段靜波 ，徐步青

（石家莊鐵道大學(xué)工程力學(xué)系，河北 石家莊 050043）

為追求列車(chē)設(shè)計(jì)的高速化與輕量化，新型復(fù)合材料越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于高速軌道交通領(lǐng)域，復(fù)合材料曲線纖維層合板作為一種近年新出現(xiàn)的復(fù)合材料，與傳統(tǒng)的直線纖維鋪層相比，由于纖維方向隨位置的變化而變化，曲線纖維鋪層呈現(xiàn)出變剛度的特點(diǎn).G?rdal等[1]研究表明，剛度在空間上非均勻分布的變剛度壁板能大幅改善結(jié)構(gòu)承載能力，適應(yīng)更為復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境.將曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板應(yīng)用于高速列車(chē)蒙皮、裙板等壁板結(jié)構(gòu)，有利于新一代復(fù)合材料高鐵列車(chē)高速化與輕量化設(shè)計(jì)目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn).

然而，伴隨著高速列車(chē)行進(jìn)速度的不斷提高，車(chē)體蒙皮、裙板等壁板類(lèi)結(jié)構(gòu)所面臨的力學(xué)環(huán)境越來(lái)越惡劣，設(shè)計(jì)不合理可能會(huì)導(dǎo)致壁板發(fā)生劇烈的氣動(dòng)彈性振動(dòng)，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的使用壽命甚至列車(chē)的運(yùn)行安全.因此，亞音速曲線纖維變剛度壁板氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性問(wèn)題將是車(chē)體新型復(fù)合材料應(yīng)用中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.

曲線纖維復(fù)合材料最早由Hyper等[2]提出，G?rdal等[1,3]則明確提出了變剛度復(fù)合材料的概念.隨后，學(xué)者們對(duì)于曲線纖維變剛度壁板力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行廣泛研究：Hamed等[4]對(duì)曲線纖維變剛度壁板進(jìn)行大變形和應(yīng)力分析；馬洪濤[5]開(kāi)展了曲線纖維變剛度壁板的力學(xué)性能研究；聶國(guó)雋等[6]建立了曲線纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板自由振動(dòng)問(wèn)題的基本方程，得到了層合板的自振頻率及相應(yīng)的振型；馬成[7]通過(guò)對(duì)纖維曲線鋪放層合板阻尼比的研究，探究纖維曲線鋪放層合板的減振效果；Groh等[8]研究了橫向剪切效應(yīng)對(duì)變剛度層合板屈曲性能的影響；Hao等[9]研究了復(fù)合材料變剛度板的屈曲及優(yōu)化問(wèn)題，提出了復(fù)合材料變剛度結(jié)構(gòu)的精確建模、分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化一體化設(shè)計(jì)框架；孫士平等[10]研究了復(fù)合載荷作用下變剛度復(fù)合材料回轉(zhuǎn)殼的屈曲優(yōu)化問(wèn)題.

迄今為止，有關(guān)曲線纖維變剛度壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題的研究較少，但已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注：Vahid等[11]研究了高速流場(chǎng)中的曲線纖維變剛度層合壁板顫振問(wèn)題；歐陽(yáng)小穗和劉毅[12]研究了高速流場(chǎng)中的曲線纖維變剛度層合壁板非線性顫振響應(yīng)；Touraj等[13]將曲線纖維變剛度壁板應(yīng)用于飛機(jī)機(jī)翼承力結(jié)構(gòu)，研究了機(jī)翼-引擎系統(tǒng)的氣動(dòng)彈性特性.

基于此，本文以新一代新型復(fù)合材料高速列車(chē)壁板結(jié)構(gòu)為背景，基于目前列車(chē)設(shè)計(jì)時(shí)速范圍，研究曲線纖維變剛度壁板的亞音速氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性問(wèn)題，考慮壁板可能出現(xiàn)的黏彈性效應(yīng)，分析復(fù)合材料關(guān)鍵參數(shù)對(duì)復(fù)合變剛度壁板氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性的影響規(guī)律.

