周文梁，康靜，李莎，黃裕

(中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

高鐵列車開行方案確定了給定高鐵線網(wǎng)上開行列車數(shù)量以及各列車開行徑路、編組、停站與開行時(shí)段等，其編制密切依賴于高鐵出行需求?！鞍戳鏖_車”是設(shè)計(jì)列車開行方案的最主要原則，既有研究通常針對單個(gè)運(yùn)營日固定需求、彈性需求等優(yōu)化列車開行方案。PARK 等[1-2]基于客流預(yù)測的固定需求值，兼顧鐵路企業(yè)和旅客利益建立列車開行方案的多目標(biāo)優(yōu)化模型。史峰等[3]指出客運(yùn)需求與旅客出行費(fèi)用之間相互影響，彈性需求由固定需求波動(dòng)而來，進(jìn)而提出構(gòu)造旅客運(yùn)輸彈性需求函數(shù)，以此需求優(yōu)化列車開行方案。呂葉[4]通過“監(jiān)測與預(yù)測相結(jié)合”的方法獲取動(dòng)態(tài)客流需求，提出基于動(dòng)態(tài)客流調(diào)整列車開行方案的反饋模式。史峰等[5]針對一天內(nèi)旅客需求在各時(shí)段的差異，在傳統(tǒng)開行方案中引入列車始發(fā)時(shí)間，提出面向旅客服務(wù)水平的開行方案優(yōu)化方法。在高鐵實(shí)際運(yùn)營組織中，不同運(yùn)營日的出行需求在需求總量及其全天時(shí)空分布上均具有顯著差異。目前鐵路客運(yùn)企業(yè)分別針對工作日、周末和節(jié)假日制定不同的列車開行方案，采用“日常線+周末線+高峰線”的模式。該方法適合于客流需求符合周期性波動(dòng)的高鐵線路，通常周內(nèi)是出行平峰，周末是出行高峰，并且各運(yùn)營日出行需求的時(shí)空分布也很相似。然而存在不少高鐵線路，其客流需求不符合這種嚴(yán)格規(guī)律性變化。因此，非常有必要面向需要實(shí)施同一方案的多個(gè)運(yùn)營日的出行需求優(yōu)化列車開行方案。近年來不少學(xué)者研究列車開行方案魯棒優(yōu)化方法，核心思想是基于波動(dòng)的客流需求找到不利情況下的最佳方案，即在所有可能情況下均可行且接近最優(yōu)解的次優(yōu)解，使得該開行方案實(shí)施于各運(yùn)營日后，其經(jīng)濟(jì)性、服務(wù)水平不會很差。蒲松等[6-8]將客流需求限定于預(yù)測均值與峰值所構(gòu)成的區(qū)間，以魯棒性調(diào)節(jié)系數(shù)對需求變化的范圍進(jìn)行控制，構(gòu)建可調(diào)魯棒優(yōu)化模型以解決因列車運(yùn)能不足導(dǎo)致的“棄流”問題，從而協(xié)調(diào)開行方案的魯棒性、經(jīng)濟(jì)性和服務(wù)水平。CACCHⅠANⅠ等[9]提出4 個(gè)魯棒優(yōu)化模型，其中之一是以未滿足的客流需求最少為目標(biāo)，以客流需求波動(dòng)區(qū)間、列車總旅行時(shí)間和停站總次數(shù)的限制作約束條件構(gòu)建模型。但這些研究主要驗(yàn)證了魯棒性調(diào)節(jié)系數(shù)的變化越大，則客流波動(dòng)范圍越大，其對開行方案的影響就越大，并沒有衡量得到的魯棒優(yōu)化方案是否接近各運(yùn)營日的最優(yōu)方案。本文將實(shí)施同一列車開行方案的每個(gè)運(yùn)營日的實(shí)際需求視為一種需求情景，首先生成適應(yīng)多需求情景的統(tǒng)一候選列車集，再以最小化最大后悔值[10](運(yùn)營日實(shí)施的開行方案的目標(biāo)值與該日最優(yōu)方案目標(biāo)值之差)為目標(biāo)建立魯棒優(yōu)化模型，然后設(shè)計(jì)面向多個(gè)運(yùn)營日差異化需求情景的模擬退火求解算法，得到能夠同時(shí)有效適應(yīng)各運(yùn)營日出行需求的魯棒優(yōu)化方案。

