基于這一特點(diǎn)，本文以貝加萊X20系列PLC為控制單元設(shè)計(jì)了的懸浮系統(tǒng)的自抗擾廣義預(yù)測(cè)(LADRC-GPC)控制器，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器的有效性。

1 系統(tǒng)模型與自抗擾廣義預(yù)測(cè)控制算法設(shè)計(jì)

1.1 系統(tǒng)模型

磁浮列車每列車廂懸浮系統(tǒng)有5套懸浮架組成，各個(gè)懸浮架獨(dú)立工作，共同完成車體的懸浮。每套懸浮架共有4套電磁鐵，懸浮架兩側(cè)的電磁鐵通過抗側(cè)滾梁和吊桿彈性鉸接，可以實(shí)現(xiàn)一定程度的機(jī)械解耦。為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型，磁浮列車懸浮系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為幾個(gè)單電磁鐵懸浮系統(tǒng)，圖1給出了單電磁鐵的物理結(jié)構(gòu)，其中F(i,δ)為電磁鐵產(chǎn)生的電磁力，m為單個(gè)電磁鐵的質(zhì)量，g為重力加速度，fd為在重力方向的干擾力，u(t)為線圈兩端的電壓；i(t)為流經(jīng)電磁鐵線圈的電流，δ(t)為懸浮氣隙。由文獻(xiàn)[15-16]可以得到單電磁鐵的數(shù)學(xué)模型:

(1)

圖1 單電磁鐵結(jié)構(gòu)示意圖

文獻(xiàn)[17]提出了雙環(huán)串級(jí)控制的思想。通過設(shè)置電流環(huán)參數(shù)，不僅可以使電流迅速跟蹤上電壓變化，而且可以把電流環(huán)等效為比例環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型。

(2)

其中：i=u/Rt，Rt為等效電阻。

文獻(xiàn)[18]在氣隙環(huán)設(shè)計(jì)了分層控制器。內(nèi)層采用反饋線性化控制進(jìn)行預(yù)穩(wěn)定，外層加入隱式廣義預(yù)測(cè)控制。仿真結(jié)果證明了廣義預(yù)測(cè)控制在快速系統(tǒng)中應(yīng)用的有效性，并且能夠很好地抑制過臺(tái)階波動(dòng)。

本文采用雙環(huán)串級(jí)控制思想，先簡(jiǎn)化電流環(huán)，然后氣隙環(huán)采用分層控制的方法。內(nèi)層采用自抗擾控制，以提高系統(tǒng)的抗干擾能力，外層使用廣義預(yù)測(cè)控制抑制過臺(tái)階波動(dòng)。

1.2 自抗擾廣義預(yù)測(cè)控制

將式(2)在平衡點(diǎn)進(jìn)行線性化得

(3)

設(shè)計(jì)離散型狀態(tài)觀測(cè)器即ESO，對(duì)y1，y2，y3進(jìn)行估計(jì)：

(4)

設(shè)計(jì)控制律為

(5)

式中：u0為虛擬控制量，u為簡(jiǎn)化后系統(tǒng)的控制量。

通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器中的z3變量對(duì)干擾變量x3進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為

(6)

在LADRC-GPC中，GPC針對(duì)簡(jiǎn)化后的積分串聯(lián)型系統(tǒng)進(jìn)行控制，在這里采用CARMA模型為

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+C(z-1)ξ(k)

(7)

式中：ξ(k)為擾動(dòng)信號(hào)；z-1為后移算子；A(z-1)，B(z-1)，C(z-1)為后移算子的多項(xiàng)式，其階次分別為na，nb，nc。通常情況下C(z-1)=1。

(8)

式中：ai為多項(xiàng)式系數(shù)，i=1,2,…,na；bi為多項(xiàng)式系數(shù)，i=1,2,…,nb。

基于CARMA模型，考慮式(9)中的丟番圖方程：

(9)

