陳棟梁，皋 春

吳江盛澤中學(xué)，江蘇 蘇州 215228

1 問(wèn)題的提出

2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題如圖1所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d。將小環(huán)從與定滑輪等高的A處?kù)o止釋放，小環(huán)下滑過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）

圖1 2021年蘇州市高三物理期中考試選擇題第10題

A．小環(huán)的機(jī)械能守恒

C．當(dāng)輕繩與光滑直桿間夾角θ=60°時(shí)，小環(huán)的速度最大

誤解：需注意的是，小環(huán)加速度為零時(shí)，重物加速度不為零。不少人會(huì)誤認(rèn)為小環(huán)加速度為零時(shí)，重物加速度也為零，從而得出繩子拉力T=2mg，θ=60°時(shí)小環(huán)速度最大的錯(cuò)誤結(jié)論。

方法一：設(shè)小環(huán)在任意角度θ時(shí)的速度為v，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：

則小環(huán)的速度為：

此速度表達(dá)式十分復(fù)雜，無(wú)法直觀(guān)得出速度的最大值及對(duì)應(yīng)的角度，用數(shù)學(xué)求極值也非常困難。

此求解方法雖然可以排除錯(cuò)誤答案，但不易被學(xué)生理解，且同樣無(wú)法判定小環(huán)速度在哪個(gè)位置最大。因此，方法二的信服力不夠，學(xué)生很難深入理解此題的全面過(guò)程。

基于上述困難，教師可以采用大家都熟悉且方便使用的Excel數(shù)值分析工具和圖像繪制功能等可視化教學(xué)技術(shù)，幫助和引導(dǎo)學(xué)生全面深入地理解復(fù)雜和抽象問(wèn)題。

2 可視化教學(xué)：Excel數(shù)值分析工具及圖像繪制

可視化教學(xué)是指運(yùn)用一切可能的圖示、動(dòng)畫(huà)、聲音、視頻和實(shí)驗(yàn)等技術(shù)和手段對(duì)教學(xué)的所有環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)和整合，進(jìn)而實(shí)施教學(xué)的過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中充分利用知識(shí)和思維可視化理論，使凸顯內(nèi)涵要素的抽象或具體形態(tài)的外延可視化，使本來(lái)隱于頭腦中的思維過(guò)程外顯化、可視化。這樣，教師會(huì)更加容易地捕捉到學(xué)生錯(cuò)誤概念的根源，從而更快捷、準(zhǔn)確地建構(gòu)新的概念和規(guī)律。

原題中，無(wú)論用公式法，還是特殊值法，都不能使小環(huán)和重物隨時(shí)間的變化規(guī)律可視化。而利用Excel的數(shù)值分析工具和圖像繪制功能，能完整地顯示小環(huán)和速度隨時(shí)間變化的過(guò)程，且可以找到特殊位置的軌點(diǎn)，使大家對(duì)速度變化規(guī)律的理解更清晰、更深入。

2.1 小環(huán)和重物速度的數(shù)值及圖像分析

圖2 小環(huán)和重物速度隨角度變化的曲線(xiàn)

圖像分析：

（1）圖2展現(xiàn)出的實(shí)際物理情境：在夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，小環(huán)和重物的速度都是先增大后減小。

（2）結(jié)合圖2和表1中的Excel計(jì)算數(shù)值可知，小環(huán)速度最大時(shí)θ=67.5°；重物速度最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的夾角θ=52.2°。

表1 小環(huán)和重物速度隨角度變化的計(jì)算數(shù)據(jù)

2.2 小環(huán)和重物加速度的數(shù)值及圖像分析

小環(huán)和重物的加速度直接制約小環(huán)和重物的速度的變化規(guī)律，只有理解加速度的變化規(guī)律，才能更深入地理解速度的變化規(guī)律。因此，用Excel的數(shù)值分析工具和圖像繪制功能，完整展示加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律顯得非常有必要。

在任意角度θ時(shí)，對(duì)小環(huán)和重物分別受力分析，由牛頓第二定律，可得：

圖3 小環(huán)和重物加速度隨角度變化的曲線(xiàn)

圖像分析：

（1）由圖3，結(jié)合題目實(shí)際情境，在夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，小環(huán)的加速度由g逐漸減小為零，再反向增加；重物的加速度從零開(kāi)始，先增大至某值再逐步減小為零，然后反向增加。

（2）由圖3，結(jié)合表2中的Excel計(jì)算數(shù)值，我們發(fā)現(xiàn)，小環(huán)加速度為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的夾角θ=67.5°；重物加速度為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的夾角θ=52.2°。即小環(huán)的加速度為零時(shí)，重物的加速度不為零。

表2 圖3對(duì)應(yīng)的計(jì)算數(shù)據(jù)

2.3 小環(huán)和重物組成的系統(tǒng)動(dòng)能之和的數(shù)值及圖像分析

能量問(wèn)題是伴隨動(dòng)力學(xué)問(wèn)題必然要討論的問(wèn)題。經(jīng)上面的討論發(fā)現(xiàn)，原題中60°不是小環(huán)速度最大對(duì)應(yīng)的角度，那是否是沒(méi)有意義的角度呢？通過(guò)Excel的數(shù)值和圖像功能，將小環(huán)和重物組成的系統(tǒng)動(dòng)能之和進(jìn)行可視化研究，發(fā)現(xiàn)了新的特殊結(jié)論。

