姚 力， 汪 舟， 王曉麗， 葛久志， 譚理成， 朱 希， 陶海征

(1. 武漢理工大學 汽車工程學院，湖北 武漢 430070； 2. 武漢理工大學 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070； 3. 湖北省計量測試技術(shù)研究院，湖北 武漢 430223；4. 武漢理工大學 硅酸鹽建筑材料國家重點實驗室， 湖北 武漢 430070)

1 引 言

銣原子鐘因其體積小、質(zhì)量輕、功耗低、短期穩(wěn)定性強等優(yōu)勢，廣泛應用于衛(wèi)星的導航定位[1]。空間應用的需求對銣鐘的工作壽命提出了很高的要求。銣光譜燈是銣鐘的核心部件之一，研究表明銣燈燈泡中銣原子的損耗是導致銣鐘壽命終結(jié)的主要原因[2]。因此選用耐堿性玻璃作為銣燈材料，在銣燈內(nèi)充入足量的銣，是延長銣燈工作壽命的主要思路。但是充銣量過多會導致液態(tài)金屬銣在銣燈內(nèi)表面流動，使銣燈輸出的光強不穩(wěn)定，對銣鐘整機的頻率穩(wěn)定度產(chǎn)生不利影響[3]。因此，能夠準確預測銣光譜燈銣量在不同的服役過程中的消耗速率，根據(jù)銣燈中銣消耗特性確定適宜的充銣量，是銣鐘壽命設(shè)計考慮的核心問題。

對于銣光譜燈壽命的研究，Volk等通過對不同廠家生產(chǎn)的Corning 1720、Schott 8437以及Schott 8436共4款玻璃進行了銣消耗實驗研究，驗證了銣燈壽命的主要限制因素為銣原子向玻璃外部擴散，并通過實驗證明了銣原子擴散到玻璃中的速度取決于銣燈的條件，包括燈的尺寸、玻璃的類型、燈的溫度和射頻驅(qū)動功率等。Cook等人通過進一步實驗修正了銣消耗經(jīng)驗公式，針對銣的化學消耗，引入了κ作為化學反應的時間常數(shù)，得到了精度更高的銣消耗模型公式[4]。

國內(nèi)許多的科研機構(gòu)，如蘭州空間技術(shù)物理研究所[5～7]和武漢物理與數(shù)學研究所[8,9]，近二十年內(nèi)針對銣燈壽命預測和提高銣燈壽命措施方面進行了一系列研究。何勝國等利用一種新的燈泡趕銣方法，顯著提高了差分掃描量熱計測量燈泡銣量的精度[10]。通過對長達7年銣量測試數(shù)據(jù)的理論擬合，得到了誤差值小于10 μg的銣量消耗模型公式。

對于目前銣燈內(nèi)金屬銣消耗的研究方法，主要是通過長時間的實驗獲取相關(guān)參數(shù)然后通過數(shù)據(jù)擬合得到經(jīng)驗公式，需要耗費大量的時間和資金成本。隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字仿真技術(shù)在工業(yè)界的各個領(lǐng)域都得到了廣泛的應用與發(fā)展[11～15]，而有限元方法與其他數(shù)值仿真方法如離散元和邊界元等相比，無論是在理論完善和商業(yè)軟件開發(fā)方面，近20年來都有著長足的發(fā)展，因此在學術(shù)界和工業(yè)界逐漸成為仿真分析的首選方法。本文基于瞬態(tài)熱傳導方程和非穩(wěn)態(tài)質(zhì)量擴散方程在數(shù)學形式具有相似性這一特點，使用有限元數(shù)值模擬方法研究銣原子在銣燈材料中擴散行為規(guī)律，同時利用所建立的有限元模型，分析了不同體積銣燈、銣燈外輪廓線曲率對銣消耗量的影響，為進一步預測銣燈的銣量消耗、預估銣燈的工作壽命和銣燈的選型提供有價值參考。