式中：j=1,2,…,N2-N1；Ej，F(xiàn)j，Gj，Hj為后移算子z-1的多項(xiàng)式

其中：ei、gi為多項(xiàng)式系數(shù)，i=1,2,…,j;fj,i為多項(xiàng)式系數(shù)，i=1,2,…,n+1;hi為多項(xiàng)式系數(shù)i=1,2,…,n-1;n=1,2,…,N2-N1。

由式(6)可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(10)

式中s為拉普拉斯算子。

采用零階保持器將G(s)經(jīng)Z變換得離散域傳遞函數(shù)：

(11)

式中:z為Z變換算子，T為采樣周期。

忽略擾動(dòng)信號(hào)，由式(7)可得

(12)

對(duì)比式(11)和式(12)得

當(dāng)確定采樣頻率后，可以離線求得系統(tǒng)丟番圖方程的解:

(13)

廣義預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)函數(shù)為

(14)

式中：y(k+j)為輸出的預(yù)測(cè)序列，u(k+j-1)為控制量的預(yù)測(cè)序列，yr(k)為給定值的柔化序列，Nu為控制時(shí)域，λ為控制加權(quán)因子，w(k+j)的作用是使輸出平穩(wěn)達(dá)到設(shè)定值，其表達(dá)式為

W=αy(k)+(1-α)yr(k)

(15)

式中：W=[w(k+1)，…，w(k+N2-N1)],αn為柔化因子，0<αn<1，α=[α1,α2,...,αN2-N1]T。

將式(9)、(12)代入式(7)，可得系統(tǒng)的j步預(yù)測(cè)輸出y(k+j):

y(k+j)=Gju(k+j-1)+Fjy(k)+Hju(k-1)

(16)

將上式寫為向量的形式:

Y=GU+HU(k-j)+FY(k)

(17)

Y=[y(k+N1),…,y(k+N2)]T為未來的預(yù)測(cè)輸出。

U=[u(k),…，u(k+Nu-1)]T為當(dāng)前和未來的控制量。

U(k-j)=[u(k-1),…，u(k+nb)]T為過去的控制量。

Y(k)=[y(k),…，y(k-na-1)]T為當(dāng)前及過去的實(shí)際輸出。

將式(14)寫為向量形式：

J=(Y-W)T(Y-W)+λUTU

(18)

將式(17)代入式(18)，得性能指標(biāo)為最小的控制律：

U=(GTG+λI)-1GT[W-HU(k-j)-FY(k)]

u(k)=[1,0,…,0](GTG+λI)-1GT[W-HU(k-j)-FY(k)]

將u0=u(k)代入式(5)可以得到自抗擾廣義預(yù)測(cè)控制下的控制律。

1.3 穩(wěn)定性分析

針對(duì)單電磁鐵模型，Y(k)取y(k)，U(k)取u(k-1)，則控制律可以改寫為

u(k)=[1,0,…,0](GTG+λI)-1GT[(1-α)yr(k)-(F-α)y(k)-Hu(k-1)]

即

T(z-1)u(k)=Ryr(k)-Sy(k)

(19)

式中：

T(z-1)=1+z-1[1,0,…,0](GTG+λI)-1GTH

R=[1,0,…,0](GTG+λI)-1GT(1-α)

S(z-1)=[1,0,…,0](GTG+λI)-1GT(F-α)

將y(k)=G(z-1)u(k)代入式(19)，可得

(20)

式中：

內(nèi)模模型下系統(tǒng)的閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中虛線框內(nèi)傳遞函數(shù)為G(s)。

圖2 內(nèi)模模型下系統(tǒng)的閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu)

由文獻(xiàn)[14]可得ESO回路的內(nèi)模控制模型:

(21)

單電磁鐵系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[16]為

(22)

可以將ESO和單磁鐵系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為內(nèi)?？刂频臉?biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)，如圖2虛線框所示，其中b=Ki/mRt，a=Ky/m，可得