1 問題分析和描述

考慮由N個(gè)車站構(gòu)成的復(fù)線高鐵線路，記下行方向車站依次為1,2,…,N。由于開行方案編制階段高鐵線路上、下行列車開行安排可視為相互獨(dú)立，故本文僅研究下行方向列車開行方案。

1.1 需求情景集

將實(shí)施同一列車開行方案的每個(gè)運(yùn)營日的出行總量及其時(shí)空分布描述為一種需求情景，所有需求情景構(gòu)成本文研究面對的需求情景集，記為R。需求情景集R可以結(jié)合OD 客流預(yù)測與基于高鐵售票數(shù)據(jù)的客流出行分布規(guī)律獲得，即首先借助于歷史售票數(shù)據(jù)分析擬合各OD 客流在不同運(yùn)營日與全天不同時(shí)段的概率分布，進(jìn)而將預(yù)測的各OD 需求量按此概率分布分散到各運(yùn)營日以及各時(shí)段即可。因篇幅有限本文假定該需求情景集R已獲得。

在任意需求情景r∈R內(nèi)，每個(gè)OD 需求具有顯著的時(shí)變特征。簡便起見，將旅客全天出行時(shí)間范圍劃分為等時(shí)間長度，記M為需求時(shí)段總數(shù)，對于其中第m=1,2,…,M個(gè)時(shí)段，記和分別為其起始時(shí)刻與終止時(shí)刻。對于情景r∈R，記為起點(diǎn)i至終點(diǎn)i'的需求在時(shí)段m的出行量，其期望出發(fā)時(shí)間統(tǒng)一假定為時(shí)段m的中間時(shí)刻，即為。

1.2 適應(yīng)多日需求的候選列車集

預(yù)先確定候選列車集不僅能確保開行列車更符合實(shí)際要求，而且有助于降低問題求解難度。針對單一需求情景，候選列車集的生成通常是先將不具備始發(fā)終到條件車站之間的客流歸結(jié)到鄰近具有始發(fā)終到條件車站，然后以具有始發(fā)終到條件的車站作為候選列車的起訖點(diǎn)，并依據(jù)車站始發(fā)終到能力、起訖點(diǎn)間客流分布、線路運(yùn)輸能力等限制大致確定候選列車數(shù)量及其開行路徑與時(shí)間范圍[11]。由于考慮多種具有差異性的需求情景，按各需求情景分別生成的候選列車集同樣具有一定差別，為了使各需求情景實(shí)施同一列車開行方案，故需要生成統(tǒng)一的候選列車集。將每個(gè)需求情景對應(yīng)的候選列車集按一定規(guī)則整合，既避免簡單合并造成候選列車集規(guī)模激增，又能保證總候選列車集可以包括所有需求情景下旅客出行可選的列車。

記Lr為根據(jù)需求情景r生成的候選列車集，L={l=(Sl,El,ml)}為適應(yīng)所有需求情景的總候選列車集，其中，l為一候選列車，Sl為候選列車l從始發(fā)站Ol至終到站Dl的途經(jīng)車站集，El={ei,i+1=(i,i+1)|i,i+1 ∈Sl}為途經(jīng)區(qū)間集，ml為候選列車l的始發(fā)時(shí)段。對于總候選列車集L與需求情景r對應(yīng)候選列車集Lr，其所包含的時(shí)段m內(nèi)從起點(diǎn)站o開往終到站d的候選列車數(shù)量分別記為建立兩者關(guān)系如下：

其中，P為所有需求情景所產(chǎn)生候選列車的起訖點(diǎn)對集合。

在所有Lr的基礎(chǔ)上，按式(1)關(guān)系確定總候選列車集L中各時(shí)段m，各起訖點(diǎn)(o,d)之間候選列車數(shù)量進(jìn)而按此數(shù)量生成相應(yīng)時(shí)段、相應(yīng)起訖點(diǎn)對之間的多列候選列車，由此生成總候選列車集L。如圖1 所示，假定A，B，D 和E 均為始發(fā)站或終到站，在時(shí)段m內(nèi)起訖點(diǎn)為(A,E)的列車在3 個(gè)需求情景中的開行數(shù)量分別為3，5 和4 列，則在集合L中該候選列車開行數(shù)量為其中最大值5列；此外，雖然起訖點(diǎn)為(A,B)和(B,D)的列車只在情景1和情景3開行，但必須包含在集合L內(nèi)。