2 銣物理消耗的數(shù)學模型

2.1 銣擴散過程原理分析

在銣燈泡服役過程中，當銣吸附在玻璃泡殼內(nèi)表面后，一般認為銣通過擴散、滲透以及毛細作用等方式侵入玻璃內(nèi)部，且在大多數(shù)情況下均以濃度的擴散為主要方式[16,17]。銣原子在濃度梯度的作用下從濃度高的區(qū)域向濃度低的區(qū)域進行遷移，在玻璃中只要存在銣濃度差，銣燈內(nèi)部的銣原子擴散作用就會發(fā)生，系統(tǒng)內(nèi)部銣原子的總量并沒有發(fā)生改變。銣光譜燈工作時銣量耗散的過程，實質(zhì)就是銣原子質(zhì)量轉(zhuǎn)移的過程，因此該過程遵循質(zhì)量守恒定律和Fick定律[18]。

銣在玻璃中擴散的過程為非穩(wěn)態(tài)擴散，介質(zhì)內(nèi)部銣原子的濃度隨時間不斷發(fā)生變化，針對非穩(wěn)態(tài)情況下的擴散特征，F(xiàn)ick第二定律用以描述物質(zhì)擴散規(guī)律的。它指出在非穩(wěn)態(tài)擴散過程中，在距離x處，濃度隨時間的變化率等于該處擴散通量隨距離變化的負值，即:

(1)

式中:C為擴散物質(zhì)的質(zhì)量濃度,kg·m-3;D為擴散系數(shù),m2·s-1;t為擴散時間,s;x為距離,m。且銣在玻璃中的擴散系數(shù)僅與溫度和玻璃材料有關(guān)，則式(1)可更改為:

(2)

2.2 熱傳導與銣擴散分析對比

熱傳導實質(zhì)是由物質(zhì)中大量的分子熱運動互相撞擊，而使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分，或由高溫物體傳給低溫物體的過程[19]。固體中熱的傳導，就是能量的遷移，因此熱傳導過程同時遵循能量守恒原理和Fourier定律。

Fourier定律表明單位時間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率和截面面積，且熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。自然界和工程上的許多導熱過程為非穩(wěn)態(tài)，物體的溫度隨著時間不斷變化，需要考慮熱平衡方程進行求解。根據(jù)能量守恒定律進行推導得到瞬態(tài)熱傳導方程為:

(3)

式中:λ為導熱系數(shù),W·m-1·℃-1，是反映物質(zhì)導熱能力的量度;θ為溫度,℃;ρ為密度,kg·m-3;c為比熱容,J·kg-1·℃-1。

表1是銣原子擴散方程與熱傳導方程對比分析詳細情況，表中羅列了2個控制方程在非穩(wěn)態(tài)情況下的形式、所涉及的物理量以及相關(guān)單位的對比情況。從表1的控制方程以及物理量對比情況可得知，熱傳導方程僅在等式左邊比銣原子擴散方程多了密度和比熱容2個物理量，故在運用ANSYS中的熱傳導模塊來分析銣的擴散規(guī)律時，只需要在數(shù)值上令濃度=溫度(C=θ)；擴散系數(shù)=導熱系數(shù)(D=λ)；并取密度ρ=1，比熱容c=1，即可使擴散方程與熱傳導方程在控制方程形式上獲得統(tǒng)一，從而便可用ANSYS仿真軟件中的熱傳導模塊來分析銣原子在玻璃中擴散過程。

表1 擴散方程與熱傳導方程對比分析

3 銣物理消耗有限元模型

3.1 實驗參數(shù)

由于仿真模型銣量消耗對比的實驗值來自中國科學院頻標重點實驗室何勝國等人測試結(jié)果，因此銣物理消耗有限元模型加載和約束條件與文獻[10]銣量消耗測試實驗過程一致。在該實驗中選取3個銣燈泡進行了長期的剩余銣量測試，所用的銣光譜燈泡為圓柱形，內(nèi)表面積約為300 mm2，銣燈材料為Schott 8436玻璃。銣光譜燈工作溫度為130 ℃，激勵電路總功率為1.8 W，射頻頻率為110 MHz。詳細的銣光譜燈銣量測試實驗參數(shù)如表2所示。

表2 銣光譜燈銣量測試實驗參數(shù)

