黃尚鵬

(湖北省監(jiān)利市實驗高級中學(xué))

1 對原題的分析與解答

例(2022年高考湖北卷第16題)打樁機(jī)是基建常用工具.某種簡易打樁機(jī)模型如圖1 所示,重物A、B和C通過不可伸長的輕質(zhì)長繩跨過兩個光滑的等高小定滑輪連接,C與滑輪等高(圖中實線位置)時,C到兩定滑輪的距離均為L.重物A和B的質(zhì)量均為m,系統(tǒng)可以在如圖1 虛線位置保持靜止,此時連接C的繩與水平方向的夾角為60°.某次打樁時,用外力將C拉到圖中實線位置,然后由靜止釋放.設(shè)C的下落速度為時,與正下方質(zhì)量為2m的靜止樁D正碰,碰撞時間極短,碰撞后C的速度為零,D豎直向下運動距離后靜止(不考慮C、D再次相碰).A、B、C、D均可視為質(zhì)點.

圖1

(1)求C的質(zhì)量;

(2)若D在運動過程中受到的阻力F可視為恒力,求F的大小;

(3)撤掉樁D,將C再次拉到圖中實線位置,然后由靜止釋放,求A、B、C的總動能最大時C的動能.

解析(1)設(shè)C的質(zhì)量為M,系統(tǒng)在如圖1 虛線位置保持靜止時,對C物體受力分析如圖2所示,由平行四邊形定則和平衡條件得Mg＝2mgsin60°,解得

圖2

(2)設(shè)C的下落速度為v0＝時,與正下方質(zhì)量為2m的靜止樁D正碰后,樁D獲得的速度為v,選向下為正方向,由動量守恒定律得Mv0＝2mv,解得v＝

(3)如圖3所示,將C由靜止釋放后,設(shè)連接C的繩與水平方向的夾角為θ時,下落的高度為h,由機(jī)械能守恒定律可知,當(dāng)系統(tǒng)的總動能最大時,系統(tǒng)的總勢能最小,系統(tǒng)勢能減少最多,下面我們用三種方法尋找系統(tǒng)總動能最大時的位置.

圖3

方法1選θ為自變量,系統(tǒng)的總動能

方法2選h為自變量,系統(tǒng)的總動能

要使系統(tǒng)的總動能最大,對Ek總求導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)為零,得

方法3根據(jù)重力做功與重力勢能變化的關(guān)系WG＝－ΔEp可知,當(dāng)系統(tǒng)的重力做正功時,系統(tǒng)的重力勢能減少,當(dāng)系統(tǒng)的重力做負(fù)功時,系統(tǒng)的重力勢能增加,故當(dāng)系統(tǒng)的重力總功率為零時,系統(tǒng)勢能取極值,或者對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理,當(dāng)系統(tǒng)的合外力做功最多時,系統(tǒng)的總動能增加最多,故當(dāng)系統(tǒng)的重力總功率為零時,系統(tǒng)的總動能最大,設(shè)此時A物體的速度為vA,C物體的速度為vC,則2mgvA＝MgvC,即

如圖4所示,根據(jù)繩連接體關(guān)聯(lián)速度的特征可知,A、C兩物體在沿繩方向的分速度相等,即

圖4

由式①②同樣得到θ＝60°,說明系統(tǒng)在靜止時的平衡位置總動能最大.

當(dāng)θ＝60°時,由方法1可知

小結(jié)1)本題以打樁機(jī)為情境,通過繩連接體模型,綜合考查動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和動能定理等主干知識,是一道典型的考查動量與能量的綜合題.本題第(1)問考查三力平衡模型,第(2)問借助碰撞模型考查動量守恒定律,借助木樁的減速運動過程考查動能定理的應(yīng)用(當(dāng)然也可運用運動學(xué)公式和牛頓第二定律聯(lián)立求解),這兩問都很基礎(chǔ),不偏不怪.第(3)問難度較大,第一步需要尋找系統(tǒng)總動能最大時的位置,常規(guī)思路是根據(jù)機(jī)械能守恒定律得出系統(tǒng)總動能的表達(dá)式,然后利用數(shù)學(xué)工具求極值,考查利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力.方法1和方法2都利用了導(dǎo)數(shù)工具,根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)為零求出極值出現(xiàn)的位置.方法1選θ為自變量,根據(jù)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解;方法2選h為自變量,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解;方法3是純物理解法,根據(jù)“系統(tǒng)的重力總功率為零時系統(tǒng)的總動能最大”這一條件巧解,屬于特殊快捷解法,要求考生具備敏銳的洞察力,一般考生難以想到.第(3)問第二步要求學(xué)生利用繩連接體關(guān)聯(lián)速度知識求解,即根據(jù)“兩物體在沿繩方向的分速度相等”這一特征求解.由于左右兩邊都有繩拉著C物體,學(xué)生容易錯誤地認(rèn)為A、B兩物體速度矢量合成即為C物體的速度,這就要求教師在平時的教學(xué)中講清楚繩連接體關(guān)聯(lián)速度分解的原理,否則學(xué)生容易死記結(jié)論并且想當(dāng)然地犯下錯誤.

2)在第(3)問第一步中,我們已經(jīng)得出系統(tǒng)在靜止時的平衡位置總動能最大,這是一種巧合還是必然呢? 其實理論力學(xué)中根據(jù)分析力學(xué)原理可得出這樣一個基本結(jié)論——保守力學(xué)體系在系統(tǒng)的平衡位置勢能取極值.本題就是根據(jù)這一結(jié)論改編而成的,即系統(tǒng)在靜止時的平衡位置勢能最小,總動能最大,這是一種必然的結(jié)果.為進(jìn)一步理解這一思想,我們再看一個典型例子.如圖5 所示,一半徑為R的光滑大圓環(huán)固定在水平面上,其最高點為A,另一質(zhì)量為m的中心有孔的光滑小球套在大圓環(huán)上.一原長為l0(l0＜2R)、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定于A點,另一端系在小球上.求小球靜止時,彈簧與豎直方向的夾角θ.

