楊 超， 任澤平， 喬海亮， 陳劍楠

(西北核技術(shù)研究所， 西安 710024)

研究電磁波與地面的相互作用在遙感、移動通信、目標(biāo)識別和軍事等領(lǐng)域有重要的意義[1-2]?；跁r域微分方程的時域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)方法是解決電波傳播與電磁散射的常用工具[3-7]，它是由Yee[8]于1966年通過直接對時域Maxwell方程進(jìn)行差分離散而提出的，不僅可求解時諧連續(xù)波的散射，還可計(jì)算非時諧脈沖波的散射。用FDTD方法計(jì)算散射問題時，通常將計(jì)算區(qū)域劃分為總場區(qū)和散射場區(qū)，通過傳統(tǒng)總場散射場(total-field/scattered-field, TF/SF)方法能有效引入平面入射波，但散射體被限制在TF/SF邊界內(nèi)[9-10]。隨后，眾多學(xué)者對TF/SF進(jìn)行了改進(jìn)[5,11-17]。

FDTD方法是研究電磁波與地面相互作用的常用數(shù)值計(jì)算方法[18-25]，而有效的平面波加載方法一直是重點(diǎn)關(guān)注的研究內(nèi)容。Chan等[18]最先提出將FDTD方法應(yīng)用于粗糙地面的散射計(jì)算。1994年，F(xiàn)ung等[19]較系統(tǒng)地闡述了用FDTD方法研究粗糙地面的電磁散射，提出以上表面處的TF/SF邊界為粗糙地面來加載入射波，側(cè)邊直接接吸收邊界，此時TF/SF不再是一個閉合的空間，而退化為一個面。該方法是用有限面元激勵源代替平面入射波，無法將真實(shí)入射波引入到總場區(qū)中。Wong等[21]用三波法計(jì)算無限大半空間平面的散射特性，三波法是一種典型的半解析半數(shù)值混合方法，需解析計(jì)算出各個區(qū)域場分量，很難推廣到粗糙地面及多層媒介情形。Winton等[22]提出了雙側(cè)邊垂直加入法，采用非閉合TF/SF邊界，通過在左右兩邊的TF/SF邊界處附加1維FDTD的方法來引入入射波。

有文獻(xiàn)用廣義總場散射場(generalized TF/SF， G-TF/SF)方法模擬計(jì)算了無限大楔形物體的電磁波散射[26-27]，四周采用Berenger完全匹配層(perfectly matched layer, PML)[28]吸收邊界，減少了截?cái)嗵幍睦@射現(xiàn)象。本文將G-TF/SF方法應(yīng)用于地面的電磁散射，四周改用吸收效果更好的卷積PML(convolutional PML, CPML)[29]吸收邊界，可減小計(jì)算過程中由地面四周截?cái)喈a(chǎn)生的邊緣效應(yīng)。與TF/SF方法類似，G-TF/SF方法在總場邊界處加上或減去入射場，由于G-TF/SF部分邊界埋在PML層中，所以在傳統(tǒng)TF/SF的基礎(chǔ)上，需對埋在PML層中的G-TF/SF邊界入射波乘以相應(yīng)的系數(shù)，以保證將入射波等效到主網(wǎng)格區(qū)域進(jìn)行計(jì)算。為驗(yàn)證G-TF/SF方法的正確性，本文模擬計(jì)算了自由空間電磁波傳播和水平有耗地面的電磁特性，計(jì)算結(jié)果表明，G-TF/SF方法可高精度地模擬水平地面對電磁波的散射作用，為后續(xù)將G-TF/SF方法應(yīng)用于真實(shí)粗糙地面及分層媒介的電磁環(huán)境計(jì)算提供了理論依據(jù)。

1 基于FDTD的G-TF/SF方法

1.1 CPML區(qū)域G-TF/SF邊界的遞推公式

圖2為G-TF/SF邊界的6個面。G-TF/SF邊界的側(cè)面及底面均處于CPML區(qū)域，上面(圖2(e))的V區(qū)域位于自由空間，其余也均位于CPML區(qū)域。G-TF/SF邊界將FDTD計(jì)算區(qū)域劃分為總場區(qū)和散射場區(qū)，G-TF/SF邊界內(nèi)(含G-TF/SF邊界)的區(qū)域包含入射場和散射場，G-TF/SF邊界外部只有散射場。自由空間中的G-TF/SF邊界處理方法與傳統(tǒng)的TF/SF邊界完全相同[6-7]，而在CPML區(qū)域的G-TF/SF方法則需進(jìn)行特殊處理。

對電場和磁場進(jìn)行空間與時間離散[7]，CPML區(qū)域電場Ex的FDTD離散迭代公式為[6-7]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