圖1 候選列車集生成示意圖Fig.1 Diagram of a candidate-train-set generation

1.3 問題描述

本文研究問題可描述為：基于給定的高鐵線路以及該線路多個(gè)運(yùn)營日需求情景集，從所給候選列車中選擇部分開行，并進(jìn)一步優(yōu)化列車停站和開行時(shí)間，在有效滿足所有運(yùn)營日出行客流服務(wù)的基礎(chǔ)上，提高鐵路企業(yè)的列車開行效益。

針對候選列車集L中每列候選列車，設(shè)置如下決策內(nèi)容：

1)xl：候選列車l是否開行的0-1決策變量，若開行，則xl=1；否則，xl=0。

3)：候選列車l在其始發(fā)站Ol∈Sl的發(fā)車時(shí)刻。

為簡化開行方案優(yōu)化問題的復(fù)雜性，運(yùn)用以下假設(shè)條件：

1)假設(shè)各候選列車定員和速度等級相同；

2) 假設(shè)旅客選擇直達(dá)目的地的列車，不考慮換乘情況。

2 模型構(gòu)建

2.1 列車開行成本和旅客出行費(fèi)用分析

列車開行成本主要包括組織成本和運(yùn)行成本(與列車旅行時(shí)間成正比)，可表示為：

其中，co為單位列車組織成本，元/列；cv為列車單位時(shí)間運(yùn)行成本，元/min；為列車l在終到站Dl∈Sl的到達(dá)時(shí)刻。

為衡量開行方案適應(yīng)各需求情景的程度，故需同時(shí)計(jì)算各情景下旅客出行費(fèi)用，包括出發(fā)時(shí)間偏差(旅客期望出發(fā)時(shí)刻與所乘列車實(shí)際發(fā)車時(shí)刻之差)、旅行時(shí)間和票價(jià)，分別表示為：

利用旅客單位時(shí)間價(jià)值系數(shù)ψ將時(shí)間轉(zhuǎn)化為與票價(jià)量綱相同的費(fèi)用，則情景r∈R下旅客出行總費(fèi)用表示為：

2.2 基于最小最大后悔值的魯棒優(yōu)化模型

通常每種需求情景對應(yīng)一個(gè)最優(yōu)開行方案，而在多需求情景下，魯棒方案需要使開行列車與各需求情景的匹配性均較好。最小最大后悔值的思想來源于最小目標(biāo)損失，即決策者從所選方案的成本與放棄的可能最低成本之間的差額最小的角度考慮制定決策[11]。本文用后悔值作為魯棒解與最優(yōu)解產(chǎn)生目標(biāo)值的偏差，通過最小化最大后悔值(目標(biāo)損失最大情況下的偏差)求解與各情景的最優(yōu)解偏差最小的魯棒解。

基于最小最大后悔值的魯棒優(yōu)化模型目標(biāo)如下：

其中，Zr表示以需求情景r的客流分布優(yōu)化開行方案產(chǎn)生的最優(yōu)目標(biāo)值；表示魯棒解g*用于情景r得到的目標(biāo)值，則為魯棒解用于情景r時(shí)目標(biāo)值與該情景下最優(yōu)目標(biāo)值的偏差，即魯棒方案用于情景r的后悔值。

針對特定需求情景r，列車開行方案優(yōu)化目標(biāo)是最小化列車開行成本與旅客出行費(fèi)用之和，即：

模型所需考慮的相關(guān)約束條件如下。

1)各時(shí)段的區(qū)間列車通過能力約束。

2)OD對服務(wù)水平的約束。

其中，l,l'∈L為在OD 客流起訖點(diǎn)(i,i')均停站的相鄰2 列車，約束(10)限制這2 列車的時(shí)間間隔不能超過該時(shí)段允許的最大服務(wù)間隔ρm，即列車對各OD的服務(wù)必須保持在一定水平。

3)列車停站約束。

約束(11)確保任意列車l∈L在未開行時(shí)，其在中間車站均應(yīng)不停車；若開行，其在中間停站不受限制。

4)客流約束。

其中，Cap為列車定員，人/列；為列車l在 運(yùn)行 區(qū) 間ei,i+1上 的 載 客 量 ，=表示乘坐列車l的OD 客流是否經(jīng)過運(yùn)行區(qū)間ei,i+1，若經(jīng)過，則=1，否則為0。

