劉西奎，劉文成，李 艷，莊繼晶

(1.山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590; 2.山東科技大學 電氣信息系, 山東 濟南 250031)

眾所周知，馬爾可夫跳躍系統(tǒng)是由多個模態(tài)或子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)，系統(tǒng)在各個子系統(tǒng)間的切換服從一定的概率分布。該系統(tǒng)適合描述突變現(xiàn)象，如零部件故障、子系統(tǒng)之間關聯(lián)改變以及突發(fā)性環(huán)境擾動等，被廣泛應用到電力系統(tǒng)、制造系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)等工程領域。近年來，關于馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的研究取得了豐富的成果。文獻[1]分別討論了連續(xù)和離散時間馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題。文獻[2]使用量化方法研究了一類具有時變轉移概率的奇異馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。文獻[3]針對離散時間馬爾可夫跳變系統(tǒng)，結合有限時間理論，給出了有限頻段和有限時間兩種尺度的H∞濾波器設計方法。文獻[4]研究了馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的不定平均場隨機線性二次最優(yōu)控制，通過定義一種廣義黎卡提差分方程，得到最優(yōu)控制的一般形式。文獻[5-6]分別研究了離散時間和連續(xù)時間隨機馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的H-指數(shù)問題，并用于故障檢測濾波器設計。

符號表示：E[·]是[·]的數(shù)學期望;矩陣M∈Rm×n,M>0(M≥0) 表示M是正定(半正定)矩陣;λmax(M)與λmin(M)分別表示矩陣M的最大特征值和最小特征值; (M)★?M+MT。

1 定義和問題描述

考慮如下時滯隨機馬爾可夫跳躍系統(tǒng)：

(1)

式中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈Rm是控制輸入，z(t)∈Rq是控制輸出；時滯τ滿足τ≥0;φ(t)是定義在[-τ,0]的連續(xù)函數(shù)；ω(t)是定義在概率空間(Ω,F,Ρ)上的一維Wiener過程，滿足E[dω(t)]=0，E[d2ω(t)]=dt。ω(t)與{θt,t≥0}相互獨立。隨機過程{θt,t≥0}是一個右連續(xù)的馬爾可夫鏈，在集合S={1,2,…,N}中取值，其轉移概率矩陣為Π=[πij]N×N，πij是由狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉移率，滿足轉移概率

外部擾動v(t)滿足

(2)

為簡單起見，當θt=i時，適當維數(shù)的常數(shù)矩陣A(θt),Aτ(θt),B(θt),C(θt),Cτ(θt),D(θt),G(θt),F(θt),H(θt),Hτ(θt)和D1(θt)分別記作Ai,Aτi,Bi,Ci,Cτi,Di,Gi,Fi,Hi,Hτi和D1i。

(3)

引理 1(Gronwall不等式)[22]設f(t)是一個非負函數(shù)，如果存在非負常數(shù)p和q，滿足

則

引理2(舒爾補引理)[23]對于實矩陣H，實對稱矩陣S，正定矩陣U，下列不等式等價：

S+HU-1HT<0，

2 有限時間有界性分析

本節(jié)討論u(t)=0時，系統(tǒng)(1)的有限時間有界性。通過線性矩陣不等式方法，給出系統(tǒng)(1)有限時間有界的充分條件。

定理1對于正常數(shù)η，如果存在正常數(shù)λi1,λi2，正定矩陣Pi,Oi,Q，滿足

(4)

Q

(5)

(6)

(7)

證明：構造Lyapunov函數(shù)

(8)

進而

(9)

式中Ξ=Cix(t)+Cτix(t-τ)+Fiv(t)。

由引理2，式(4) 等價于

左右兩邊分別乘以[xT(t)xT(t-τ)vT(t)]T及其轉置，并對比式(9), 得

(10)

式中V1(xt,θt=i)=xT(t)Pix(t)。進一步，

(11)

(12)

應用引理1，得

(13)

(14)

(15)

(16)

結合式(13)～(16)，則

(17)

注2當Fi=0,Gi=0時，定理1為系統(tǒng)(1)有限時間穩(wěn)定的充分條件。從而，定理1退化為文獻[28]的定理1。

3 通用控制器的設計

本節(jié)提出一種新型控制器

u(t)=α(t)K(θt)x(t)+(1-α(t))Kτ(θt)x(t-τ),

(18)

式中：K(θt)和Kτ(θt)表示控制器增益，隨機變量α(t)是伯努利變量，滿足

Pr{α(t)=1}=α, Pr{α(t)=0}=1-α。

顯然

E[α(t)-α]=0,E[(α(t)-α)2]=α(1-α)=β2。

將控制器(18)代入系統(tǒng)(1)，得

(19)

接下來，在定理1的基礎上，給出閉環(huán)系統(tǒng)(19)有限時間H∞有界的充分條件。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

證明：對于閉環(huán)系統(tǒng)(19)，選擇Lyapunov函數(shù)(8)，則

=E[WTPix(t)]+E[xT(t)PiW]+E[WTPiW]+xT(t)Qx(t)-

因為E[α(t)-α]=0,E[(α(t)-α)2]=α(1-α)=β2，所以

(25)

(26)

得

(27)

(28)

式中：

對式(28)兩邊分別乘以矩陣[xT(t)xT(t-τ)vT(t)zT(t)]T及其轉置，并與式(25)對比， 得

(29)

在零初始條件下，對式(29)兩邊積分并取數(shù)學期望，得

(30)

根據(jù)引理1，有

(31)

從而

由式(29)，進一步得

(32)

(33)

且

(34)

由引理2, 可知式(22)和(33)等價。通過式(23)和(26)，可以得式(34)，即式(22)和(23)等價于式(6)。令定理1中的Oi=-γ2I，則式(11)與(32)等價，式(7)與(24)等價。其余證明與式(12)～(17)證明相同，在此省略。

注3當α(t)=1和0時，控制器(18)分別為狀態(tài)反饋控制器u(t)=K(θt)x(t)和時滯狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kτ(θt)x(t-τ)。與文獻[17-20]中的狀態(tài)反饋控制器和文獻[21]中的時滯反饋控制器對比，控制器(18)更具有一般性，可以用于網絡控制系統(tǒng)、單接點機械手臂等實際系統(tǒng)。

4 數(shù)值算例

為驗證前述定理的有效性，考慮具有兩個模態(tài)的隨機時滯馬爾科夫跳躍系統(tǒng)(1)，其參數(shù)如下。

模態(tài)1：

模態(tài)2：

轉移概率矩陣為：

由定理2可得η的可行域為[0,18.99], 圖1和圖2分別是η與c2和γ的關系曲線圖。

圖1 η∈[0,20]時，c2的變化

圖2 η∈[0,20]時，γ的變化

從圖1和圖2可以看出，當η=0.19時，c2取得最小值21.174 7，對應的γ=2.639 9。

K1=[-1.464 9-1.065 5],Kτ1=[0.226 0-0.272 8],

圖3 狀態(tài)x(t)的響應曲線

圖4 E[xT(t)Rx(t)]的演化

圖5表示c2和α的關系，其中小圖是α分別在閉區(qū)間[0.5,1]和[0.9,1]取值時c2的曲線圖。當α(t)的數(shù)學期望α=0.98時，c2取最小值。即α=0.98時，控制器(18)的保守性最小。與文獻[20]的狀態(tài)反饋控制器(對應α=1)相比，控制器(18)保守性更小。

圖5 c2與α的關系

5 結論