◎吳啟霞 （廣東省清遠(yuǎn)市華僑中學(xué)，廣東 清遠(yuǎn) 511538）

2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷，進(jìn)一步深化了對(duì)“立德樹(shù)人”這一根本任務(wù)的考查要求.2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷的設(shè)計(jì)進(jìn)一步從“考知識(shí)”向“考能力”轉(zhuǎn)化，尤其加強(qiáng)了對(duì)創(chuàng)新能力與批判性思維能力的考查.以“一核、四層、四翼”為主體內(nèi)容的高考評(píng)價(jià)體系，意味著高考命題和評(píng)價(jià)的新標(biāo)準(zhǔn)已然確立，高考指揮棒的指揮方向發(fā)生了根本性的轉(zhuǎn)變，它將深刻地影響每位考生和一線教師，也必將助推中國(guó)基礎(chǔ)教育改革邁向縱深.2021年的全國(guó)新高考Ⅰ卷重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維，聚焦核心素養(yǎng)，考查關(guān)鍵能力，穩(wěn)步推進(jìn)改革，倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際，科學(xué)地把握了必備知識(shí)和關(guān)鍵能力的關(guān)系，利用真實(shí)問(wèn)題情境，加大了開(kāi)放題的創(chuàng)新力度，科學(xué)地把握了數(shù)學(xué)題型的開(kāi)放性和數(shù)學(xué)思維的開(kāi)放性，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，穩(wěn)中求新，對(duì)深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.這既是一份中學(xué)數(shù)學(xué)教師喜聞樂(lè)見(jiàn)的“標(biāo)準(zhǔn)卷”，又是一份突出通性通法、落實(shí)四基四能的“方向卷”.整份卷子難度適中且保持穩(wěn)定，梯度分布合理.總而言之，這是一份質(zhì)量很高、引導(dǎo)性很好的試卷，它啟發(fā)我們：對(duì)于2022年高考備考，要按部就班地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，認(rèn)真抓落實(shí)就是最好的方式，“過(guò)程”落實(shí)了，“結(jié)果”也就瓜熟蒂落了.本文以2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題為例，通過(guò)GGB軟件分析解決問(wèn)題的動(dòng)態(tài)過(guò)程，深入剖析該題.

一、真題再現(xiàn)與賞析

（1）求的方程；

【題型分析】

又，皆為正根，

∴由弦長(zhǎng)公式可得：

即（+）（-）＝0，

顯然≠，

∴+＝0，

即直線的斜率與直線的斜率之和為0.

【題目賞析】

本題主要考查雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和雙曲線之間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題與運(yùn)算求解的能力，包含著對(duì)通性通法的常規(guī)考查，如：聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，可謂“一按三連鍵”.

第一問(wèn)直接用雙曲線的定義和+＝即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

二、GGB動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)探究，追本溯源

（一）對(duì)學(xué)生答題的思考

（二）利用GGB進(jìn)行動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)探究

圖1

結(jié)論：已知，是雙曲線的兩條弦，它們所在直線的斜率分別為，，則，，，四點(diǎn)共圓的充要條件是+＝0.據(jù)此我們?cè)诟袊@結(jié)論如此神奇的同時(shí)，又欲罷不能地借助GGB軟件繼續(xù)探索任意橢圓、雙曲線、拋物線與圓相交于四點(diǎn)的情況，分別如圖2、圖3、圖4所示.

圖2

實(shí)驗(yàn)探究成果：若橢圓與圓有四個(gè)交點(diǎn)，四點(diǎn)兩兩連線，則對(duì)應(yīng)邊直線的斜率必互為相反數(shù).

圖3

實(shí)驗(yàn)探究成果：若雙曲線與圓有四個(gè)交點(diǎn)，四點(diǎn)兩兩連線，則對(duì)應(yīng)邊直線的斜率必互為相反數(shù).

圖4

實(shí)驗(yàn)探究成果：若拋物線與圓有四個(gè)交點(diǎn)，四點(diǎn)兩兩連線，則對(duì)應(yīng)邊直線的斜率必互為相反數(shù).

根據(jù)探究結(jié)果，我們可以得出一般性結(jié)論，若圓錐曲線與圓相交于，，，四點(diǎn)，則四點(diǎn)構(gòu)成的三組直線（與，與，與）斜率相反（若存在斜率），或者敘述為傾斜角互補(bǔ).我們可以用八個(gè)字將其簡(jiǎn)述為“與圓四交，叉連互補(bǔ)”.