1 曲線纖維路徑表征

圖1為曲線纖維復(fù)合材料層合板示意，以層合板中第k層單層變剛度鋪層為研究對(duì)象(圖1（b）)，圖中：zk和zk+1分別為該鋪層上、下表面在坐標(biāo)系xOz中的坐標(biāo)值；hk為該鋪層厚度；V∞為來(lái)流速度；L、H、h分別為矩形變剛度復(fù)合材料層合板的長(zhǎng)度、寬度、厚度；在局部坐標(biāo)系x′Oy′下，T0為纖維在板中心處與x′軸方向的夾角；T1為纖維在邊界(x′= ±L/2)處與x′軸方向的夾角；?為x′軸與x軸的夾角，表示該鋪層的方向角.該鋪層曲線纖維方向角用 ＜T0｜T1＞表示.假設(shè)纖維方向從板的中心位置開(kāi)始呈線性變化，則該鋪層在局部坐標(biāo)系下任意位置處纖維方向角可表示為

圖1 曲線纖維層合板Fig.1 Curvilinear fibers composite panels

2 復(fù)合變剛度壁板顫振方程

2.1 壁板變形幾何關(guān)系

結(jié)構(gòu)方面，考慮厚度方向上的剪切變形，忽略厚度方向上法向變形，采用Mindlin厚板理論描述曲線纖維變剛度層合壁板，其應(yīng)變-位移關(guān)系為

式中： ε 為線應(yīng)變； ε0為壁板中面面內(nèi)位移產(chǎn)生的應(yīng)變向量，如式（3）； γ 為橫向剪切應(yīng)變向量，如式（3）；κ為彎曲時(shí)壁板的曲率向量，如式（3）；z為壁板厚度方向的坐標(biāo).

式中：u、 υ 分別為中面上的點(diǎn)沿x軸和y軸方向的位移；w為z軸方向的位移； θx、 θy分別為中面繞x軸和y軸方向的轉(zhuǎn)角.

2.2 變剛度壁板彈性/黏彈性本構(gòu)關(guān)系

對(duì)于正交各向異性鋪層材料，采用kelvin-Voigt黏彈性本構(gòu)模型，則其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[14]可寫(xiě)為

式中： η 為材料黏彈性阻尼系數(shù)，當(dāng) η =0 時(shí)，鋪層材料就退化為彈性材料； σ 、τ、γ、˙ 分別為正應(yīng)力、剪應(yīng)力、切應(yīng)變、線應(yīng)變率；Qm、Qs分別為面內(nèi)剛度和剪切剛度，其元素與彈性本構(gòu)關(guān)系一致，在此不再贅述，如（5）.

由于曲線纖維角度影響，單層板內(nèi)本構(gòu)關(guān)系隨壁板平面是變化的，當(dāng)多個(gè)單層板形成層合板后，則曲線纖維角度和各層鋪層角共同影響壁板本構(gòu)關(guān)系，第k層本構(gòu)關(guān)系為

式 中 ： σk、τk分 別 為 該 鋪 層 的 正 應(yīng) 力 和 切 應(yīng) 力 ；εk、γk分別為該鋪層的線應(yīng)變和切應(yīng)變；Qmk、Qsk分別為偏軸面內(nèi)剛度矩陣和剪切剛度矩陣，=，其中，Tmk、Tsk如式（7）.

式中：Tk為曲線纖維方位角.

根據(jù)復(fù)合材料層合理論，對(duì)于n層的復(fù)合變剛度壁板本構(gòu)關(guān)系可寫(xiě)為

式中：N、M、Fs分別為復(fù)合變剛度壁板的膜力、彎矩、橫向剪力，矩陣A、B、D、As分別為

2.3 亞音速氣動(dòng)力模型

氣動(dòng)力方面，由于高速列車(chē)馬赫數(shù)較小時(shí)，氣體的可壓縮性可以忽略，因此，采用Dowell基于線性無(wú)黏勢(shì)流理論提出的亞音速氣動(dòng)力模型[15]，如式（9）.

式中：A(x) 為壁板內(nèi)氣動(dòng)力相互影響效應(yīng)，如式（10）；D1(x)、D2(x)為壁板邊界條件對(duì)氣動(dòng)力的影響效應(yīng)，如式（10）， ρ∞為空氣密度.

