葉友東，范武勝，王小崗

(安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

遺傳算法是一種基于自然選擇和群體進(jìn)化制在全局進(jìn)行搜索尋優(yōu)的高效參數(shù)優(yōu)化方法。由于遺傳算法對非線性不連續(xù)的多峰函數(shù)和不能建立解析表達(dá)式的優(yōu)化問題有很強(qiáng)的通用性，對目標(biāo)函數(shù)具有全局優(yōu)化性和穩(wěn)健性，并且與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊推理等學(xué)科相互滲透，它在工程優(yōu)化設(shè)計的許多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。

錐齒輪用于任意兩相交軸之間的傳動，其輪齒分布在截錐體上，齒形從大端到小端逐漸變小。錐齒輪傳動的傳統(tǒng)設(shè)計方法通常是按照齒面接觸疲勞強(qiáng)度設(shè)計計算得出小齒輪分度圓直徑，再結(jié)合初選齒數(shù)計算得到模數(shù)，最后校核其齒根彎曲強(qiáng)度[1]。這種設(shè)計方法雖能保證齒輪參數(shù)滿足設(shè)計要求，但往往強(qiáng)度過于富裕，導(dǎo)致錐齒輪傳動中心距較大、外廓尺寸偏大。文章基于遺傳算法理論和錐齒輪傳動的特點(diǎn)，在錐齒輪傳動滿足傳動參數(shù)和承載能力的條件下，選擇齒輪副參數(shù)使其整體尺寸(體積)最小，通過實例驗證，利用MATLAB軟件系統(tǒng)中的遺傳算法工具箱(GA Toolbox)對錐齒輪傳動進(jìn)行優(yōu)化計算，結(jié)果驗證了遺傳算法在錐齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計中的有效性和正確性。

1 遺傳算法基本步驟和流程

遺傳算法的基本步驟是：首先對可行域中的點(diǎn)進(jìn)行編碼，然后從中隨機(jī)選擇一些編碼作為進(jìn)化起點(diǎn)的第一代編碼組，并計算每一個解(編碼)的目標(biāo)函數(shù)值(編碼的適應(yīng)度)[2]。按照選擇機(jī)制從編碼組中挑選一些編碼作為繁殖過程前的編碼樣本。使用遺傳算法提供的交叉和變異算子對挑選出的樣本進(jìn)行計算，交叉算子隨機(jī)交換兩個編碼的某些位，變異算子則對某個編碼的某一位進(jìn)行反轉(zhuǎn)，產(chǎn)生新一代編碼組。重復(fù)上述選擇和繁殖過程，直至進(jìn)化的代數(shù)超過預(yù)先的給定值，輸出最后一代的編碼組作為優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

圖1 遺傳算法的基本流程

2 錐齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)建模

2.1 目標(biāo)函數(shù)建立

在直齒錐齒輪傳動設(shè)計中，人們總希望設(shè)計出體積小、重量輕及承載能力大的齒輪傳動。因此在滿足承載能力的條件下，以最小體積為優(yōu)化目標(biāo)，故目標(biāo)函數(shù)可由式(1)表示。

2.2 設(shè)計變量確定

從錐齒輪副的體積計算公式可知，影響其大小的獨(dú)立參數(shù)有小錐齒輪齒數(shù)z1、錐齒輪的大端模數(shù)m和齒寬系數(shù)φR，因此設(shè)計變量可由式(2)確定。

X=[z1,m,φR]T=[x1,x2,x3]T

(2)

2.3 約束條件建立

1)齒面接觸疲勞強(qiáng)度條件[3]237

(3)

2)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度條件[3]237

g2(X)=[σF]-

(4)

3)邊界條件約束

小錐齒輪不根切齒數(shù)條件：z1max≥z1≥17cosδ1；齒輪副模數(shù)限制條件：mmax≥m≥2；齒輪副齒寬系數(shù)限制條件：0.35≥φR≥0.25。

2.4 模糊優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

1)模糊約束的處理 本文所討論的直齒錐齒輪傳動的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，是一個具有普通模糊約束的非對稱模糊優(yōu)化問題，可采用最優(yōu)水平截集法[5]。將各模糊約束條件轉(zhuǎn)化為普通約束，這樣直齒錐齒輪傳動模糊優(yōu)化問題，就可等價于最優(yōu)水平截集上的非模糊優(yōu)化問題。

2)適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造 由上可知，該優(yōu)化問題屬于一個三維的非線性約束優(yōu)化問題。將三維約束非線性規(guī)劃問題構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)形式的適應(yīng)度函數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)造如式(5)所示。

Val(X)=f(X)+p(X)

(5)

式中：X代表染色體，f(X)是優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，p(X)是懲罰項。

考慮到該錐齒輪傳動為閉式傳動，根據(jù)齒輪傳動設(shè)計計算準(zhǔn)則，應(yīng)以齒面接觸疲勞強(qiáng)度作為主要計算依據(jù)，再取校核其齒根彎曲疲勞強(qiáng)度，因此，在適應(yīng)度函數(shù)的懲罰項因子中，取齒面接觸疲勞強(qiáng)度條件的懲罰項因子為r1=1，而齒根彎曲強(qiáng)度條件的懲罰因子為r2=0.5[6]。因此該優(yōu)化模型的懲罰函數(shù)可由式(6)表示。