約束(12)確保各時(shí)段的OD 客流都會被分配到各列車上，使客流需求守恒。約束(13)和約束(14)保證分配至列車l的OD 客流量為非負(fù)數(shù)以及列車l在各運(yùn)行區(qū)間的載客量不超出列車定員。

3 算法設(shè)計(jì)

考慮到模擬退火算法具有搜索新解能力較強(qiáng)、適用性較好等優(yōu)勢，被證實(shí)能有效求解列車開行方案優(yōu)化問題[5]，因此本節(jié)將結(jié)合模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)模擬退火求解算法。

由于列車開行方案優(yōu)化問題的復(fù)雜性，目前難以獲得各需求情景下最優(yōu)列車開行方案，一般只能獲得近似最優(yōu)解[13]，亦稱作各需求情景的滿意解。顯然采用各情景的滿意解計(jì)算最大后悔值并不準(zhǔn)確，為保證魯棒解的優(yōu)化質(zhì)量，在求解過程中還需要結(jié)合魯棒解的更新來改進(jìn)各情景滿意解。為此構(gòu)建如圖2所示的求解算法框架。

3.1 面向多需求情景的魯棒鄰域解搜索策略

首先同時(shí)分配各需求情景下的客流[14]，在評估各開行列車服務(wù)質(zhì)量的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)如下鄰域解搜索策略并且按照調(diào)整列車開行數(shù)量、停站計(jì)劃和始發(fā)時(shí)刻的順序依次執(zhí)行，以更新當(dāng)前列車開行方案。

1) 增刪開行列車

采用文獻(xiàn)[15]中4.2 小節(jié)停開列車的策略，但不同的是本節(jié)計(jì)算各需求情景下各開行列車的平均客座率取各情景的平均值作為該列車客座率ηl；然后針對當(dāng)前每列開行列車，計(jì)算其被停開的概 率其 中ηmax=為各列車中客座率最大值，進(jìn)而按此概率采用輪盤賭方式選擇列車予以停開，并釋放相應(yīng)的客流。

對于釋放的OD 客流，首先考慮將其安排到同時(shí)段內(nèi)具備可用能力的未停開列車上；對于無法安排的所有OD 客流，按其客流量以多到少的順序，選擇最合適的未開行候選列車并計(jì)算其平均客座率，若達(dá)到規(guī)定閾值則予以開行。任意增開的候選列車以其發(fā)車時(shí)段內(nèi)最大時(shí)間空擋的中間時(shí)刻始發(fā)，按站站停方式生成停站。

2) 調(diào)整列車停站

運(yùn)用文獻(xiàn)[15]中4.2 小節(jié)取消和新增列車停站的策略，但不同的是本節(jié)計(jì)算每種需求情景下列車l在車站i的上下車客流量與在車站i相繼停車的2 列車在該站的發(fā)車時(shí)間差值的乘積，然后取各情景下該乘積的平均值，再計(jì)算概率采用輪盤賭的方式調(diào)整停站。

3) 調(diào)整列車始發(fā)時(shí)刻

運(yùn)用文獻(xiàn)[15]中4.2 小節(jié)調(diào)整列車始發(fā)時(shí)刻的策略，但不同的是本節(jié)計(jì)算每種需求情景下乘坐各當(dāng)前開行列車旅客的出發(fā)時(shí)間總偏差，然后取各情景下的平均值，再計(jì)算概率采用輪盤賭的方式調(diào)整始發(fā)時(shí)刻。

值得注意的是生成鄰域解的方法并不是執(zhí)行一個(gè)搜索策略就需要進(jìn)行一次客流分配，因此改變策略執(zhí)行順序不會對優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生影響。

3.2 模擬退火算法步驟

模擬退火計(jì)劃表相關(guān)參數(shù)包括：初始溫度Ψ0，溫度下降比例θ，終止溫度Ψend，恒溫迭代上限Umax，最優(yōu)解保持次數(shù)φ。算法終止條件為溫度下降至終止溫度Ψend或者最大后悔值在迭代φ次后無改變。