3.2 有限元模型建立

圓柱形銣燈泡的剖面圖如圖1(a)所示。圓柱形氣室半徑為4 mm，根據(jù)文獻[10]中實驗銣燈內(nèi)表面積計算得到銣燈高為9.94 mm，整體壁厚為 0.5 mm?？紤]銣燈泡結(jié)構(gòu)的軸對稱性，為了簡化計算，有限元仿真中采用二維旋轉(zhuǎn)軸對稱模型，利用Workbench前處理模塊建立銣燈泡的二維平面模型，后續(xù)將建立好的有限元模型導入Mechanical APDL。單元采用熱分析模塊2D單元PLANE 55，單元劃分時，尺寸為0.1 mm×0.1 mm，整個模型的單元劃分圖如圖1(b)所示，共有725個單元，876個節(jié)點。

圖1 銣燈泡

3.3 材料參數(shù)與邊界條件

根據(jù)表1和表2，熱傳導模塊計算的導熱系數(shù)用玻璃的擴散系數(shù)替代，比熱容和密度分別設(shè)置為1。初始時刻銣燈模型內(nèi)表面節(jié)點邊界條件為初始銣原子濃度，取實驗中3個銣燈充銣量的平均值258 μg，銣燈體積為499.64 mm3，計算得到內(nèi)表面銣原子濃度為0.516 kg·m-3，其余節(jié)點設(shè)置為0 kg·m-3。具體的載荷和邊界條件如圖2所示。設(shè)置分析類型為瞬態(tài)熱分析，計算時長設(shè)為50年，最后在Post 26后處理模塊統(tǒng)計各個時刻模型內(nèi)表面的銣擴散通量的數(shù)據(jù)。

圖2 銣燈銣量耗散模型邊界條件圖

4 結(jié)果與分析

4.1 仿真結(jié)果與實驗比較

圖3為銣燈內(nèi)銣原子擴散過程中濃度場云圖，觀察可發(fā)現(xiàn)銣原子在玻璃中的擴散并不全是一維單方向的擴散，對于圓柱形銣燈，上表面與側(cè)面的交線處，銣原子均向x方向與y方向擴散，導致此處的銣的擴散通量值最大。因此在計算銣消耗量時需要分區(qū)域討論銣的擴散狀況。觀察圖4上各處的銣擴散通量值可以發(fā)現(xiàn)，無論是上表面還是側(cè)面，在偏離交線處一個壁厚(0.5 mm)的距離后，銣擴散通量值幾乎不再衰減。為了精確計算得到銣燈工作過程中的銣量耗散，將銣在玻璃中的擴散區(qū)域分為4份，如圖5所示。對于A區(qū)域和C區(qū)域，區(qū)域內(nèi)各節(jié)點的銣擴散通量值基本無變化，因此選擇圖2中的a點與c點作為該區(qū)域的代表點計算銣量消耗；對于B區(qū)域和D區(qū)域，區(qū)域內(nèi)各節(jié)點的銣擴散通量值按照遠離交線處的方向依次遞減，因此選擇該區(qū)域的中心點，圖2中的b點與d點作為該區(qū)域的代表點計算銣量消耗。最后累加4個區(qū)域的銣消耗量，得到整個銣燈的銣消耗量。

圖3 銣擴散過程中濃度場云圖

圖4 銣燈泡的銣擴散通量

圖5 銣燈內(nèi)擴散區(qū)域劃分圖

圖6及圖7給出了工作溫度(130 ℃)下銣燈泡模型內(nèi)側(cè)4個區(qū)域的銣濃度梯度和銣擴散通量隨時間變化趨勢圖。從圖6可以觀察到，在銣燈工作初期，由于擴散時間較短，銣燈內(nèi)表面銣原子較多，侵入玻璃內(nèi)部的銣原子較少，銣燈內(nèi)表面4個區(qū)域與耐堿玻璃材料之間的銣原子濃度差異都較大，最大可達到5.227 μg·mm-4。較大的濃度梯度造成銣原子大量侵蝕耐堿玻璃材料間隙，導致銣的快速消耗。但隨著銣燈使用年限的增長，玻璃內(nèi)部的銣原子濃度逐漸增大，銣燈內(nèi)表面與玻璃之間的銣原子濃度梯度逐漸降低。如圖6所示，經(jīng)過2×108s(大約6.34年)后，銣濃度梯度下降了初期時的49.2%。隨著銣燈內(nèi)表面與玻璃之間銣原子濃度梯度的降低，銣燈內(nèi)部4個區(qū)域之間的差異逐漸顯現(xiàn)出來，由于交線附近同時受到上表面與側(cè)面的同時侵蝕，相較于側(cè)面與上表面中心處，有著更大的濃度梯度，所以觀察后期的銣擴散通量圖可以發(fā)現(xiàn)B、D區(qū)域相較于A、C區(qū)域有著更大的銣擴散通量值。具體以B區(qū)域各項值為參考，擴散時間為50年，對于銣濃度梯度，D區(qū)域為B區(qū)域的96.9%，A區(qū)域為B區(qū)域的85.3%，C區(qū)域為B區(qū)域的80.8%；對于銣擴散通量，D區(qū)域為B區(qū)域的96.0%，A區(qū)域為B區(qū)域的91.4%，C區(qū)域為B區(qū)域的86.5%。