2.4 氣動(dòng)彈性有限元方程

基于復(fù)合變剛度壁板黏彈性本構(gòu)關(guān)系、幾何關(guān)系以及氣動(dòng)力模型，可以寫(xiě)出其虛動(dòng)能 δT、虛應(yīng)變能 δU、外力虛功 δW為

采用板單元對(duì)復(fù)合變剛度壁板進(jìn)行網(wǎng)格劃分，根據(jù)Hamilton原理，通過(guò)變分可得到壁板的有限元顫振方程為

3 算法驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 正確性驗(yàn)證

首先，對(duì)本文方法及程序進(jìn)行正確性驗(yàn)證.采用文獻(xiàn)[12]中曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合壁板算例，通過(guò)退化氣動(dòng)力相關(guān)矩陣，選取鋪層方式為[0/90＜0|45°＞/＜0|-45°＞]s的變剛度復(fù)合壁板進(jìn)行了固有頻率的網(wǎng)格收斂性分析，具體結(jié)果見(jiàn)表1.分析時(shí)壁板采用四邊固支約束邊界條件.為方便對(duì)比，固有頻率按文獻(xiàn)[12]進(jìn)行無(wú)量綱處理.

表1 變剛度復(fù)合壁板固有頻率的網(wǎng)格收斂性Tab.1 Grid convergence of natural frequencies of composite panels with variable stiffness

從表1中可以看到：隨著壁板網(wǎng)格規(guī)模從5 ×5增加至30 × 30，變剛度復(fù)合壁板前六階固有頻率逐漸收斂，且收斂后的各階固有頻率與文獻(xiàn)[12]的結(jié)果最大誤差不超過(guò)3.56%.

圖2給出了6種鋪層方式下變剛度復(fù)合壁板的固有頻率，6種鋪層方式分別為鋪層A1[0/90＜0|45°＞/＜0|-45°＞]s、鋪層 A2[0/90＜15°|45°＞/＜-15°|-45°＞]s、鋪層 A3[0/90＜30°|45°＞/＜-30°|-45°＞]s、 鋪層 A4[0/90＜45°|40°＞/＜-45°|-60°＞]s、 鋪層 A5 [0/90＜45°|75° ＞/＜-45°|-75°＞]s、 鋪層A6[0/90＜90°|45°＞/＜-45°|-90°＞]s.壁板采用30 × 30的網(wǎng)格劃分，四邊固支約束邊界條件.從圖中對(duì)比可以看出：各種鋪層方式下，本文前三階固有頻率結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的結(jié)果吻合得都比較好.因此，本文后續(xù)壁板穩(wěn)定性分析均采用30 × 30的網(wǎng)格劃分.

圖2 曲線纖維壁板固有頻率結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of natural frequencies of curved fiber composite laminates

其次，采用文獻(xiàn)[16]中的兩邊固支鋁制壁板，將本文程序退化為各向同性材料壁板進(jìn)行氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性計(jì)算，并分析驗(yàn)證，結(jié)果如表2.從表2中可以看到，本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]解吻合很好.

表2 兩端固支壁板發(fā)散穩(wěn)定性結(jié)果對(duì)比Tab.2 Divergence stability of the plate with bilateral fixation

3.2 復(fù)合變剛度壁板發(fā)散穩(wěn)定性分析

1） 失穩(wěn)速度計(jì)算

采用復(fù)模態(tài)理論求解復(fù)合變剛度彈性、黏彈性壁板的氣動(dòng)彈性發(fā)散失穩(wěn)速度.圖3給出了鋪層方式為[0/90/＜0|45＞/＜0|-45＞]s的彈性/黏彈性變剛度壁板在四邊固支、四邊簡(jiǎn)支條件下，前兩階頻率隨來(lái)流速度變化情況.黏彈性材料的黏性阻尼系數(shù)η=0.002，下文中不特別注明，均取此值.

從圖3中可以看到：無(wú)論變剛度壁板是彈性材料還是黏彈性材料，其一階固有頻率隨著來(lái)流速度增大均是減小的，二階固有頻率隨著來(lái)流速度先減小后增大；變剛度壁板材料的黏彈性效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致壁板二階固有頻率明顯降低；當(dāng)一階固有頻率減小至0時(shí)，壁板就出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)，據(jù)此可判斷，四邊固支的變剛度彈性、黏彈性壁板發(fā)散失穩(wěn)速度分別為108 m/s和91 m/s，四邊簡(jiǎn)支彈性、黏彈性變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)速度分別為72 m/s和66 m/s.由此可知，與彈性變剛度壁板相比，壁板材料的黏彈性效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致其失穩(wěn)速度降低.從圖中失穩(wěn)前壁板固有頻率值變化劇烈程度可以看到，黏彈性壁板發(fā)散失穩(wěn)出現(xiàn)得更突兀.