(23)

式(23)可以整理為

(24)

對(duì)比式(10)可知，自抗擾廣義預(yù)測(cè)控制算法穩(wěn)定的前提是ω0必須滿足：

根據(jù)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，設(shè)

圖中的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

1+G(z-1)H(z-1)=0

(25)

在頻域分析中，經(jīng)常根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)選用奈式曲線定性分析算法的性能。如此需要考慮G(z-1)H(z-1)的頻率響應(yīng):

根據(jù)離散系統(tǒng)的奈氏判據(jù)，設(shè)等式中分母A(z-1)T(z-1)在單位圓外有P個(gè)根，點(diǎn)(-1，j0)被系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(z-1)H(z-1)的奈式曲線逆時(shí)針包圍R圈，則P=R是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件[14]，需要注意A(z-1)T(z-1)在單位圓上有根，則單位圓上的根的個(gè)數(shù)不計(jì)入P。

1.4 系統(tǒng)閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖

LADRC-GPC的結(jié)構(gòu)圖如圖3所示，LADRC-GPC算法由內(nèi)層和外層組成：內(nèi)層將電磁鐵模型中不是積分串聯(lián)型的部分看作總擾動(dòng)，氣隙傳感器采集的懸浮氣隙信號(hào)和虛擬控制量u0與補(bǔ)償因子b0的乘積作為擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)的輸入量，將輸出的綜合加速度反饋給系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償。外層將內(nèi)層作為被控對(duì)象，以氣隙信號(hào)和給定氣隙值作為輸入量，通過廣義預(yù)測(cè)控制(GPC)對(duì)內(nèi)層進(jìn)行控制。

圖3 自抗擾廣義預(yù)測(cè)控制的結(jié)構(gòu)圖

2 仿真與分析

為了驗(yàn)證自抗擾廣義預(yù)測(cè)控制在懸浮系統(tǒng)的有效性，利用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并將LADRC-GPC與LADRC、PID控制進(jìn)行仿真比較。主要進(jìn)行以下研究：1)軌道由于各種客觀因素會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階現(xiàn)象。在實(shí)驗(yàn)中通過給定氣隙的階躍變化來模擬這種工況；2)在懸浮列車的運(yùn)行中，某一懸浮電磁鐵出現(xiàn)故障，相鄰電磁鐵負(fù)載變化較大。實(shí)驗(yàn)中，通過對(duì)系統(tǒng)加減載來模擬這種負(fù)載擾動(dòng)。懸浮電磁鐵的仿真模型參數(shù)見表1。

表1 懸浮電磁鐵仿真模型參數(shù)

系統(tǒng)起浮、加減負(fù)載及給定氣隙突變工況下，LADRC-GPC的仿真結(jié)果如圖4～6所示。

圖4 起浮時(shí)懸浮系統(tǒng) LADRC-GPC的仿真波形

圖5 加減載時(shí)懸浮系統(tǒng)LADRC-GPC的仿真波形

圖6 給定氣隙突變時(shí)懸浮系統(tǒng)LADRC-GPC仿真波形

圖4給出了系統(tǒng)起浮時(shí)LADRC-GPC的電流和氣隙波形。電磁鐵從起始的13 mm氣隙開始起浮，經(jīng)過0.13 s調(diào)整，系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮在給定氣隙6.5 mm，電流穩(wěn)定在3.0 A。在此過程中，電流的最大值達(dá)到了12.8 A。

圖5給出了系統(tǒng)加減負(fù)載時(shí)LADRC-GPC的電流和氣隙波形。在1.0 s時(shí)刻，系統(tǒng)加載50%(3.25 kg)，電流迅速增大，峰值達(dá)到4.6 A，懸浮氣隙在增大方向上產(chǎn)生0.5 mm的波動(dòng)，經(jīng)過0.05 s的調(diào)整，電流穩(wěn)定在4.6 A，懸浮氣隙恢復(fù)至6.5 mm。在2.0 s時(shí)刻，系統(tǒng)減載50%，電流迅速減小，谷值達(dá)到2.2 A，懸浮氣隙在減小方向上產(chǎn)生0.4 mm的波動(dòng)，經(jīng)過0.05 s的調(diào)整，電流穩(wěn)定在3.0 A，懸浮氣隙恢復(fù)至6.5 mm。