(6)

3 實例驗證

設(shè)計一軸交角Σ=90°的工業(yè)用閉式錐齒輪傳動，已知主動小錐齒輪傳遞的功率是P1=9.2kW，轉(zhuǎn)速n1=970r/min，傳動比i=3，精度等級為7級，電機(jī)驅(qū)動，工作機(jī)載荷平穩(wěn)，小錐齒輪懸臂布置，大錐齒輪兩端支承，設(shè)計壽命為10 000h。小錐齒輪材料為40Cr，調(diào)質(zhì)處理至硬度為260HBS，大錐齒輪材料為45鋼，調(diào)質(zhì)處理至硬度為230HBS。試對該直齒錐齒輪傳動進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

3.1 遺傳算法的M文件編制

部分遺傳函數(shù)代碼如下

function[sol,y]=GA_yzhcl(sol,options)

x(1)=sol(1);x(2)=sol(2);x(3)=sol(3);

u=3;

d1=x(1)*x(2)/2;

d2=u*d1;

R=d1*sqrt(1+u^2);

b=x(3)*R;

sdelta1=x(1)*x(2)/(2*R);

cdelta1=sqrt(1-sdelta1^2);

sdelta2=u*sdelta1;

cdelta2=sqrt(1-sdelta2^2);

v1=cdelta1*(d1^2+d1*((R-b)*d1/R)+((R-b)*d1/R)^2);

v2=cdelta2*(d2^2+d2*((R-b)*d2/R)+((R-b)*d2/R)^2);

f=pi/3*b*(v1+v2);

K=2.0;T1=90.6;

SigmaH=640;SigmaF=250;

zv1=x(1)/cdelta1;

Yfs=zv1/(0.269118*zv1-0.840687);

g1= SigmaH-949*sqrt(K*T1/(x(3)*(1-0.5*x(3))^2*d1^3*u));

g2= SigmaF-4*K*T1* Yfs/(x(3)*(1-0.5*x(3))^2*x(1)^2*x(2)^3*sqrt(1+u^2));

r1=1;r2=0.5;

p=r1*g1.^2+r2*g2.^2;

if(g1>=0)&(g2>=0)

y=-f;

else

y=-(f+p);

end

調(diào)用遺傳優(yōu)化算法函數(shù)文件initializega[7]，初始種群規(guī)模太小會導(dǎo)致精度不足且解不穩(wěn)定，太大會導(dǎo)致計算收斂變慢，運(yùn)行時間變長，初始種群規(guī)模一般可選10～160[8]，這里選取30個，進(jìn)化繁殖100代，其他參數(shù)默認(rèn)。

%生成初始種群，個體數(shù)目取30

bounds=[17 35;2 10;0.25 0.35];

startpop=initializega(30,bounds, 'GA_yzhcl',[]);

%遺傳優(yōu)化算法搜索

[xf,endpop,beestsSols,trace]=ga(bounds,'GA_yzhcl',[],[],[],'maxgenterm',100);

vpa(beestsSols,4)

vpa(xf,4)

3.2 優(yōu)化前后結(jié)果對比

通過運(yùn)行優(yōu)化算法程序，繁殖到第72代時，目標(biāo)函數(shù)值基本保持不變，其最優(yōu)解為

(7)

目標(biāo)函數(shù)結(jié)果f(X*)=-y=7.699 2×105

對于小錐齒輪的齒數(shù)，須將設(shè)計變量x1優(yōu)化結(jié)果18.87圓整為19，優(yōu)化前后錐齒輪傳動各設(shè)計參數(shù)對比如表1所示。

表1 優(yōu)化前后結(jié)果對比

由表1可以看出，采用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計出的錐齒輪副體積為7.699 2×105mm3，而采用傳統(tǒng)方法設(shè)計的錐齒輪副體積為9.196 9×105mm3，經(jīng)計算、對比，遺傳算法優(yōu)化后的錐齒輪傳動副體積較常規(guī)設(shè)計下降了16.3%，優(yōu)化效果較好。

4 結(jié)論

論文采用遺傳算法解決了錐齒輪副追求體積最小的三維非線性約束優(yōu)化問題，配合使用MATLAB的優(yōu)化工具箱獲得了錐齒輪的最優(yōu)參數(shù)，通過實例驗證了優(yōu)化效果。應(yīng)用優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行設(shè)計比用傳統(tǒng)方法進(jìn)行設(shè)計提高了設(shè)計水平、節(jié)省了金屬材料、降低了成本，為產(chǎn)品的改進(jìn)設(shè)計提供了理論依據(jù)，同時本文所用遺傳算法優(yōu)化方法為其他齒輪傳動的優(yōu)化設(shè)計提供了參考。