圖4 系統(tǒng)動(dòng)能之和隨角度變化的曲線(xiàn)

圖像分析：

（1）由圖4，結(jié)合題目實(shí)際情境，在夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)能之和是先增大后減小。

（2）由圖4，結(jié)合Excel計(jì)算數(shù)值，容易發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)動(dòng)能最大時(shí)夾角θ恰好為60°。所以，雖然60°不是小環(huán)速度最大時(shí)的角度，但卻是系統(tǒng)動(dòng)能最大時(shí)的角度。

2.4 不同質(zhì)量比時(shí)，小環(huán)和重物速度的數(shù)值及圖像分析

原題中，只討論了小環(huán)和重物在特殊質(zhì)量時(shí)的變化規(guī)律。為使學(xué)生更深入地理解該物理問(wèn)題，可以引導(dǎo)他們可視化探究小環(huán)和重物在不同質(zhì)量比時(shí)的速度變化規(guī)律。

設(shè)小環(huán)質(zhì)量為m，重物質(zhì)量為m，在任意角度θ時(shí)小環(huán)的速度為v，重物的速度為v，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒，得：

將兩個(gè)速度無(wú)量綱化，并約化質(zhì)量后，可得：

圖5 不同質(zhì)量比下小環(huán)速度隨角度變化的曲線(xiàn)

圖6 不同質(zhì)量比下重物速度隨角度變化的曲線(xiàn)

圖像分析：

（1）結(jié)合圖5、圖6和題目實(shí)際情境，當(dāng)質(zhì)量比k＜1.0時(shí)，夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，小環(huán)和重物的速度都是先增大后減小。但同一質(zhì)量比下小環(huán)和重物的最大速度對(duì)應(yīng)的角度并不一致。

（2）當(dāng)質(zhì)量比k=1.0時(shí)，小環(huán)和重物的速度都是一直增加的，最后趨于一個(gè)穩(wěn)定值。

（3）當(dāng)質(zhì)量比k＞1.0時(shí)，小環(huán)和重物的速度是一直增加的，且越增越快。

2.5 不同質(zhì)量比時(shí)，小環(huán)和重物加速度的數(shù)值及圖像分析

原題只討論了小環(huán)和重物在特殊質(zhì)量時(shí)的變化規(guī)律。為使學(xué)生更深入地理解該物理問(wèn)題，可以引導(dǎo)他們對(duì)小環(huán)和重物在不同質(zhì)量比時(shí)的加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律進(jìn)行可視化探究。設(shè)小環(huán)質(zhì)量為m，重物質(zhì)量為m，任意角度θ時(shí)小環(huán)的速度為 v，加速度為 a，重物的速度為 v，加速度為a。由受力分析、牛頓第二定律、加速度牽連和系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可得：

圖7 不同質(zhì)量比下小環(huán)加速度隨角度變化的曲線(xiàn)

圖8 不同質(zhì)量比下重物加速度隨角度變化的曲線(xiàn)

圖像分析：

（1）圖7可得的實(shí)際物理情境：當(dāng)質(zhì)量比k＜1.0時(shí)，夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，小環(huán)的加速度由g逐漸減小為零，再反向逐漸增加。這說(shuō)明小環(huán)先加速后減速，中間會(huì)出現(xiàn)速度最大值；當(dāng)質(zhì)量比k≥1.0時(shí)，小環(huán)的加速度一直向下減小，即小環(huán)一直處于加速狀態(tài)。

（2）圖8可得的實(shí)際物理情境：當(dāng)質(zhì)量比k＜0.5時(shí)，夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，重物的加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向逐漸增加；當(dāng)質(zhì)量比為0.5≤k≤1.0時(shí)，夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，重物的加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向逐漸增加，再減小，最后趨于不變。這表明當(dāng)重物較輕時(shí)先向上加速，再向上減速；當(dāng)質(zhì)量比k＞1.0時(shí)，夾角θ從90°逐漸減小的過(guò)程中，加速度由0.518g逐漸減小為零，再反向，大小逐漸增加，接著又逐漸減小為零，然后再變向并逐漸增加，最后趨于不變。這表明當(dāng)重物較重時(shí)會(huì)多次出現(xiàn)加速和減速過(guò)程。

3 結(jié)語(yǔ)

用Excel的數(shù)值分析方法和圖像功能，用可視化的手段，描述物理量的變化規(guī)律，操作方便、簡(jiǎn)單，易于師生課堂教學(xué)使用，并具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）可以精準(zhǔn)地找出復(fù)雜物理表達(dá)式中物理量的極值（常規(guī)手段或通過(guò)表達(dá)式無(wú)法直接得出，例如小環(huán)和重物的速度、加速度、總動(dòng)能等物理量的極值問(wèn)題）；

（2）可以完整、形象地描述物理量的變化規(guī)律，尤其是不同情形下的物理量的變化規(guī)律（例如不同質(zhì)量比情形下，各物理量的變化規(guī)律），從而深入理解物理規(guī)律和本質(zhì)；

（3）可以創(chuàng)造性地引導(dǎo)學(xué)生探究不同物理量之和的變化規(guī)律（例如系統(tǒng)動(dòng)能之和的極值問(wèn)題）。