圖6 給出了系統(tǒng)在給定氣隙突變時(shí)LADRC-GPC的電流和氣隙波形。在1.0 s時(shí)刻給定氣隙從6.5 mm突變到9.0 mm，電流首先突變到1.7 A，然后迅速增加，峰值達(dá)到4.6 A，懸浮氣隙在增大的方向上產(chǎn)生0.2 mm的超調(diào)，經(jīng)過0.11 s的調(diào)整，電流穩(wěn)定在4.2 A，懸浮氣隙跟蹤給定氣隙穩(wěn)定在9.0 mm。1.5 s 時(shí)刻，給定氣隙從9.0 mm突變?yōu)?.0 mm，電流首先突變到6.8 A，然后迅速減小，谷值達(dá)到1.5 A，懸浮氣隙在減小方向上產(chǎn)生0.4 mm的超調(diào)，經(jīng)過0.12 s的調(diào)整，電流穩(wěn)定在1.9 A，懸浮氣隙跟蹤給定氣隙穩(wěn)定在4.0 mm。

圖7給出了起浮和加減載工況下3種控制策略的懸浮氣隙仿真波形。在起浮的過程中，PID控制和LADRC下，經(jīng)過0.27 s完成起?。挥蓤D7可知，LADRC-GPC起浮更平滑，超調(diào)量更小，調(diào)整速度更快。

圖7 起浮時(shí)3種控制策略的氣隙波形

圖8給出了系統(tǒng)50%加載和50%減載工況下3種控制策略的懸浮氣隙仿真波形。PID控制下懸浮氣隙發(fā)生了1.4 mm的變化, LADRC氣隙變化1.1 mm，在兩種控制策略下經(jīng)過0.26 s調(diào)整，系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)態(tài)。LADRC相比PID控制，在加減載工況下，懸浮氣隙的波動(dòng)量較小，但是調(diào)整時(shí)間并沒有減小。LADRC-GPC無論是起浮、50%加載、50%減載工況下，懸浮氣隙波動(dòng)量更小，響應(yīng)速度更快。

圖8 負(fù)載突變時(shí)3種控制策略的氣隙波形

圖9給出了給定氣隙突變的情況下3種控制策略的氣隙仿真波形。1.0 s時(shí)刻，給定氣隙從6.5 mm突變?yōu)?.0 mm，在PID控制下，懸浮氣隙在增大方向上產(chǎn)生1.7 mm超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.18 s；LADRC產(chǎn)生了0.9 mm超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.29 s。在2.0 s時(shí)刻，給定氣隙從9.0 mm突變?yōu)?.0 mm，在PID控制下，懸浮氣隙在減小方向上產(chǎn)生2.5 mm超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.20 s；LADRC懸浮氣隙產(chǎn)生1.2 mm超調(diào)，調(diào)整時(shí)間為0.32 s。LADRC相比PID控制，超調(diào)量較小，但是調(diào)節(jié)時(shí)間變長(zhǎng)了。由圖9可知，LADRC在給定氣隙突變情況下，氣隙超調(diào)量有明顯的降低，而且可以更快地跟蹤給定氣隙。

圖9 給定氣隙突變時(shí)3種控制策略的氣隙波形

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與控制器

本文設(shè)計(jì)了基于貝加萊PLC的控制器，以實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的磁懸浮小車為控制對(duì)象，驗(yàn)證ADRC-GPC算法在懸浮系統(tǒng)的有效性。