圖3 黏彈性和彈性變剛度壁板頻率隨氣流速度變化Fig.3 Change of the two frequencies of viscoelastic and elastic variable-stiffness panels with air velocity

2） 曲線鋪設(shè)和直線鋪設(shè)的比較

圖4為彈性、黏彈性壁板分別采用直線和曲線纖維鋪設(shè)情況下，四邊固支纖維復(fù)合彈性壁板的發(fā)散穩(wěn)定特性.直線鋪設(shè)與曲線鋪設(shè)的鋪層角考慮了7種組合方式，分別為鋪層 B1[0/15/45/60]、鋪層B2[0/30/45/75]、鋪層 B3[0/15/30/60]、鋪層 B4[30/45/60/75]、鋪層 B5[45/15/30/60]、鋪層 B6[30/15/45/60]、鋪層B7[45/30/60/75].其中，曲線纖維鋪設(shè)時(shí)，纖維方向角T0=0°，T1=45°.從圖中可以看到：無(wú)論是彈性壁板還是黏彈性壁板，在纖維曲線鋪設(shè)下的失穩(wěn)速度相比直線纖維鋪設(shè)都有提高.采用鋪層B7時(shí)，曲線纖維壁板失穩(wěn)速度相比直線纖維壁板可提高將近50%.

圖4 直線鋪設(shè)與曲線鋪設(shè)對(duì)變剛度壁板發(fā)散臨界速度的影響Fig.4 Comparison of variable-stiffness panel instability with straight and curved fiber laying

3） 鋪層主方向角的影響

圖5為鋪層主方向?qū)η€纖維變剛度壁板發(fā)散臨界速度的影響.7種不同的鋪層方式為鋪層C1[0/0]s、 鋪 層 C2[0/15]s、 鋪 層 C3[0/30]s、 鋪 層C4[0/45]s、 鋪 層 C5[0/60]s、 鋪 層 C6[0/75]s、 鋪 層C7[0/90]s等，壁板采用四邊固支約束.從圖中可以看出，隨著鋪層主方向角從 0°～90° 增大，無(wú)論是變剛度彈性壁板還是變剛度黏彈性壁板，壁板發(fā)散失穩(wěn)速度呈增大的趨勢(shì).由此可見(jiàn)，通過(guò)增大鋪層主方向角可以提高復(fù)合材料變剛度壁板發(fā)散速度.

圖5 鋪層主方向?qū)η€纖維變剛度壁板發(fā)散臨界速度影響Fig.5 Influence of ply direction on divergence critical speed of variable-stiffness panels with curved fibers

4） 曲線纖維方向角的影響

進(jìn)一步研究曲線纖維方向角對(duì)彈性、黏彈性變剛度復(fù)合壁板發(fā)散穩(wěn)定性的影響.壁板為四邊固支約束，其鋪層形式為[0/90/＜T0|T1＞/＜-T0|-T1＞]s.考慮T0和T1單獨(dú)變化的兩種情況.圖6為T(mén)1不變，T0=-90°～90°（間隔 15°）變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)特性隨T0的變化規(guī)律.圖7 為T(mén)0不變，T1= -90°～90°（間隔15°）變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)特性隨T1的變化規(guī)律.

從圖6中可以看出：當(dāng)T1不變、T0變化時(shí)，變剛度彈性、黏彈性壁板發(fā)散速度隨著T0的增大均呈先減小后增大的趨勢(shì)，呈“凹”形分布；對(duì)變剛度彈性壁板，在T0從-90°～-60° 時(shí)，壁板在亞音速已不發(fā)生失穩(wěn)，T0從 15°～45° 時(shí)，壁板發(fā)散失穩(wěn)速度出現(xiàn)極小值范圍，基本關(guān)于T0= 30° 對(duì)稱分布；對(duì)于變剛度黏彈性壁板，其發(fā)散失穩(wěn)速度分布規(guī)律與彈性壁板類(lèi)似，只是變剛度黏彈性壁板發(fā)散失穩(wěn)速度極小值相比變剛度彈性壁板的小.