（三）追本溯源，高考題背景的研究

（1）求橢圓的方程；

經(jīng)過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)這兩道高考題如出一轍，都源于人教A版選修4-4第38頁(yè)例4“如圖5所示，，是中心為點(diǎn)的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為兩弦，與橢圓長(zhǎng)軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1＝∠2.求 證：｜｜·｜｜＝｜｜·｜｜”為背景進(jìn)行命制的，這體現(xiàn)了高考題有源可溯這一特點(diǎn).四點(diǎn)共圓的知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的意義，多年來(lái)，四點(diǎn)共圓問(wèn)題在高考或數(shù)學(xué)競(jìng)賽中頻繁出現(xiàn)，很多試題都是以“四點(diǎn)共圓”作為解題手段或解題目的，考查學(xué)生對(duì)平面幾何知識(shí)的掌握與運(yùn)用情況的.備考過(guò)程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生重視并學(xué)會(huì)歸納一些結(jié)論，從而快速解決高考或競(jìng)賽題目.

圖5

三、運(yùn)用GGB軟件進(jìn)行教學(xué)的若干反思

（一）利用GGB軟件，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

高中解析幾何模塊知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，解析幾何知識(shí)在歷年高考中具有舉足輕重的地位.然而在教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)其概念的理解、軌跡的探索、數(shù)學(xué)結(jié)論的探究總是困難重重，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣很難被激發(fā)，解析幾何的課堂氣氛也不太理想，教學(xué)效率十分低下.一些生源較為薄弱的學(xué)校的數(shù)學(xué)教師，對(duì)解析幾何模塊的教學(xué)存在恐懼、茫然、不知所措的心態(tài)，甚至有一些教師認(rèn)為與其將時(shí)間用在“無(wú)用”的數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題型的教學(xué)上，倒不如給其他知識(shí)模塊讓路.但是筆者認(rèn)為，如果高考回歸基礎(chǔ)和常規(guī)，學(xué)生在此模塊選擇了讓路，如果別的學(xué)校的考生在這個(gè)模塊選擇提升分?jǐn)?shù)，那么這些“讓路的學(xué)生”就相當(dāng)于隱性退步，這一策略可謂得不償失.因而我們一線教師還是要腳踏實(shí)地地做好這一模塊的教學(xué)工作.如能立足于功能強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)幾何軟件——GGB軟件，挖掘該軟件在解析幾何高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用功能，就可以改善上述現(xiàn)狀.我們要充分利用GGB軟件的輔助功能，一方面教師在課堂上通過(guò)演示，當(dāng)然條件允許的話部分環(huán)節(jié)也可以選擇讓學(xué)生自己操作，讓探究的過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)GGB動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件本身的趣味性.另一方面，在GGB環(huán)境支持下，以前教學(xué)過(guò)程中較為抽象的、學(xué)生難于理解的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)結(jié)論等也會(huì)較為容易地被學(xué)生理解.在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感油然而生，學(xué)習(xí)解析幾何的積極性自然也會(huì)被調(diào)動(dòng)起來(lái).因此，用GGB軟件整合解析幾何的教學(xué)，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一種很好的方式.

（二）讓數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單、直觀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

高中生普遍認(rèn)為，解析幾何的學(xué)習(xí)非?？菰铩┈?，很難.難在方法的多樣化、公式的煩瑣、運(yùn)算的復(fù)雜上.解析幾何涉及的知識(shí)深廣，解題方法靈活多變，解題過(guò)程中會(huì)涉及大量的未知數(shù)設(shè)置、復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)變換與代數(shù)運(yùn)算，使得學(xué)生思維受阻，難以正確解題，甚至使學(xué)生望而卻步、見(jiàn)之生畏.從本文的高考題的問(wèn)題解決過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)壓軸高考題的思維量是相當(dāng)大的，對(duì)此在課堂教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師如果用GGB軟件去直觀地詮釋問(wèn)題，鍛煉學(xué)生的思維能力，就會(huì)使得這類問(wèn)題在學(xué)生眼中變得簡(jiǎn)單而有趣.用GGB軟件充當(dāng)解題的探究者，可以撥云見(jiàn)日般地助力問(wèn)題解決，給我們的學(xué)生帶來(lái)一種成功的體驗(yàn)和喜悅.