圖10 給出了磁懸浮小車系統(tǒng)的主要組成部分，其中貝加萊PLC控制器中的X20CP3586是CPU模塊，用于數(shù)據(jù)處理；X20AI4632是模擬量輸入模塊，用于輸入懸浮氣隙信號(hào)和線圈電流信號(hào)；X20DI4375是數(shù)字量輸入模塊，用于輸入指令信號(hào)；X20AO4632是模擬量輸出模塊，用于將參考電流輸出給斬波器。斬波器使懸浮電磁鐵中的電流跟蹤參考電流信號(hào)。

圖10 懸浮小車硬件系統(tǒng)

3.2 主要參數(shù)選取

控制參數(shù)的整定方法大體可以分為理論計(jì)算整定法和工程整定法兩大類?；跀?shù)學(xué)模型通過計(jì)算直接得到的控制器的整定參數(shù)，其整定過程復(fù)雜，且由于磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，而現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型是對(duì)懸浮系統(tǒng)的線性近似，故求得整定參數(shù)很不可靠。實(shí)際試驗(yàn)中采用工程整定法，首先以Ziegler-Nichols穩(wěn)定邊界整定法進(jìn)行PID控制參數(shù)整定，然后以ITAE(時(shí)間誤差絕對(duì)值積分)最小為目標(biāo)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化[19]。LADRC-GPC控制器主要參數(shù)見表2。

表2中N1為優(yōu)化時(shí)域的初值，N2為優(yōu)化時(shí)域終值，Nu為控制時(shí)域，λ為控制加權(quán)常數(shù)，α為柔化因子，T為采樣時(shí)間，ω0為ESO帶寬，h為ESO采樣時(shí)間，b0為補(bǔ)償因子。實(shí)驗(yàn)和仿真時(shí)的參數(shù)存在一定的差異。

擴(kuò)張觀測(cè)器的帶寬ω0實(shí)驗(yàn)參數(shù)和仿真參數(shù)差別較大。根據(jù)實(shí)驗(yàn)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，由于環(huán)境噪聲和系統(tǒng)延時(shí)的影響，當(dāng)ω0=240時(shí)，系統(tǒng)無論如何調(diào)試，始終處于降落、吸死的循環(huán)狀態(tài)，無法達(dá)到穩(wěn)定。當(dāng)ω0≥800時(shí)，懸浮電磁鐵懸浮在額定氣隙時(shí)出現(xiàn)噪聲，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)ω0過小時(shí)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)不能有效地估計(jì)系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)無法達(dá)到穩(wěn)定。當(dāng)ω0過大時(shí)，輸出被量測(cè)噪聲污染。擴(kuò)張觀測(cè)器的帶寬選擇受到系統(tǒng)噪聲能力的約束，綜合分析，對(duì)于本磁懸浮系統(tǒng)ω0=600時(shí)動(dòng)態(tài)性能較好。

優(yōu)化時(shí)域的長(zhǎng)度(N2-N1)對(duì)系統(tǒng)影響較大。根據(jù)實(shí)驗(yàn)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，N2需要平衡磁懸浮系統(tǒng)實(shí)時(shí)性和穩(wěn)定性的影響，經(jīng)過反復(fù)的測(cè)試，N2=20時(shí)，本懸浮系統(tǒng)具有期望的魯棒性和快速性。

本磁懸浮系統(tǒng)，為了保證魯棒性和實(shí)時(shí)性，取控制時(shí)域Nμ=1。

控制加權(quán)常數(shù)λ的作用是避免電流上升率過大，出現(xiàn)電磁體猛烈撞擊軌道的現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)中選擇λ=0作為初值，通過增大λ可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制，同時(shí)減弱了控制作用。根據(jù)調(diào)試的經(jīng)驗(yàn)，λ較大時(shí)，給定氣隙突變時(shí)會(huì)出現(xiàn)超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間變長(zhǎng)；λ較小時(shí)，在起浮過程中，電流變化較為劇烈。同時(shí)，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，λ減小，系統(tǒng)剛度增大，抗干擾能力增強(qiáng)。