圖6 曲線纖維變剛度壁板失穩(wěn)速度隨T0的變化（T1不變）Fig.6 Changes of divergence characteristics with T0 for variable-stiffness plate with curved fibers (T1 unchanged)

從圖7中可以看出：當(dāng)T0不變、T1變化時(shí)，變剛度彈性、黏彈性壁板壁板發(fā)散速度隨著T1從-90°～90° 也呈“凹”形分布；壁板發(fā)散失穩(wěn)速度關(guān)于T0=0° 對(duì)稱分布，發(fā)散失穩(wěn)速度變化相對(duì)平緩.

圖7 曲線纖維變剛度壁板失穩(wěn)速度隨T1的變化（T0不變）Fig.7 Changes of flutter characteristics with T1 for variablestiffness plate with curved fibers (T0 unchanged)

由此可見(jiàn)，復(fù)合變剛度壁板曲線纖維參數(shù)T0、T1對(duì)變剛度彈性、黏彈性壁板發(fā)散穩(wěn)定性均具有明顯影響，而且T1影響更為明顯一些.此外，曲線纖維復(fù)合變剛度壁板在發(fā)散穩(wěn)定性方面存在較大的優(yōu)化空間，通過(guò)調(diào)整曲線纖維的路徑可以提高復(fù)合材料變剛度壁板的發(fā)散速度.

5） 黏彈性材料阻尼系數(shù)的影響

圖8給出了黏彈性材料阻尼系數(shù)對(duì)曲線纖維復(fù)合壁板發(fā)散穩(wěn)定性的影響.從圖可以看到：隨著黏彈性材料阻尼系數(shù)增大，曲線纖維復(fù)合壁板的失穩(wěn)速度減小.

圖8 黏彈性阻尼對(duì)曲線纖維變剛度壁板發(fā)散臨界速度影響Fig.8 Influence of viscoelastic damp on divergence critical speed of variable-stiffness panels with curved fibers

6） 邊界條件影響

圖9給出了不同約束情況下，變剛度彈性、黏彈性壁板的發(fā)散穩(wěn)定性情況.壁板鋪層形式為[0/90/＜T0|T1＞/＜-T0|-T1＞]s.從圖中可以看出：約束條件對(duì)變剛度壁板失穩(wěn)速度影響很明顯，邊界約束越強(qiáng)，壁板的穩(wěn)定性越好，發(fā)散失穩(wěn)臨界速度越大.

圖9 約束對(duì)曲線纖維變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)臨界速度影響Fig.9 Influence of boundary conditions on divergence critical speed of variable-stiffness panels with curved fibers

4 結(jié) 論

本文建立了亞音速流場(chǎng)中曲線纖維變剛度彈性、黏彈性壁板氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性分析模型，與文獻(xiàn)[12]、文獻(xiàn)[16]結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文模型及算法的正確性，進(jìn)而采用復(fù)模態(tài)理論求解復(fù)合變剛度壁板發(fā)散臨界速度，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了關(guān)鍵參數(shù)影響分析，得出的主要結(jié)論如下：

1） 變剛度壁板材料的黏彈性效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致其失穩(wěn)速度降低，與彈性壁板相比，黏彈性壁板失穩(wěn)前固有頻率值變化更劇烈，發(fā)散失穩(wěn)出現(xiàn)得更突兀；

2） 通過(guò)調(diào)整鋪層主方向角可以實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料變剛度彈性、黏彈性壁板的發(fā)散速度的提高，通過(guò)調(diào)整曲線纖維的路徑也可以提高復(fù)合材料變剛度壁板的發(fā)散速度，因此，曲線纖維復(fù)合變剛度壁板在發(fā)散穩(wěn)定性方面存在較大的優(yōu)化設(shè)計(jì)空間；

3） 彈性、黏彈性壁板發(fā)散速度隨著曲線纖維路徑參數(shù)T0、T1從 -90° ～ 90° 變化呈現(xiàn)“凹”形分布，且參數(shù)T1對(duì)壁板發(fā)散穩(wěn)定性的影響相比T0更明顯；

4） 邊界條件對(duì)曲線纖維復(fù)合材料彈性、黏彈性壁板的發(fā)散臨界速度有較大影響，邊界約束越強(qiáng)，壁板的穩(wěn)定性越好，發(fā)散失穩(wěn)臨界速度越大.

致謝：民航航空器適航審定技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金（SH2020112705）.