金芳曉，孫元峰

(1． 中國電子科技集團公司第三十八研究所，合肥 230088；2． 汽車智能網(wǎng)聯(lián)與主動安全技術國家地方聯(lián)合工程研究中心，合肥 230088)

0 引 言

研究表明，許多人造和自然界中的信號都是由周期現(xiàn)象產(chǎn)生，雖然這些信號不是時間的周期過程，但其統(tǒng)計特征隨時間呈現(xiàn)周期性變化，被稱為廣義循環(huán)平穩(wěn)過程[1]，已廣泛用于通信、雷達、無線電等領域?；谛盘栄h(huán)平穩(wěn)特性的選擇性測向算法，如Cyclic MUSIC、SC-SSF、Cyclic ESPRIT等，由于其能夠提高信號檢測能力，在雷達和通信系統(tǒng)中得到了廣泛關注[2-4]。此外，循環(huán)平穩(wěn)類DOA估計算法只要求在特定感興趣循環(huán)頻率下的信源數(shù)少于陣元數(shù)，因此，即使總信源數(shù)大于陣元數(shù)，算法也能正確估計出期待信號角度。也就是說，基于此類DOA估計算法可以提高陣列自由度，已成為陣列信號處理的研究熱點之一。

建立在子空間上的MUSIC、ESPRIT等DOA估計算法不適用于存在同頻干擾的情況，此外還有一個很大的局限性：在實際環(huán)境中多徑效應或人為設置干擾等導致的一種相干環(huán)境下的DOA估計問題。對于傳統(tǒng)超分辨算法，當接收信號存在相干性時，子空間特征值分解后無法得到與信號源對應的特征向量。這也是超分辨的重點研究對象之一。為了準確分辨相干信號，主要采用子空間擬合法、空間平滑法、奇異值分解法、矩陣分解法等幾種解決方法。改進的MUSIC算法[5-6]采用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣做變換處理，使其相關協(xié)方差矩陣秩個數(shù)與相干信號源個數(shù)相等，進而分辨相干信號的來波方向。為了進一步提高抗噪性，文獻[7]、[8]基于壓縮感知理論，提出了幾種稀疏重構的DOA估計算法，利用空域的稀疏特性重構空間譜，不受信號相干性的影響。這類算法普遍存在初始參數(shù)難以設置和計算量較大的問題，一定程度上限制了其應用。

針對同頻干擾和相干信號同時存在的復雜環(huán)境，本文利用信號的循環(huán)平穩(wěn)特性解決相干信號DOA估計問題，提出一種基于循環(huán)相關的相干信源角度估計算法，并通過仿真實驗驗證了其有效性。

1 信號模型

1.1 循環(huán)相關函數(shù)

循環(huán)平穩(wěn)過程是一類特殊的非平穩(wěn)隨機過程，其統(tǒng)計函數(shù)隨時間呈現(xiàn)周期變化，廣泛應用于雷達、無線電、遙感等領域。依據(jù)期望信號和同頻干擾往往具有不同的循環(huán)頻率這一特點，實現(xiàn)對干擾信號的抑制。

對于一個具有二階周期特性的非平穩(wěn)信號x(t)，其時變自相關函數(shù)可表示為[9]

為避免隨機性，令N趨于無窮，可以得到

(2)

進一步將rx(t,τ)展開成傅里葉級數(shù)的形式：

(3)

(4)

將式(2)代入式(4)，有

=〈x(t+τ/2)x*(t-τ/2)e-j2πmt/T0〉t

(5)

設信號x(t)包含多個互不可約的周期信號，則式(3)和式(5)可分別表示為

(6)

=〈x(t+τ/2)x*(t-τ/2)e-j2πεt〉t

(7)

1.2 陣列模型

假設K個遠場窄帶期待信號和干擾信號xk(t),k∈{1,…,K}，入射到均勻線陣上，其中Kε≤K個信號為期待信號，具有相同的循環(huán)頻率ε，且期待信號間存在相干性。均勻線陣由M個陣元組成，相鄰陣元間距D，則在t時刻陣列接收數(shù)據(jù)表示為

(8)

(9)

式中，υmk為第k個信號到達第m個陣元相對于參考陣元的時延，且υmk=(m-1)Dsinθk/c，θk為第k個信號的方向角，c為波速；nm(t)為第m個陣元在t時刻的噪聲，該噪聲為獨立源，且與信號統(tǒng)計獨立。

1.3 相干信源的信號模型

傳統(tǒng)的超分辨算法僅能估計非相關信號源，且隨信號源間相關性(或相關系數(shù))的增加，其性能逐漸惡化，直至失效。在實際應用環(huán)境中，很可能存在多徑反射或人為設置導致的相干信號。對于兩個平穩(wěn)信號s1(t)和s2(t)，其相關系數(shù)可以表示為

(10)

對于不同信號的關系可以做出如下定義：

(11)

因此，當兩個信號相干時，兩者的區(qū)別僅僅是差一個常復數(shù)。

2 相干信源角度估計算法研究

2.1 線性預測模型

從式(9)可以看出，第M個陣元的接收信號可看作是由其他M-1個陣元接收信號的相移組合而成，即

(12)

式中，βi=(i-1)Dsinθk/c；eM(t)為預測誤差。

基于式(12)求取yM(t)的循環(huán)相關函數(shù)，可得LP模型如下：

(13)

