江蘇 呂朝陽(yáng) 王 虹

2021年江蘇省高考物理卷第14題是一道模型新穎、設(shè)計(jì)精巧的學(xué)習(xí)探索類(lèi)情境綜合試題，其顯著特征是在系統(tǒng)中有一個(gè)或多個(gè)物體做勻速圓周或非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，考查的知識(shí)點(diǎn)有力的平衡、圓周運(yùn)動(dòng)(向心力與向心加速度)、彈性勢(shì)能和功能關(guān)系等，對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力有很好的檢測(cè)作用。受此影響，在此后的各地高三模擬考試卷中出現(xiàn)了大量的變式題?，F(xiàn)將此類(lèi)變式題型歸類(lèi)分析，并研究和總結(jié)解題策略。

【高考原題】如圖1所示的離心裝置中，光滑水平輕桿固定在豎直轉(zhuǎn)軸的O點(diǎn)，小圓環(huán)A和輕質(zhì)彈簧套在輕桿上，長(zhǎng)為2L的細(xì)線和彈簧兩端分別固定于O和A，質(zhì)量為m的小球B固定在細(xì)線的中點(diǎn)，裝置靜止時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角為37°，現(xiàn)將裝置由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)細(xì)線與豎直方向的夾角增大到53°時(shí)，A、B間細(xì)線的拉力恰好減小到零，彈簧彈力與靜止時(shí)大小相等、方向相反，重力加速度為g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

圖1

變式類(lèi)型一、含彈簧的多物體系統(tǒng)

在處理含彈簧且系統(tǒng)內(nèi)有一個(gè)或多個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題時(shí)，要從以下4個(gè)方面進(jìn)行突破。

②找準(zhǔn)系統(tǒng)中各物體之間力的聯(lián)系。多物體系統(tǒng)中，物體之間一般是通過(guò)輕繩、輕桿或輕彈簧連接，需要通過(guò)分析輕繩、桿和彈簧中力的大小和方向來(lái)尋找物體間力的聯(lián)系，這也是解決多物體系統(tǒng)問(wèn)題常見(jiàn)的思路之一。

③分析系統(tǒng)中做圓周運(yùn)動(dòng)物體的向心力的來(lái)源。在這類(lèi)題型中，做圓周運(yùn)動(dòng)物體的受力一般相對(duì)較復(fù)雜，對(duì)應(yīng)的解題思路是將物體所受的力均沿半徑方向和垂直半徑的方向進(jìn)行正交分解，沿著半徑方向的合力就是向心力。

④透析功和能的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系以及能量的轉(zhuǎn)化情況。當(dāng)研究對(duì)象為系統(tǒng)時(shí)，如果只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，則利用機(jī)械能守恒定律解題；若有外力對(duì)系統(tǒng)做功或外界有能量注入系統(tǒng)，則一般利用能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律或功能關(guān)系(外界對(duì)系統(tǒng)所做的功等于系統(tǒng)各種能量的增量的和)列方程求解。若研究對(duì)象為單個(gè)物體，則一般利用動(dòng)能定理列方程求解。

該變式類(lèi)型又可細(xì)分為以下2類(lèi)題型。

1.初、末狀態(tài)彈簧的彈性勢(shì)能相同

【變式1】(2022·江蘇高三聯(lián)考·14)如圖2所示，小球A、B、C分別套在光滑“T”型桿的水平桿MN和豎直桿OP上，小球A、B由輕彈簧相連，小球C由兩根不可伸長(zhǎng)的等長(zhǎng)細(xì)線分別與小球A、B相連，水平桿MN可以繞豎直桿OP在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。靜止時(shí)，細(xì)線AC、BC與桿OP的夾角均為θ=37°，小球A、B間的距離x1=0.6 m。已知細(xì)線的長(zhǎng)度l=0.5 m，彈簧原長(zhǎng)x0=0.7 m，球A、B的質(zhì)量mA=mB=0.5 kg，小球C的質(zhì)量mC=0.48 kg，三個(gè)小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，取重力加速度g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

