劉 鵬，李懷兵，楊超凡，陳 婷，劉 凱

(北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京 100076)

0 引 言

為了保證潤滑或者為了避免變形卡滯，傳動(dòng)間隙是機(jī)械傳遞過程正常進(jìn)行不可避免的一種非線性。間隙的存在增加了傳動(dòng)系統(tǒng)控制的復(fù)雜程度，會(huì)引起系統(tǒng)的自振蕩，使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能降低，因而在運(yùn)行精度要求較高的伺服系統(tǒng)領(lǐng)域，間隙非線性一致都是研究的重要內(nèi)容之一[1]。

在工程實(shí)踐中經(jīng)常遇到一些現(xiàn)象，例如對(duì)于一些帶寬要求較高的伺服系統(tǒng)，一般增益值較大，舵機(jī)在零位時(shí)經(jīng)常會(huì)有雜聲，查看位置傳感器反饋信號(hào)會(huì)發(fā)現(xiàn)反饋信號(hào)呈小幅度周期振蕩，當(dāng)降低增益值或者更換傳動(dòng)組件后，振蕩現(xiàn)象就會(huì)消失。從工程經(jīng)驗(yàn)來講上述問題應(yīng)該是由傳動(dòng)間隙引起的。本文的目標(biāo)就是從機(jī)理上解釋間隙引起的電動(dòng)舵機(jī)自振蕩現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，分析該自振蕩頻率和幅值的影響因素，以及不同控制策略對(duì)該自振蕩的影響。力求在機(jī)理上解釋和解決實(shí)際工程問題。

1 傳動(dòng)間隙數(shù)學(xué)模型的建立和非線性系統(tǒng)的研究方法

1.1 傳動(dòng)間隙數(shù)學(xué)模型的建立

圖1為典型的電動(dòng)舵機(jī)結(jié)構(gòu)圖。其運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)過程為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)通過齒輪副傳遞給滾珠絲杠副，絲杠螺母上安裝有線位移傳感器，將位置信號(hào)反饋給控制器，形成閉環(huán)控制。

圖1 電動(dòng)舵機(jī)結(jié)構(gòu)圖

電機(jī)一般通過圓柱銷或者平鍵與主動(dòng)齒輪連接，從動(dòng)齒輪一般通過平鍵與滾珠絲杠連接，圓柱銷一般為過盈配合，平鍵一般采用雙鍵，可有效消除間隙。并且滾珠絲杠副一般通過增大鋼球來消除間隙。所以在電動(dòng)舵機(jī)內(nèi)部傳動(dòng)間隙主要存在于齒輪副中。

電動(dòng)舵機(jī)的工作狀態(tài)分空載狀態(tài)和帶載狀態(tài)，空載狀態(tài)是指可忽略主動(dòng)齒輪之后的所有負(fù)載和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況，當(dāng)電動(dòng)舵機(jī)擺放在桌面上工作，或者裝艙后被驅(qū)動(dòng)的舵片很小時(shí)，均可認(rèn)為屬于空載狀態(tài)。不同的帶載狀態(tài)傳動(dòng)間隙的運(yùn)動(dòng)和受力行為也有所不同，需不同的數(shù)學(xué)模型來描述?？蛰d狀態(tài)下，傳動(dòng)間隙一般用遲滯模型描述，帶載狀態(tài)下，傳動(dòng)間隙一般用死區(qū)模型描述[2-4]。由于空載狀態(tài)下電動(dòng)舵機(jī)穩(wěn)定性分析是電動(dòng)舵機(jī)穩(wěn)定性分析的前提和基礎(chǔ)，因此本文重點(diǎn)運(yùn)用傳動(dòng)間隙的遲滯模型分析空載狀態(tài)下齒輪傳動(dòng)間隙引起的電動(dòng)舵機(jī)自振蕩現(xiàn)象。

遲滯模型的函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 遲滯模型函數(shù)曲線

數(shù)學(xué)表達(dá)式為

以齒輪副間隙為例對(duì)上式進(jìn)行解釋，x表示輸入齒輪轉(zhuǎn)角，y表示輸出齒輪轉(zhuǎn)角，k0表示傳動(dòng)減速比，b表示單邊間隙值(總間隙值為2b)，a表示主動(dòng)輪換向時(shí)主動(dòng)輪所處的角度值。遲滯模型實(shí)質(zhì)為一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，其對(duì)于描述空載狀態(tài)下電動(dòng)舵機(jī)的傳動(dòng)間隙是比較適合的。

1.2 描述函數(shù)法

本文采用描述函數(shù)法對(duì)含傳動(dòng)間隙的非線性系統(tǒng)進(jìn)行研究。描述函數(shù)法是基于頻率分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。該方法對(duì)于滿足結(jié)構(gòu)要求的一類非線性系統(tǒng)通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩[5]。

運(yùn)用描述函數(shù)法時(shí)，非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖3所示。