進一步，可將式(13)表示為向量形式：

(14)

式中，

在有限快拍數(shù)下，假設陣列接收信號y(t)的離散表示形式為y(n)，且陣列信號的快拍數(shù)為N，可以得到各陣元的離散循環(huán)相關函數(shù)：

m=1,…,M

(15)

式中，a=(ε/fs)N∈[0,fs]為數(shù)字循環(huán)頻率；e-jπ/Nal為校正因子；l=0,1,…,L-1為數(shù)字時延，且L≤N。

令l=0,1,…,L-1，從而得到信號模型的離散循環(huán)相關熵矩陣：

r=Φq

(16)

式中，

2.2 相干信號角度估計

由于矩陣q中包含角度信息，問題便轉為對矩陣q的估計問題。為此，求解式(15)矩陣Φ的協(xié)方差矩陣：

Σφ=ΦHΦ

(17)

由于接收到的不同方向陣列信號存在相干性，相干信號導致協(xié)方差矩陣的秩虧缺。為此，利用Toeplitz矩陣的性質[10]修正矩陣Σφ，可以得到Σφ的Toeplitz協(xié)方差矩陣估計值：

Σ=Σφ+IvΣφIv

(18)

再對該無偏估計Σ進行特征值分解，有

Σ=UΛUH

(19)

由于期待信號個數(shù)是Kε，所以取前Kε個特征值對式(16)中的矩陣q進行求解：

(20)

最終，所要求的期望信源的DOA估計值便為下面預測多項式(21)所對應的譜峰位置：

(21)

式中，w=ej2πεDsinθ/c。

算法的整體步驟如下：

步驟2：根據(jù)式(17)計算Φ的協(xié)方差矩陣Σφ；

步驟3：根據(jù)式(18)計算Σφ無偏估計矩陣Σ；

步驟5：根據(jù)式(20)計算目標矩陣q；

步驟6：利用式(21)求解空間譜P(θ)，進而采用譜峰搜索的方式求得期望信號DOA估計值。

3 仿 真

計算機仿真實驗采用10陣元均勻線陣，陣元間距為c/2ε，ε為入射信號的循環(huán)頻率。設定存在3個期待信號和1個同頻干擾，其中3個期待信號中有2個為遠場BPSK相干信號，且與第3個信號不相干；2個相干信號入射角度分別為19°和52°，另一個不相干信號入射角度為32°。陣列中還存在同載頻的AM干擾信號，其入射角為40°。信號的采樣頻率為fs=500 MHz，快拍數(shù)N=500，信噪比SNR=0 dB。

實驗中采用L1-SVD和SC-SSF兩種算法與本文算法進行對比，以檢測DOA估計的性能：L1-SVD算法采用壓縮感知重構思想對角度進行估計，對各個方向的入射信號進行稀疏重構，可較好地解決相干問題，對相干信號進行DOA估計，但該算法同樣對同頻干擾的影響也較大；SC-SSF對比算法采用循環(huán)頻率構建線性模型進行角度估計，可以抵抗同頻干擾的影響，但是不具有解相干的能力。

在上述同頻干擾和相干信號共存的條件下，實驗仿真結果如圖1所示?？梢钥闯?，L1-SVD算法雖然很好地解決了相干信號問題，但是受同頻干擾影響，在干擾的入射方向旁瓣抬高；本文算法和SC-SSF算法利用兩個期望信號與干擾源信號具有不同的循環(huán)頻率這一循環(huán)平穩(wěn)特性，較好地抑制了同頻干擾信號，實現(xiàn)了對期待信號來波方向的估計； SC-SSF算法由于不具有解相干，無法估計相干信號的角度。綜合來看，本文算法較好地抑制了同頻干擾，且受相干信號影響較小，很好地估計出了3個期待信號的來波方向。

圖1 3種算法DOA估計空間譜對比圖

DOA估計中的信噪比是影響算法性能的重要因素。為此，本文進一步就信噪比對DOA估計的影響做了仿真實驗，信噪比-10～10 dB，其他條件不變。由于在上述仿真條件下，SC-SSF算法無法估計出具有相干性的2個信號，因此在信噪比實驗中，僅對比本文算法和L1-SVD算法的估計均方根誤差隨信噪比變化情況，獨立實驗100次，仿真結果如圖2所示?？梢钥闯?，L1-SVD算法受同頻干擾的影響，在低信噪比下DOA估計誤差較大。隨著信噪比的提高，2種算法的估計誤差均在減小，且在信噪比大于5 dB后，算法性能都趨于穩(wěn)定。而且，L1-SVD算法由于采用稀疏重構，在高信噪比條件下估計誤差要略小于本文算法。

圖2 均方誤差隨信噪比變化

4 結束語

為抑制同頻干擾，本文基于陣列接收通道間的線性關系，構建信號接收循環(huán)相關矩陣模型，采用最小二乘法對參數(shù)進行估計。同時，將陣列接收循環(huán)相關協(xié)方差矩陣的無偏估計納入所提LP模型中，解決了循環(huán)平穩(wěn)相干信號的高分辨角度估計問題。仿真實驗表明，在受同頻信號干擾且信噪比較低的情況下，本文算法性能更好，且受相干信號的影響較小。