（三）為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了探索的平臺(tái)

GGB是國(guó)際上非常流行的數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)，功能十分強(qiáng)大，它能讓數(shù)學(xué)走入實(shí)驗(yàn)室，所提供的動(dòng)態(tài)的圖形可使數(shù)學(xué)問(wèn)題可視化.而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)正是在可視化的問(wèn)題情境中，通過(guò)讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的實(shí)踐培育起來(lái)的.因而，借助GGB軟件清晰的動(dòng)態(tài)變化和幾何直觀，可以帶領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的海洋中實(shí)驗(yàn)探索，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，更好地啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開(kāi)啟學(xué)生的智慧，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，教師在課堂上通過(guò)靈活地操作GGB繪制精準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)幾何圖形，可以讓學(xué)生先猜后證，確定問(wèn)題解決的方向，給學(xué)生提供形象、生動(dòng)、直觀、靈活的問(wèn)題情境，推動(dòng)學(xué)生問(wèn)題解決能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力的發(fā)展.教師不僅可以將GGB運(yùn)用在解析幾何中定點(diǎn)、定值、軌跡等問(wèn)題的解決上，還可以將其運(yùn)用到函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等問(wèn)題的解決上.用好GGB，以可視化實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生，會(huì)為我們的教學(xué)帶來(lái)極大的方便，能夠啟迪學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征，構(gòu)建認(rèn)知情境，讓教與學(xué)更加豐富多彩.

（四）提高教師的教學(xué)效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)

靈活地運(yùn)用GGB軟件整合教學(xué)不但可以提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率，還能有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).例如，教師在圓錐曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的新授課上運(yùn)用GGB整合教學(xué)，能夠讓學(xué)生親歷整個(gè)知識(shí)的探究過(guò)程，從而將知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程動(dòng)態(tài)地遷移到腦海里，加深對(duì)知識(shí)的理解程度.同時(shí)，GGB軟件本身易操作，且對(duì)知識(shí)的詮釋顯而易見(jiàn).這些特征都能夠加快學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，從而提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率，減輕學(xué)生的課后學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).GGB軟件提供了很多便利的操作，若想快速掌握GGB軟件的基本操作方法，只需要掌握GGB平臺(tái)各項(xiàng)功能的“幾何輸入”方法；若想成為GGB軟件的操作高手，就需要掌握“代數(shù)輸入”的方法.另外，軟件本身也提供了豐富的資源，可供教師進(jìn)行各種數(shù)學(xué)公式的編輯及各種函數(shù)、曲線圖形的構(gòu)造.很多操作教師都可以在課堂上當(dāng)堂完成，這就大大地減輕了教師備課時(shí)的課件制作負(fù)擔(dān)，讓教師即教即制圖，提高了教師教學(xué)工作的效率，有利于學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).

（五）為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)架起了數(shù)形結(jié)合的橋梁

從本文對(duì)2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題的探索中可以看出，GGB軟件在探索數(shù)學(xué)問(wèn)題中，具備早在二十世紀(jì)九十年代就廣泛為數(shù)學(xué)教師使用的主流數(shù)學(xué)軟件的幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板的大部分功能，而且與這些軟件相比，它還具備獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)，如數(shù)形同步顯示等.比如，對(duì)于本文中的高考題，通過(guò)GGB軟件進(jìn)行展示，學(xué)生不僅能感受到四點(diǎn)共圓的優(yōu)美性質(zhì)，還能加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí).我們用GGB軟件直觀地將幾種圓錐曲線與圓相交于四點(diǎn)的情形呈現(xiàn)給學(xué)生，隨著圓和圓錐曲線的不斷變換，四點(diǎn)構(gòu)成的三組直線的斜率始終互為相反數(shù)，使學(xué)生從心底信服，從而產(chǎn)生非常深刻的印象.這一過(guò)程不僅奇妙，而且隱藏了規(guī)律，能夠引導(dǎo)學(xué)生揭開(kāi)問(wèn)題的面紗，激活學(xué)生的思維，讓其積極地通過(guò)代數(shù)運(yùn)算探尋真相，從代數(shù)證明的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，在GGB軟件環(huán)境下用數(shù)和形兩種方式同步顯示出來(lái)，這一動(dòng)態(tài)過(guò)程實(shí)則是深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)，從思維上解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，其中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思想、解析幾何的原理.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，借助GGB的教學(xué)可以讓其形成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)對(duì)象的多元表征.總之，用GGB軟件整合高中數(shù)學(xué)的教學(xué)有利于學(xué)生在心理上建立和強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)架起數(shù)形結(jié)合的橋梁，實(shí)現(xiàn)寓美于教、以美啟智的教學(xué)目標(biāo).