圖3 描述函數(shù)法應(yīng)用的典型結(jié)構(gòu)形式

當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)近似等效時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+N(A)G(jω)=0，即為G(jω)=-1/N(A)，稱-1/N(A)為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒數(shù)描述函數(shù)。若線性部分奈奎斯特曲線包圍曲線-1/N(A)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若線性部分奈奎斯特曲線不包圍曲線-1/N(A)，系統(tǒng)穩(wěn)定；若線性部分奈奎斯特曲線與曲線-1/N(A)有交點(diǎn)，則系統(tǒng)存在著無外作用下的周期運(yùn)動(dòng)，即自振蕩。

減速比為1時(shí)，遲滯模型的描述函數(shù)為

式中，b為單邊間隙值，A為輸入信號(hào)幅值。

2 傳動(dòng)間隙引起的自振蕩受控制算法的影響情況

在實(shí)際工程中，小功率電動(dòng)舵機(jī)通常使用有刷或無刷直流伺服電機(jī)，在控制中只有單獨(dú)的位置閉環(huán)回路。

不考慮系統(tǒng)中除傳動(dòng)間隙外的其它非線性，建立在空載狀態(tài)下，單環(huán)控制電動(dòng)舵機(jī)的結(jié)構(gòu)圖，如圖4所示，該模型為最基礎(chǔ)的電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)模型。

圖4 空載下單環(huán)控制電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

通過對(duì)結(jié)構(gòu)圖的等效化簡，得到化簡后的空載狀態(tài)下單環(huán)控制電動(dòng)舵機(jī)的結(jié)構(gòu)圖，如圖5所示。

圖5 等效化簡后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.1 比例控制

采用比例控制時(shí)，根據(jù)圖5可得系統(tǒng)系統(tǒng)線性部分的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：

某電動(dòng)舵機(jī)的參數(shù)定義如下：

R=0.105 Ω——電機(jī)等效電阻

L=0.00045 H——電機(jī)等效電感

Cm=0.008 N.m/A——電機(jī)力矩系數(shù)

Ce=0.105 V.s/rad——反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)

fd=3×10-3——電機(jī)粘性力矩系數(shù)

Jd=6.2×10-5kg.m2——電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

P=1——比例系數(shù)

U=160 V——供電電壓

i齒輪=2.8——齒輪的減速比

i絲杠=1570 rad/m——絲杠的減速比

k線角=1014.5°/m——作動(dòng)桿伸出長度轉(zhuǎn)化為舵軸轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)化關(guān)系

將數(shù)據(jù)代入公式，可得

系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(bode圖)如圖6所示，系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線如圖7所示。從圖中可以看出系統(tǒng)起點(diǎn)A(0)=∞,φ(0)=-90°，終點(diǎn)A(∞)=0,φ(∞)=-270°，與實(shí)軸有一個(gè)交點(diǎn)，不包圍(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖6 系統(tǒng)線性部分開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線

圖7 系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線

遲滯模型的單邊間隙值取為0.5°(0.00872 rad),將-1/N(A)曲線疊加到系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線上，如圖8所示。-1/N(A)曲線起點(diǎn)為(-∞，-∞j)，終點(diǎn)為(-1,j0)。從圖中可以看出開環(huán)幅相曲線與-1/N(A)曲線有點(diǎn)1和點(diǎn)2兩個(gè)交點(diǎn)，-1/N(A)曲線方向?yàn)閺淖笾赶蛴摇Ｏ到y(tǒng)中存在兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)1的幅值記為A10，點(diǎn)2的幅值記為A20。外界擾動(dòng)使非線性環(huán)節(jié)輸入幅值為A，當(dāng)AA20時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅將衰減，最終也將回到A20點(diǎn)。點(diǎn)2對(duì)應(yīng)著一個(gè)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，在相平面法中稱為極限環(huán)振蕩，本文稱為自振蕩。

圖8 系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線與-1/N(A)曲線相對(duì)位置

從圖8可以直接讀出在點(diǎn)2處的頻率w=171 rad/s(T=0.0367 s)，-1/N(A)=-1.21-0.304j，從描述函數(shù)中可以解出A=0.04583 rad。

按圖4仿真模型進(jìn)行仿真，系統(tǒng)輸入指令為0。使間隙環(huán)節(jié)前的積分環(huán)節(jié)初始條件(即間隙環(huán)節(jié)的輸入擾動(dòng))為0.5 rad，通過仿真，間隙環(huán)節(jié)會(huì)輸出一個(gè)穩(wěn)定的振動(dòng)如圖9所示。間隙環(huán)節(jié)的輸出經(jīng)過傳遞環(huán)節(jié)后，可在位置傳感器上讀出，如圖10所示。從圖解法及仿真結(jié)果可以看出，傳動(dòng)間隙引起電動(dòng)舵機(jī)產(chǎn)生自振蕩的條件為線性部分開環(huán)幅相曲線局部包圍非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒數(shù)描述函數(shù)-1/N(A)。