圖2

(1)系統(tǒng)靜止時(shí)，求彈簧對(duì)A的彈力大小F；

(2)使水平桿MN勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，穩(wěn)定時(shí)細(xì)線AC與MN桿的夾角α=37°(圖中未標(biāo)出)，求MN桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω；

(3)求系統(tǒng)從靜止到以(2)中的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，外力所做的功W。

【解析】(1)對(duì)小球C受力分析，有2Tcos37°=mCg

對(duì)小球A受力分析，有F=Tsin37°

代入數(shù)據(jù)得F=1.8 N

(2)系統(tǒng)靜止時(shí)，彈簧的壓縮量Δx1=x0-x1=0.1 m，當(dāng)細(xì)線AC與MN桿的夾角α=37°時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量Δx2=x2-x0=2lcos37°-x0=(0.8-0.7) m=0.1 m，故此時(shí)彈簧的彈力大小F1=F=1.8 N

對(duì)小球C受力分析，有2T1sin37°=mCg

對(duì)小球A受力分析，有T1cos37°+F1=mAω2lcos37°

聯(lián)立解得ω=5 rad/s

(3)由于彈簧在初末狀態(tài)的形變量相同，故彈簧的彈性勢(shì)能也相同。根據(jù)功能關(guān)系，外力做功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增加，有W=ΔEpC+2ΔEkA

而ΔEpC=mCgl(cos37°-sin37°)

代入數(shù)據(jù)解得W=2.48 J

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了力的平衡、勻速圓周運(yùn)動(dòng)以及功能關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)，其主要特點(diǎn)是，在初、末狀態(tài)彈簧分別是壓縮或伸長(zhǎng)的，但形變量恰好相同，即彈簧在初、末狀態(tài)的彈性勢(shì)能相同，故在利用功能關(guān)系列方程時(shí)，就不需要考慮彈簧彈性勢(shì)能的變化。同時(shí)，該題型又是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)，小球A和B的角速度和動(dòng)能相同，線速度、向心力、向心加速度的大小相同。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性還可以分析出，兩根繩子對(duì)小球C拉力的大小也相同。這些都是在解題時(shí)需要注意的。

2.初、末狀態(tài)彈簧的彈性勢(shì)能不同

圖3

(1)裝置靜止時(shí)，小環(huán)A受桿的摩擦力大小f；

(2)輕桿與豎直方向夾角為53°時(shí)的角速度ω；

(3)輕桿與豎直方向夾角從37°變化到53°的過(guò)程中，豎直轉(zhuǎn)軸對(duì)裝置所做的功W。

【解析】(1)裝置靜止時(shí)，設(shè)桿對(duì)B的作用力為F，則

A受力平衡f=Fsin37°

(2)輕桿與豎直方向的最終夾角為53°時(shí)，彈簧彈力

以A、B為整體，分析豎直方向的受力，可知A與水平桿之間的正壓力FN=2mg

A受摩擦力fm=μ·FN=μ·2mg=mg

對(duì)B，設(shè)桿對(duì)B的作用力為F1，則F1cos53°=mg

對(duì)A分析fm+Fk-F1sin53°=mω2Lsin53°

摩擦力所做的功Wf=fm·Δx=0.2mgL

對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)功能關(guān)系W+mgh-Wf=EkA+Ep

【點(diǎn)撥】該題主要考查了力的平衡、勻速圓周運(yùn)動(dòng)以及功能關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)，其主要特點(diǎn)是彈簧在初、末狀態(tài)的形變量不同，但題干中給出了彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式，故在利用功能關(guān)系列方程時(shí)，將表達(dá)式直接代入即可。若題干中沒(méi)有給出彈性勢(shì)能的表達(dá)式，則需根據(jù)彈簧彈力做功跟彈簧端點(diǎn)的位移大小(即彈簧形變量的大小)成正比的關(guān)系，推導(dǎo)出彈性勢(shì)能的表達(dá)式。另，本題中連接A、B兩圓環(huán)的是輕質(zhì)剛性桿，是通過(guò)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的鉸鏈進(jìn)行鏈接的，故輕質(zhì)桿對(duì)兩圓環(huán)的彈力均沿著桿的方向。