綜上，形成面向多日需求情景的高鐵列車開行方案魯棒優(yōu)化的模擬退火求解算法如下。

輸入：高鐵線路，候選列車集L，需求情景集R，模擬退火計(jì)劃表參數(shù)。

輸出：魯棒解g*，最小最大后悔值F。

Step 1設(shè)置模擬退火計(jì)劃表參數(shù)初始值，令當(dāng)前溫度Ψ=Ψ0，恒溫迭代次數(shù)n=1。

Step 2首先應(yīng)用文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)的針對單一需求的列車開行方案優(yōu)化算法分別生成各需求情景r的初始滿意解并設(shè)置各情景的當(dāng)前滿意解為=相應(yīng)的目標(biāo)值表示為Zr*。以各需求情景當(dāng)前滿意解分別作為魯棒解，計(jì)算相應(yīng)的最大后悔值，最后以最小的最大后悔值F(0)所對應(yīng)的情景滿意解作為魯棒初始解g*(0)，設(shè)置當(dāng)前魯棒解為并且令當(dāng)前最大后悔值為=F(0)。

Step 3基于當(dāng)前魯棒解分別為各需求情景的OD 客流進(jìn)行分配，以此為依據(jù)運(yùn)用鄰域解搜索策略產(chǎn)生魯棒鄰域解g(n)。

Step 4針對任意需求情景r∈R，若魯棒鄰域解g(n)使得Zr*＞Zr(g(n))，則更新該需求情景滿意解為并令Zr*=Zr(g(n))；否則，保持原來滿意解不變。

Step 5計(jì)算當(dāng)前魯棒鄰域解g(n)的最大后悔值F′，并與當(dāng)前最大后悔值比較，執(zhí)行Metropolis準(zhǔn)則：

2)若F′＞且則接受魯棒鄰域解g(n)為當(dāng)前魯棒解且令

Step 6檢驗(yàn)當(dāng)前溫度下迭代次數(shù)，若n=Umax，則降溫退火，令Ψ=Ψ×θ，n=1；否則，令恒溫迭代次數(shù)n=n+1，轉(zhuǎn)Step 3。

Step 7若Ψ＜Ψend或者當(dāng)前最大后悔值在φ次迭代中未改變，則算法終止，輸出最終的魯棒解g*；否則，令n=1，轉(zhuǎn)Step 3。

4 算例分析

本節(jié)以寧杭高鐵線路為例檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃退惴ǖ那蠼庑屎唾|(zhì)量。寧杭高鐵全長256 km，共設(shè)南京南站、江寧站、句容西站、溧水站、瓦屋山站、溧陽站、宜興站、長興站、湖州站、德清站和杭州東站共11 個(gè)車站。本文僅優(yōu)化南京至杭州下行方向的列車開行方案，旅客全天的出行時(shí)間范圍為06:00～23:00，以1 h 為時(shí)長，共劃分為17 個(gè)時(shí)段。

考慮某周工作日5天的客流需求作為需求情景集，每天的出行需求總量分別為87 050，90 639，86 787，85 075，88 046 人次。各候選列車起訖點(diǎn)均為南京南站和杭州東站，其中出行高峰時(shí)段8:00～11:00 與14:00～16:00 候選列車均為8 列，其他時(shí)段為7列，全天共124列。

列車運(yùn)營相關(guān)參數(shù)：列車運(yùn)行速度300 km/h，列車定員1 053 人/列， 列車人公里票價(jià)率0.60元/(km·人)(按不同席別的座位數(shù)比例和客流出行距離比例計(jì)算得到)，列車中間站停站時(shí)間3 min，列車單位組織成本4 000 元/列，列車單位時(shí)間運(yùn)行成本150 元/min，旅客的單位時(shí)間價(jià)值系數(shù)37.8 元/h[16]，服務(wù)于OD 對的列車最大時(shí)間間隔在出行高峰時(shí)段取45 min，其他時(shí)段取70 min。模擬退火算法相關(guān)參數(shù)：初始溫度Ψ0=10 000 ℃，終止溫度Ψend=100 ℃,降溫速率θ=0.9，恒溫迭代上限Umax=30，最優(yōu)解保持次數(shù)φ=600。

算例求解采用MATLAB R2018a 編程實(shí)現(xiàn)。獲得各情景初始滿意解之后，最大后悔值收斂過程如圖3所示，達(dá)到最優(yōu)解保持次數(shù)后算法終止，曲線趨于平穩(wěn)，證明該算法收斂性較好。