圖6 工作溫度下銣燈泡內(nèi)表面4個區(qū)域銣濃度梯度隨時間變化趨勢

圖7 工作溫度下銣燈泡內(nèi)表面4個區(qū)域銣擴散通量隨時間變化趨勢

對銣擴散通量圖進行定積分可以得到任意時間段內(nèi)單位面積上擴散所消耗的銣量，即可以獲得銣光譜燈物理消耗的銣量數(shù)據(jù)，進而能夠評估銣燈泡的使用壽命。如表3所示，計算得到了在工作溫度(130 ℃)下50年擴散所消耗的銣量。

表3 工作溫度下50年擴散消耗的銣量

如圖8所示，將有限元計算結(jié)果與文獻[10]中的實驗擬合值進行對比發(fā)現(xiàn)，有限元計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果趨勢一致，最大誤差出現(xiàn)在75 009 600 s(2.378年)，且最大誤差值僅為3.92 μg。根據(jù)表4對銣燈工作過程有限元計算結(jié)果與實驗擬合結(jié)果的相對誤差分析可以看出，在銣燈工作初期，銣燈內(nèi)銣量的消耗主要為化學消耗，物理擴散消耗量較少，所以相對誤差值較大；待銣燈內(nèi)雜質(zhì)與銣原子反應消耗殆盡后，物理擴散消耗為主要消耗，相對誤差逐漸減小，有限元計算結(jié)果更加精確，即證明使用有限元方法能夠正確的模擬銣光譜燈內(nèi)銣原子的物理擴散消耗，且該方法非常適用于長期工作銣燈的壽命預估。

表4 有限元計算與實驗擬合值相對誤差分析

圖8 實驗擬合與有限元數(shù)值分析對比圖

銣燈在工作過程中，工作溫度、耐堿玻璃材料、充銣量以及銣燈的造型都會在不同程度上影響銣原子的消耗。其中工作溫度和耐堿玻璃材料的改變會導致銣擴散系數(shù)的改變，充銣量的多少會影響銣燈內(nèi)質(zhì)量濃度的大小，銣燈造型則會影響銣原子擴散過程中的擴散通量。

4.2 不同體積銣燈對銣消耗量的影響

在獲得能夠準確預測擴散所消耗的銣量的有限元模型后，為了分析不同體積銣燈對銣消耗量的影響規(guī)律，本文在保證銣光譜燈充銣量、內(nèi)表面積、耐堿玻璃材料及形狀相同的情況下，分別選取直徑d為6、7、8、9、10 mm，壁厚為0.5 mm的圓柱形銣燈進行銣燈老化實驗模擬。為保證圓柱形銣燈內(nèi)表面擴散面積300 mm2不變，各直徑銣燈的高分別為14.42、11.9、9.94、8.36、7.05 mm。計算得到的50年銣消耗量如圖9所示。

圖9 不同直徑的銣燈對銣消耗量的影響

觀察圖9可知，在確保相同擴散面積的前提下，圓柱形的銣燈直徑越小，最終消耗的銣量越多。整個仿真過程使用的是同類型耐堿玻璃材料，這消除了擴散系數(shù)不同所可能帶來的影響。當圓柱形銣燈的直徑從6 mm增加至10 mm時，其體積也從407.72 mm3增大至553.71 mm3，最終的銣消耗量也從39.49 μg增長至54.36 μg，增長率為37.7%。其主要原因為5個不同直徑的銣燈有著相同的充銣量，這導致體積越小的銣燈內(nèi)表面的初始銣原子濃度越大，擴散過程中的銣擴散通量至也隨之增大，最終導致在相同時間下的銣燈老化實驗中有著更多銣消耗量。