圖5

我們知道如果一個力所做的功與具體路徑無關(guān),這種力叫作保守力.在保守力場中,保守力所做的功等于勢能的減少.保守力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時勢能取極值,根據(jù)系統(tǒng)勢函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零,可得出系統(tǒng)在保守力以及約束力等作用下的平衡位置,因此此平衡問題也可用能量的觀點求解.如圖6所示,選最高點A所在的水平面為重力勢能參考面,則系統(tǒng)的勢函數(shù)

圖6

以θ為自變量,對勢函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)為零,尋找平衡位置,即＝4mgRsinθcosθ－2kR(2Rcosθ－l0)sinθ＝0,解得

為驗證上述解法是否正確,不用能量的觀點求解本題.如圖7所示,對小球受力分析,由三力平衡和幾何關(guān)系得

圖7

2 對原題的拓展研究

拓展1求C物體由靜止釋放后能夠下落的最大高度.

拓展2求C物體由靜止釋放后能夠獲得的最大速度.

【分析與解答】這種情況學(xué)生容易錯誤地認(rèn)為在系統(tǒng)靜止時的平衡位置,即θ＝60°時,C物體速度最大.產(chǎn)生這種錯誤認(rèn)識的根本原因是學(xué)生認(rèn)為當(dāng)C物體的加速度為零時,C物體速度最大,此時A物體的加速度也為零,A物體也達(dá)到最大速度,即認(rèn)為在運動過程中兩物體的加速度同時為零,兩物體同時達(dá)到最大速度,這是一種非常典型的錯誤認(rèn)識.其實根據(jù)關(guān)聯(lián)速度方程vA＝vCsinθ可知,當(dāng)C物體速度最大時,C物體的加速度為零,可認(rèn)為在此時刻附近的微小時間間隔內(nèi),C物體勻速運動,但隨著θ的增大,sinθ增大,A物體會繼續(xù)加速,即物體A的加速度還沒有到零.運動過程中兩物體的加速度不是同時為零,兩物體不是同時達(dá)到最大速度,故系統(tǒng)靜止時的平衡位置和運動過程中三個物體的瞬時平衡位置并不重合.那么,C物體在什么位置速度最大呢?

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒ΔEp減＝ΔEk總,得

圖8

為了深刻理解在運動過程中兩物體的加速度不是同時為零,下面我們從物理的角度推導(dǎo)出C物體速度最大時角度θ滿足的方程.

首先推導(dǎo)繩連接體關(guān)聯(lián)加速度方程,這是解決上述問題的關(guān)鍵.

如圖9 所示,假設(shè)A物體的加速度為aA,以向上為正方向;C物體的加速度為aC,以向下為正方向.將aC沿繩方向和垂直于繩方向正交分解,得C物體沿繩方向的加速度為

圖9

同樣將C物體的速度分解為沿繩方向的分速度v∥＝vCsinθ和垂直于繩方向的分速度v⊥＝vCcosθ,其中v∥使定滑輪右邊繩子伸長,所以v∥＝vA,而v⊥使C物體隨繩子繞定滑輪轉(zhuǎn)動.下面分析這兩個分速度變化在沿繩方向引起的加速度.

若只考慮C物體沿繩方向的運動,則C物體沿繩方向的加速度a1＝aA,方向背離定滑輪,此加速度是沿繩方向的分速度v∥的大小變化引起的;若只考慮C物體隨繩子繞定滑輪的轉(zhuǎn)動,則C物體沿繩方向的加速度,即C物體做圓周運動的向心加速度

方向指向定滑輪,此加速度是垂直于繩方向的分速度v⊥的方向變化引起的,故C物體沿繩方向的加速度

聯(lián)立式②③得繩連接體關(guān)聯(lián)加速度方程為

由式④可知,當(dāng)C物體的加速度aC＝0時,C物體速度vC最大,但A物體的加速度0,此時繩子的拉力FT不等于A物體的重力mg,因此在運動過程中兩物體的加速度不是同時為零,兩物體不是同時達(dá)到最大速度.另外根據(jù)繩連接體關(guān)聯(lián)加速度方程可知,對于繩或桿在轉(zhuǎn)動的連接體,沿繩或桿方向的加速度分量并不相等,這與繩或桿連接體關(guān)聯(lián)速度的特征有本質(zhì)的不同.

對A物體,由牛頓第二定律得

對C物體,由牛頓第二定律得

當(dāng)C物體速度最大時,C物體的加速度

聯(lián)立式①④⑤⑥⑦,得C物體速度最大時角度θ滿足的方程為

極值點方程⑧是一個三角函數(shù)高次方程,求出C物體速度最大時的角度θ是很困難的.同樣,為了避免不必要的麻煩而直觀地得出結(jié)論,下面我們?nèi)匀焕煤瘮?shù)圖像生成器Desmos來求解速度最大時對應(yīng)的角度,即求極值點方程⑧的數(shù)值解.

利用Desmos軟件得到f(θ)-θ和g(θ)-θ的圖像如圖10所示.

圖10

由圖像可知,兩函數(shù)f(θ)和g(θ)的圖像的交點的橫坐標(biāo)θ≈0.77rad≈44.1°,這與由圖像得出的結(jié)果完全相符,從而驗證了極值點方程⑧的正確性,進(jìn)而也驗證了繩連接體關(guān)聯(lián)加速度方程④的正確性,說明從物理的角度推導(dǎo)出C物體速度最大時角度θ滿足的方程的過程是完全正確的!

(完)