柔化因子α的調(diào)節(jié)和N2、λ密切相關(guān)。當(dāng)N2增大時(shí)，λ需要相應(yīng)的增大，α需要相應(yīng)減小才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。保證其他參數(shù)合適的情況下，α較大時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度下降，α較小時(shí)，相應(yīng)速度較快，超調(diào)量增大。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=0.997時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)。

補(bǔ)償因子b0可以通過式(5)來確定，其中等效電阻Rt的確定和電流環(huán)密切相關(guān)，本磁懸浮系統(tǒng)取Rt=27，通過式(5)計(jì)算得到b0=-0.25可以在本磁懸浮系統(tǒng)中使用，在反復(fù)調(diào)試中發(fā)現(xiàn)b0=-0.23時(shí)動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在圖11～13 中，示波器通道1測(cè)量氣隙波形，通道 2 測(cè)量電流波形。

(b)LADRC

(c)LADRC-GPC

圖11給出了3種控制方式下系統(tǒng)空載狀態(tài)起浮時(shí)的電流和氣隙波形。在起浮的過程中為了避免電磁鐵碰撞導(dǎo)軌，采用了緩起浮控制策略。由圖11(a)可知，在PID控制情況下，電流增加，最大可以達(dá)到5 A，經(jīng)過1.2 s的調(diào)整穩(wěn)定在3.0 A。電流達(dá)到一定值時(shí)，小車起浮，懸浮氣隙減小，出現(xiàn)3.2 mm的超調(diào)，經(jīng)過1.2 s的調(diào)整，懸浮氣隙穩(wěn)定在6.5 mm。由圖11(b)可知，在LADRC情況下，電流增加，峰值為5.0 A，經(jīng)過0.4 s的調(diào)整穩(wěn)定在3.2 A。經(jīng)過短暫的延時(shí)，小車起浮，懸浮氣隙減小，出現(xiàn)4.8 mm的超調(diào)，經(jīng)過0.4 s的調(diào)整，懸浮氣隙穩(wěn)定在6.5 mm。由圖11(c)可知，在LADRC-GPC情況下，電流增加，峰值達(dá)到4.6 A，經(jīng)過0.4 s調(diào)整，穩(wěn)態(tài)電流為3.1 A。經(jīng)過短暫的延時(shí)，小車起浮，懸浮氣隙減小，出現(xiàn)4.0 mm的超調(diào)，經(jīng)過0.4 s的調(diào)整，懸浮氣隙穩(wěn)定在6.5 mm。可以看出，在起浮工況下LADRC-GPC時(shí)氣隙的相應(yīng)速度最快，超調(diào)量最小。

圖12給出了3種控制方式下系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮時(shí)50%加減負(fù)載情況下的電流和氣隙實(shí)驗(yàn)波形。在此針對(duì)加載進(jìn)行分析。由圖12(a)可知在PID控制下，加載的瞬間，電流從2.8 A上升到4.8 A，懸浮氣隙出現(xiàn)3.2 mm波動(dòng)，經(jīng)過1.0 s的調(diào)節(jié)，電流穩(wěn)定在3.8 A，氣隙恢復(fù)6.5 mm 穩(wěn)態(tài)。由圖12(b)可知，LADRC下，加載的瞬間，電流從3.0 A增加到4.5 A，懸浮氣隙出現(xiàn)1.4 mm的波動(dòng)，經(jīng)過0.6 s的調(diào)節(jié)，電流穩(wěn)定4.0 A，氣隙達(dá)到6.5 mm穩(wěn)態(tài)。由圖12(c)可知，在LADRC-GPC下，加載的瞬間電流從3.1 A增加至4.6 A，懸浮氣隙出現(xiàn)1.0 mm的波動(dòng)，經(jīng)過0.6 s的調(diào)整，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。從實(shí)驗(yàn)波形可知，在50%加減載工況下，LADRC-GPC懸浮氣隙波動(dòng)最小，調(diào)整時(shí)間更短。因此，磁懸浮系統(tǒng)在LADRC-GPC下具有更強(qiáng)的抗干擾能力，控制性能更優(yōu)越。