4.3 外輪廓線曲率對銣消耗量的影響

由于在滿足實際服役過程中的銣燈形狀各有不同，不僅有圓柱形，還有梨形，如圖10所示。相較于圓柱形銣燈，當梨形銣燈工作時，燈泡內(nèi)的惰性氣體對流時可以使銣燈內(nèi)的雜質(zhì)沉積在燈泡的底部，減輕雜質(zhì)對燈泡壁的污染。本文在保證梨形銣燈充銣量、耐堿玻璃材料及體積相同的情況下，分別選取外輪廓線曲率半r徑為5.5、6.5、7.5、10.5、20.5 mm，壁厚為0.5 mm的梨形銣燈進行銣燈老化實驗模擬。進一步為了對比相同服役條件下圓柱形銣燈與梨形銣燈的銣量消耗，底座統(tǒng)一為半徑4 mm，高 1.5 mm，壁厚為0.5 mm的圓柱，計算得到的50年銣消耗量如圖11所示。

圖10 梨形銣燈泡

圖11 不同曲率半徑的銣燈對銣消耗量的影響

曲率半徑越大的銣燈，它的外輪廓線越“直”，所以梨形銣燈的不完整球面處發(fā)生一維單向擴散的概率就越高，即導致該區(qū)域的銣原子濃度梯度相對較低，銣擴散通量值相較于曲率半徑小的區(qū)域則較小，具體的參數(shù)值如圖12所示。但觀察圖11可知，梨形銣燈外輪廓線曲率半徑的變化對最終的銣量消耗值影響較小，曲率半徑增長率為272.7%時，銣量消耗下降率僅為4.3%。但當曲率半徑增至無窮大時，即外輪廓線變?yōu)橹本€，梨形銣燈改變?yōu)閳A柱形銣燈時，相同的工作溫度、耐堿玻璃材料、充銣量及銣燈體積條件下，最終的銣量消耗增長了10.4%。其主要原因為，雖然梨形銣燈的不完整球內(nèi)表面相較于圓柱形銣燈有著更大的銣擴散通量值，但相同體積和底部直徑條件下，圓柱形銣燈的內(nèi)表面積為300 mm2，梨形銣燈的內(nèi)表面積僅為271 mm2，這導致了圓柱形銣燈耗散了更多的銣原子。

圖12 不同曲率半徑銣燈的不完整球面銣擴散通量隨時間變化趨勢

5 結(jié) 論

本文以Schott 8436玻璃銣光譜燈為研究對象，通過有限元軟件ANSYS建立銣擴散模型，計算得到銣燈工作過程中各時刻的銣消耗量，為預測銣燈的使用壽命提供一種新的方法，并研究了銣燈參數(shù)對銣消耗量的影響。結(jié)論如下：

(1) 根據(jù)瞬態(tài)熱傳導方程與非穩(wěn)態(tài)擴散方程的相似性，利用有限元數(shù)值分析方法，對銣光譜燈的銣量消耗能夠進行精確的模擬計算。本文計算了50年的銣消耗量，最大誤差值為3.92 μg，最大相對誤差為14.9%，均出現(xiàn)在銣燈工作初期。且在15年之后，有限元模型計算結(jié)果的最大誤差值小于2 μg，相對誤差小于5%，即證明了使用有限元方法能夠準確地計算銣燈的銣消耗量，且該方法更適用于長期工作銣燈的壽命預估。

(2) 對于圓柱形銣燈，保證充銣量與擴散面積相同的情況下，體積最小參數(shù)方案的銣燈銣消耗量最大。本文所選取的直徑6～10 mm的圓柱形銣燈的銣消耗量最大差值為14.87 μg，最大偏差率可達37.7%。

(3) 對于梨形銣燈，保證充銣量與體積相同的情況下，外輪廓線曲率最大參數(shù)方案的銣燈銣消耗量相對較大，當曲率半徑增長率為272.7%時，銣消耗量變化率僅為4.3%，即外輪廓線曲率變化對銣燈的銣量消耗影響較小。但當曲率增至無限大即變?yōu)閳A柱形銣燈時，銣消耗量增加了10.4%，故可認為相同工作條件下，梨形銣燈的銣消耗量更少。