圖9 間隙環(huán)節(jié)輸入輸出曲線

圖10 位置傳感器輸出信號(hào)

當(dāng)比例系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，線性部分的開環(huán)幅相特性曲線也會(huì)發(fā)生變化比例系數(shù)分別取P=1，0.8，0.5時(shí)，開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖11所示，從圖中可以看出比例系數(shù)變化時(shí)，相位特性不變，幅值特性改變。從圖12開環(huán)幅相特性曲線可以看出隨著比例系數(shù)的減小，開環(huán)幅相特性曲線曲線會(huì)右移。當(dāng)曲線與-1/N(A)無交點(diǎn)時(shí)，則系統(tǒng)一直穩(wěn)定，不會(huì)產(chǎn)生自振蕩。

圖11 比例變化時(shí)系統(tǒng)線性部分開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線

圖12 比例變化時(shí)系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線

2.2 比例微分控制

系統(tǒng)采用比例加微分控制時(shí)，比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為P(1+Kds)，系統(tǒng)線性部分的開環(huán)傳遞函數(shù)。與比例控制相比，比例微分控制增加了一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)。取比例系數(shù)P=1，微分系數(shù)Kd=0.01,其它參數(shù)按上一節(jié)取值，可得系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線，如圖13所示 。從圖中可以看出，增加微分后，系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線向第四象限偏移，不易與-1/N(A)曲線相交，也就不易形成自振蕩。

圖13 增加微分后系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線

2.3 比例積分分控制

系統(tǒng)采用比例加積分控制時(shí)，比例積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為P(1+KI/s)，與比例控制相比，比例積分將系統(tǒng)型別由Ⅰ型變?yōu)棰蛐?，并且增加了一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)。取比例系數(shù)P=1，積分系數(shù)KI=1，其它參數(shù)按2.1節(jié)取值，可得系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線，如圖14所示。從圖中可以看出，增加積分后，系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線向第三象限偏移，更易與-1/N(A)曲線相交，也就容易形成自振蕩。

圖14 增加積分后系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線

3 傳動(dòng)間隙引起的自振蕩頻率和幅值的影響因素

通過前文分析可知，間隙引起的自振蕩頻率和幅值取決于系統(tǒng)線性部分開環(huán)幅相曲線與-1/N(A)曲線的交點(diǎn)。自振蕩頻率由線性部分決定，振蕩幅值通過交點(diǎn)和描述函數(shù)公式求解得到。

從式1可以看出改變單邊間隙值b的大小時(shí)，-1/N(A)曲線不會(huì)發(fā)生變化，這是因?yàn)樵诠街锌梢钥闯鲭m然A是自變量，但是完全可以將b/A看成一個(gè)自變量，這樣描述函數(shù)曲線就與b的取值無關(guān)。當(dāng)b變化時(shí)，線性部分開環(huán)幅相曲線和-1/N(A)的交點(diǎn)(Re(-1/N(A)),Im(-1/N(A)))不變，但是根據(jù)交點(diǎn)求得的A的值會(huì)發(fā)生變化，即間隙值b不影響自振蕩的頻率，但會(huì)影響自振蕩的幅值。圖15為不同間隙下自振蕩幅值A(chǔ)與交點(diǎn)虛部的函數(shù)曲線。從圖中可以看出，交點(diǎn)虛部取相同值時(shí)，間隙值越大，求得的自振蕩幅值也越大。

圖15 幅值A(chǔ)的函數(shù)曲線

4 實(shí)例分析

如圖16所示，為某電動(dòng)舵機(jī)在零指令下發(fā)生了自振蕩現(xiàn)象，圖中為位置傳感器輸出信號(hào)?？梢钥闯銮€在-0.020°～+0.020°之間波動(dòng)變化(周期16 s左右)。

圖16 幅值A(chǔ)的函數(shù)曲線

按照上文分析，建立系統(tǒng)模型，調(diào)整線性部分調(diào)節(jié)線性部分參數(shù)，使系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線與-1/N(A)曲線交點(diǎn)頻率為0.3925 rad/s左右。調(diào)節(jié)間隙值可以使位置傳感器輸出幅值為0.02°。如圖17所示，仿真結(jié)果可與實(shí)際情況一致。

圖17 仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

通過本文分析可得到以下結(jié)論：

(1)空載狀態(tài)下，純比例控制時(shí)，通過減小比例系數(shù)可以避免間隙引起的自振蕩。

(2)在比例控制的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)卦黾游⒎挚刂朴欣诒苊忾g隙引起的自振蕩。

(3)在比例控制的基礎(chǔ)上增加積分控制易于產(chǎn)生間隙引起的自振蕩。

(4)間隙引起電動(dòng)舵機(jī)的自振蕩頻率由線性部分決定，與間隙值的大小無關(guān)，間隙值會(huì)影響振蕩的幅值，間隙值越大，自振蕩幅值也越大。