變式類(lèi)型二、不含彈簧的多物體系統(tǒng)

在處理不含彈簧且系統(tǒng)內(nèi)有一個(gè)或多個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題時(shí)，一般的解題思路如下。

①力的觀點(diǎn)。該類(lèi)題型中，做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的受力一般較為復(fù)雜，將力沿半徑方向和垂直半徑的方向進(jìn)行正交分解，則沿半徑方向的合力即為向心力。若物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其合外力提供向心力，則沿垂直半徑方向(即切線方向)分力的合力為零。

②能的觀點(diǎn)。研究對(duì)象為系統(tǒng)時(shí)，若只發(fā)生動(dòng)能與勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，則利用機(jī)械能守恒定律列方程解題；若有外力對(duì)系統(tǒng)做功或有其他形式的能參與轉(zhuǎn)化，則需利用功能關(guān)系或能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律列方程解題。研究對(duì)象為單個(gè)物體時(shí)，由于往往涉及變力做功，則一般列出動(dòng)能定理的方程解題。

③牽連速度觀點(diǎn)。將桿連或繩連物體的速度，沿著繩或桿的方向及垂直于繩或桿的方向進(jìn)行正交分解，則物體在沿桿或繩方向的分速度相同。但一定要注意的是，對(duì)繩連或桿連的物體來(lái)說(shuō)，雖然它們沿著繩或桿的分速度是相同的，但它們的加速度在沿著繩或桿方向的分量，在一般情況下都是不同的。

④動(dòng)量的觀點(diǎn)。該類(lèi)題型若涉及沖量，則需要列出動(dòng)量定理的方程求解；若系統(tǒng)合外力為零，則需列出動(dòng)量守恒定律的方程求解。

該變式類(lèi)型又可細(xì)分為以下3類(lèi)題型。

1.考查水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

【變式3】(2022·揚(yáng)州一模·14)(改編)如圖4所示，輕桿的上端可繞O處的光滑鉸鏈在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，小球固定在輕桿上Q點(diǎn)，用細(xì)繩連接小物塊與小球，繩子穿過(guò)鉸鏈正下方P處的小孔?，F(xiàn)用手沿繩方向拉住小球，使小球和物塊保持靜止，此時(shí)∠OQP=90°，∠POQ=37°。已知小球和小物塊的質(zhì)量m均為1 kg，輕桿長(zhǎng)度L=1 m，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切摩擦，sin37°=0.6，sin53°=0.8，則：

圖4

(1)求松手后，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v；

(2)求松手后，小球在左側(cè)最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小T；

(3)若在松手的瞬間給小球一個(gè)垂直紙面向里的瞬時(shí)沖量I，小球恰能在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求I的大小。

【解析】(1)撤去F后，小球、物塊組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，物塊的速度為零

小球下降的高度h1=L(1-cos37°)

(2)如圖5所示，小球在左側(cè)最高點(diǎn)時(shí)，小球和物塊的速度均為零，物塊與小球沿繩方向加速度大小相等。

圖5

小球：T+mgsin37°=ma

物塊：mg-T=ma

解得T=2 N

(3)設(shè)桿對(duì)小球的力為FN，繩對(duì)小球的力FT=mg，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，則

FNcos37°=mg+mgsin37°

【點(diǎn)撥】該題主要考查了機(jī)械能守恒定律、瞬時(shí)加速度、牽連速度、勻速圓周運(yùn)動(dòng)以及動(dòng)量定理等重要知識(shí)點(diǎn)，其主要特點(diǎn)是題干字?jǐn)?shù)雖不多，但信息量大，考查知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)。在本題(1)中，要能根據(jù)牽連速度的相關(guān)知識(shí)判斷出，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)小物塊的速度為零；本題的(2)中，由于小球和物塊的速度在此刻為零，不存在相對(duì)向心加速度，故而它們沿著繩的加速度相同。但如果存在相對(duì)向心加速度，則輕繩相連的兩物體沿繩方向的分加速度可能不同。

2.考查水平面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)