圖3 最大后悔值收斂圖Fig.3 Convergence diagram of maximum regret value

基于5 種需求情景得到的魯棒優(yōu)化方案如圖4所示，其中包含列車的起訖點(diǎn)、開行數(shù)量、停站方案和開行時(shí)間等基本信息。共開行南京南至杭州東的列車61 列，包括直達(dá)列車9 列，站站停列車1 列以及擇站停列車51 列。南京南站至杭州東站的客流需求相對于其他OD 對較多，因此需保證有一定數(shù)量的直達(dá)列車以提高這部分客流的出行效率。

圖4 寧杭高鐵下行方向列車開行方案Fig.4 Train plan of Ning-hang high-speed railway downward direction

為了分析魯棒方案實(shí)施于各運(yùn)營日的效果，考慮以下3種方案實(shí)施情形：其一，針對每個(gè)運(yùn)營日需求獨(dú)立生成實(shí)施列車開行方案，記為Sbest；其二，分別將基于每日需求獲得的滿意方案作為實(shí)施方案應(yīng)用于所有運(yùn)營日，分別記為S1,S2,…S5；其三，將本文獲得魯棒方案實(shí)施于所有運(yùn)營日，記為Srobust。3 種方案實(shí)施情形對應(yīng)的各項(xiàng)指標(biāo)在5種情景中的平均值見表1。結(jié)果表明若從各需求情景的滿意方案中選擇一套開行方案實(shí)施于所有運(yùn)營日，其總目標(biāo)以及平均最大后悔值均大于本文所得魯棒方案。相比情形S1,S2,…S5，情形Srobust下平均最大后悔值(5.073×104元)最小，與情形Sbest的總目標(biāo)僅相差0.56%，這說明魯棒方案能夠比各需求情景獨(dú)立優(yōu)化產(chǎn)生的滿意方案更能有效適應(yīng)多日需求。

表1 3種方案實(shí)施情形關(guān)于各項(xiàng)指標(biāo)的對比Table 1 Comparison of the indicators among the three implementation of the schemes

圖5給出了魯棒方案中各時(shí)段開行列車數(shù)與服務(wù)OD 客流量之間的匹配性。在8:00～11:00 和15:00～16:00 時(shí)段出行客流量最多，相應(yīng)地開行列車數(shù)達(dá)到6 列左右；而在其余時(shí)段因客流相對較少，故列車開行3～4 列。由此可見開行列車數(shù)與客流需求隨時(shí)間的變化趨勢基本一致，這表明魯棒方案能夠使得各時(shí)段開行列車有效匹配各時(shí)段出行需求量。

圖5 各時(shí)段開行列車數(shù)與服務(wù)OD客流量的匹配性Fig.5 Matching of the number of trains and the OD passenger flow in each period

圖6 展示了各需求情景中各區(qū)間的運(yùn)輸能力、斷面客流量和平均客座率的變化情況。運(yùn)輸高峰區(qū)間為溧水—宜興區(qū)段，該區(qū)段的客座率在80%以上，大部分區(qū)間的客座率在70%左右，客座率最小值在50%左右，因此魯棒方案中列車運(yùn)輸能力在各需求情景下均得到了較好的利用。

圖6 各需求情景下各區(qū)間的運(yùn)輸能力、斷面客流量和平均客座率Fig.6 Transportation capacity,cross-section passenger flow and average seat rate of each section under each demand scenario

5 結(jié)論

1) 本文考慮需要實(shí)施同一列車開行方案的多個(gè)運(yùn)營日的差異化需求來優(yōu)化開行方案，以最小化魯棒方案與各需求情景的最優(yōu)方案產(chǎn)生目標(biāo)值的偏差為目標(biāo)構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型，然后根據(jù)模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)求解算法以改進(jìn)魯棒解。

2) 算例分析表明：魯棒方案實(shí)施于各運(yùn)營日與其實(shí)施各自滿意方案相比，在總目標(biāo)上僅相差0.56%，并且從各需求情景的滿意方案中任意選擇一個(gè)實(shí)施于所有運(yùn)營日，其總目標(biāo)均大于本文所得魯棒方案，證明本文提出的列車開行方案魯棒優(yōu)化方法具有一定有效性和可行性。

3)沒有考慮列車類別以及高鐵線網(wǎng)中OD 對客流的換乘情況，所以研究仍存在一定不足，下一步工作不僅應(yīng)著眼于此，還可以將列車開行方案與時(shí)刻表進(jìn)行協(xié)同魯棒優(yōu)化。