(a)PID控制

(b)LADRC

(c)LADRC-GPC

圖13給出了在3種控制策略下，給定氣隙突變時(shí)，電流和氣隙的實(shí)驗(yàn)波形。圖13(a)給出了在PID控制下，給定氣隙突然增大時(shí)，電流從3.1 A迅速達(dá)到峰值5 A，經(jīng)過0.6 s調(diào)整穩(wěn)定在3.4 A，懸浮氣隙出現(xiàn)了3.6 mm的超調(diào)，經(jīng)過0.6 s的調(diào)節(jié)穩(wěn)定在9.0 mm；給定氣隙突然減小時(shí)，懸浮氣隙出現(xiàn)3.2 mm的超調(diào)，經(jīng)過1.2 s的調(diào)節(jié)，電流穩(wěn)定在2.8 A，氣隙達(dá)到4 mm的穩(wěn)定狀態(tài)。圖13(b)給出了LADRC下，給定氣隙突然增大時(shí)，電流從3.1 A快速達(dá)到峰值3.9 A，懸浮氣隙出現(xiàn)1.0 mm的超調(diào)，經(jīng)過0.6 s的調(diào)節(jié)電流穩(wěn)定在3.4 A，氣隙達(dá)到9.0 mm穩(wěn)態(tài)；給定氣隙突然減小時(shí)，懸浮氣隙出現(xiàn)了0.8 mm的超調(diào)，經(jīng)過0.2 s的調(diào)節(jié)，電流穩(wěn)定在2.8 A，氣隙達(dá)到4 mm的穩(wěn)定狀態(tài)。圖13(c)給出了LADRC-GPC下，給定氣隙突然增大時(shí)，氣隙和電流基本不存在超調(diào)，經(jīng)過 0.3 s的調(diào)節(jié)，電流穩(wěn)定在3.4 A，氣隙達(dá)到9 mm穩(wěn)態(tài)；給定氣隙突然減小時(shí)，電流和懸浮氣隙可以快速無超調(diào)地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在給定氣隙突變工況下，LADRC-GPC懸浮氣隙超調(diào)量更小，可以更快地跟蹤給定氣隙。因此，對(duì)導(dǎo)軌有更強(qiáng)適應(yīng)性，對(duì)導(dǎo)軌的材料、制造工藝、安裝精度等方面的要求有所降低。

(a)PID控制

(b)LADRC

(c)LADRC-GPC

綜上比較，磁懸浮系統(tǒng)采用LADRC-GPC可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，與PID控制、LADRC相比，無論起浮、加減載還是給定氣隙突變工況，懸浮氣隙波動(dòng)最小，調(diào)整時(shí)間最短。表明LADRC-GPC算法應(yīng)用在懸浮系統(tǒng)具有優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

1)對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的LADRC-GPC進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，并進(jìn)行了仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2)給定氣隙突變和加減載對(duì)懸浮系統(tǒng)具有顯著影響。LADRC-GPC相比于傳統(tǒng)的控制策略具有更強(qiáng)的快速性、適應(yīng)性和魯棒性。

3)本文是在懸浮電磁鐵靜態(tài)懸浮時(shí)，通過給定氣隙突變和加減載來模擬實(shí)際磁浮列車的懸浮系統(tǒng)過接縫和負(fù)載擾動(dòng)工況，與磁懸浮列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)工況存在一定差距。在后續(xù)研究中，可以通過動(dòng)態(tài)懸浮實(shí)驗(yàn)，針對(duì)實(shí)際運(yùn)行時(shí)存在的車軌耦合等工況進(jìn)行算法改進(jìn)。