【變式4】(2022·南通七市聯(lián)考·14)(改編)如圖6甲所示，在光滑水平面上有A、B、C三個(gè)小球，A、B兩球分別用水平輕桿通過(guò)光滑鉸鏈與C球連接，兩球間夾有勁度系數(shù)足夠大、長(zhǎng)度可忽略的壓縮輕彈簧，彈簧與球不相連。固定住C球，釋放彈簧，球與彈簧分離瞬間桿中彈力大小F=10 N。已知A、B兩球的質(zhì)量均為m1=0.2 kg，C球的質(zhì)量m2=0.4 kg，桿長(zhǎng)L=1.0 m，彈簧在彈性限度內(nèi)。

(1)求彈簧釋放的彈性勢(shì)能Ep；

(2)若C球不固定，求釋放彈簧后C球的最大速度v；

(3)若C球不固定，求球與彈簧分離后到兩桿間夾角第一次為θ=120°的過(guò)程中(圖6乙)，桿對(duì)B球所做的功W。

甲

【解析】(1)由對(duì)稱(chēng)性可知球，與彈簧分離時(shí)兩球的速度大小相等，設(shè)為v0

(2)如圖7所示，設(shè)兩桿夾角為θ時(shí)，C球的速度為vC，將B球的速度正交分解為vx和vy，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，vAy=vBy=vy，vAx=vBx=vx

圖7

y軸方向動(dòng)量守恒，則0=m2vC-2m1vy

①

系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則

②

B、C兩球沿桿方向的分速度相同，則

③

故當(dāng)θ=180°時(shí)，C球的速度最大，且最大值

v=vC=5 m/s

(3)在(2)的①②③三式中，將θ=120°代入，可得

以B球?yàn)檠芯繉?duì)象，利用動(dòng)能定理

【點(diǎn)撥】該題主要考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、牽連速度和動(dòng)能定理等重要知識(shí)點(diǎn)，其最大的特點(diǎn)是A、B兩球雖相對(duì)C球做圓周運(yùn)動(dòng)，但由于C球不固定，使得A、B兩球的運(yùn)動(dòng)形式比較復(fù)雜，因此該題對(duì)思維能力的要求很高，需要具有較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯推理能力以及利用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力。在解答本題時(shí)，一是需要利用對(duì)稱(chēng)的觀點(diǎn)解題，要能根據(jù)本題中三個(gè)小球受力及運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，判斷出C球的速度是沿著兩桿夾角的角平分線方向，A球和B球沿x軸方向的分速度大小相等、方向相反以及沿y方向的分速度相同；二是在利用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)，要能利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解知識(shí)將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單化，把A球和B球的速度在x軸和y軸兩個(gè)方向進(jìn)行正交分解，再在這兩個(gè)方向上利用動(dòng)量守恒定律分別列方程求解。

3.考查豎直平面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)

【變式5】(2022·如皋市三?！?5)如圖8所示，圓心為O、半徑為R的圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，O1、O2為兩個(gè)輕質(zhì)定滑輪頂點(diǎn)，O1在O點(diǎn)正上方2R處，跨過(guò)定滑輪的輕繩一端連接著套在圓環(huán)上的小球A，另一端連接著小球B。用一豎直向下的外力作用于B，A、B靜止于圖示位置，OP與豎直方向的夾角為60°，撤去外力后，A、B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，B始終不與滑輪碰撞。已知A、B的質(zhì)量分別為4m、m，重力加速度為g，圓環(huán)與繩不接觸，不計(jì)一切摩擦。

圖8

(1)求外力的大小F；

(2)當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到圓心等高處的Q點(diǎn)時(shí)，求A的向心力大小Fn；

(3)若撤去外力的同時(shí)給A施加沿輕繩斜向右下的瞬時(shí)沖量I，A恰能運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的最高點(diǎn)，求：

①I(mǎi)的大??；

②A從圓環(huán)最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中輕繩對(duì)A做的功W。

【解析】(1)對(duì)A：4mgsin60°=T

對(duì)B：T=mg+F

(2)A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒

(3)①對(duì)A、B：I=5mv0

當(dāng)小球A恰好運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)，A、B球的速度均為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒

②在小球A從圓環(huán)最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，初、末狀態(tài)小球B的速度均為零，對(duì)B利用動(dòng)能定理

WTB=-mg(3R-R)=-2mgR

而W=-WTB

解得W=2mgR

【點(diǎn)撥】該題主要考查了力的平衡、圓周運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒定律、牽連速度和動(dòng)能定理等重要知識(shí)點(diǎn)，該題與此前例題的最大區(qū)別是，物體在豎直平面內(nèi)做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在處理此類(lèi)綜合問(wèn)題時(shí)，還需注意三點(diǎn)。一是要分清物體在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是屬于“繩模型”還是“桿模型”。本題屬于“桿模型”，故小球A恰能運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)速度為零。二是在本題(3)①中，雖題干中指出，在撤去外力的同時(shí)，給小球A施加沿輕繩斜向右下的瞬時(shí)沖量I，但I(xiàn)≠mAvA。因?yàn)閮尚∏蚴怯幂p繩連接在一起的，理想輕繩不能被拉長(zhǎng)，繩中的拉力可以突變，故I=(mA+mB)v。三是在本題(3)②的解答中，在求輕繩對(duì)小球A所做的功時(shí)，并沒(méi)有直接以小球A為研究對(duì)象，而是選取小球B為研究對(duì)象，利用動(dòng)能定理先求出繩子對(duì)小球B所做的功，再根據(jù)繩對(duì)A、B做功的大小相等、一正一負(fù)的結(jié)論來(lái)巧妙解題。如果兩個(gè)小球是用輕桿相連，那么這個(gè)結(jié)論依然成立。但當(dāng)連接兩個(gè)小球的不是輕繩或輕桿，而是彈性繩或彈簧時(shí)，由于兩個(gè)小球沿彈性繩或彈簧方向的位移一般不同，此結(jié)論將不再成立。

結(jié)語(yǔ)

高考是指揮棒，所以研究高考真題以及相應(yīng)的變式習(xí)題就非常重要。在處理含彈簧或不含彈簧、有一個(gè)或多個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題時(shí)，一般的解題思路如下。

1.在對(duì)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體正確受力分析后，一般將物體受力沿半徑方向和垂直半徑方向進(jìn)行正交分解，再列兩個(gè)方向上對(duì)應(yīng)方程的解題思路。這樣做的好處是，既可以列出向心力公式，也可以求出或表示出繩或桿中的張力大小，而此張力往往是聯(lián)系物體間關(guān)系的橋梁之一。

2.對(duì)含彈簧的多物體系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，要通過(guò)分析和計(jì)算，判斷在初、末狀態(tài)彈簧形變量的大小關(guān)系，進(jìn)而判斷出彈簧彈性勢(shì)能的變化情況。一般來(lái)說(shuō)，出現(xiàn)彈簧在初、末狀態(tài)的形變量恰好相等的這種情況相對(duì)較多。如果彈簧在初、末狀態(tài)的形變量不相等，一般不會(huì)考查彈性勢(shì)能大小的表達(dá)式。

3.當(dāng)只發(fā)生動(dòng)能與勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的，需要列出系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律的方程進(jìn)行求解；當(dāng)外界對(duì)系統(tǒng)做功或外界有其他能量注入系統(tǒng)時(shí)，一般要列出功能關(guān)系或能量轉(zhuǎn)化和守恒定律的方程進(jìn)行求解；當(dāng)題目要求的是內(nèi)力對(duì)單個(gè)物體所做的功時(shí)，一般采用動(dòng)能定理進(jìn)行求解。

4.當(dāng)系統(tǒng)中的物體是通過(guò)輕繩或輕桿相連接時(shí)，一般都需要將物體的速度沿著繩或桿，以及垂直于繩或桿這兩個(gè)方向進(jìn)行分解，在輕繩沒(méi)有松弛的前提下，物體沿繩或桿的分速度是一定相同的。但物體沿繩或桿的分加速度不一定相同，具體情況還應(yīng)再具體分析。