與TF/SF引入入射波類似，G-TF/SF邊界法向分量的FDTD計(jì)算公式不變，切向分量的計(jì)算公式需改變。CPML區(qū)域中j=j0面(圖2(c))G-TF/SF界面切向場Ex的離散迭代公式為

(6)

(7)

1.2 CPML層G-TF/SF邊界入射場計(jì)算

在進(jìn)行FDTD計(jì)算前，需進(jìn)行預(yù)處理，求解CPML區(qū)域所需的入射場，令

Ψinc=X0ACPML(θinc，φinc)

(8)

對于給定的入射角，需確定CPML區(qū)域中G-TF/SF界面位置是入射波的起源或到達(dá)區(qū)域，對于入射到CPML處的電磁波，ACPML(θinc，φinc)為衰減因子ηatt

(9)

對于起源于CPML區(qū)域的電磁波，ACPML(θinc，φinc)為增益因子ηamp

(10)

通過FDTD預(yù)處理可計(jì)算得到在w方向CPML層的ηw,att(θinc，φinc,d)和ηw,amp(θInc，φinc,d)。因?yàn)橹挥靡粋?cè)TF/SF邊界，存在著場泄露和兩側(cè)邊界反射的問題，為減少偏差，在預(yù)處理中取CPML層最中間的電磁場幅值來計(jì)算ACPML。

CPML層所有G-TF/SF邊界的ACPML都可通過ηw,att和ηw,amp計(jì)算。以圖2(a)的i=i0面為例，對于90°<θinc≤180°，

區(qū)域Ⅰ：

ACPML=Ax,CPML(i0)Ay,CPML(j)

(11)

區(qū)域Ⅱ：

ACPML=Ax,CPML(i0)

(12)

區(qū)域Ⅲ：

ACPML=Ax,CPML(i0)Ay,CPML(j)

(13)

區(qū)域Ⅵ：

ACPML=Ax,CPML(i0)Ay,CPML(j)Az,CPML(k)

(14)

區(qū)域Ⅴ：

ACPML=Ax,CPML(i0)Az,CPML(k)

(15)

區(qū)域Ⅵ：

ACPML=Ax,CPML(i0)Ay,CPML(j)Az,CPML(k)

(16)

類似地，可計(jì)算i=i1，j=j0，j=j1，k=k0，k=k1面的ACPML值。利用式(8)-式(16)可得到CPML層所需的入射電場和磁場，進(jìn)而可在CPML層G-TF/SF邊界上進(jìn)行電場與磁場迭代。

2 算例比對與結(jié)果驗(yàn)證

入射平面波為時諧波E(t)=sin(2πft)，頻率f=300 MHz，波長λ=1 m，入射波方向?yàn)樨?fù)z方向，電磁極化方向?yàn)閤方向，F(xiàn)DTD空間離散間隔為λ/40=0.025 m。

2.1 自由空間

為在整個3D空間驗(yàn)證G-TF/SF的正確性， 利用G-TF/SF和TB方法計(jì)算了自由空間z=0面上的電場幅值，如圖5所示。由圖5可見，G-TF/SF方法計(jì)算z=0平面的幅值范圍與理論值1 V·m-1的最大相對偏差為0.8%，而TB方法與理論值相差較大。

利用G-TF/SF和TB方法計(jì)算了自由空間y=0面上的電場幅值，如圖6所示。由圖6可見，G-TF/SF方法計(jì)算結(jié)果與理論值符合很好，而TB方法與理論值相差較大。TB方法無法高精度地將入射場引入計(jì)算區(qū)域，而G-TF/SF可高精度地引入入射波。

2.2 有耗地面

圖7為利用G-TF/SF、TB和解析方法[30]計(jì)算的有耗地面上Ex(0,0,10)時域波形。由圖7可見，G-TF/SF方法與解析方法計(jì)算結(jié)果的波形吻合很好，而TB方法存在較大偏差。

圖8為利用G-TF/SF、TB與解析方法計(jì)算不同高度處電場幅值，G-TF/SF和TB方法計(jì)算結(jié)果為不同離散點(diǎn)(0,0,k)處，Ex(0,0,k)的電場幅值。由于入射波與地面的反射波傳播方向相反，頻率相同，所以電場沿不同高度的分布應(yīng)為駐波形式。

由圖8可見，G-TF/SF方法計(jì)算結(jié)果與解析法吻合很好，電場沿不同高度的分布為駐波形式，而TB方法存在很大偏差。

圖9為利用G-TF/SF和TB方法計(jì)算有耗地面上y=0面的電場幅值。由于是水平地表，電場幅值與x方向無關(guān)，G-TF/SF方法計(jì)算結(jié)果與理論值一致。電場幅值沿z方向的變化即為圖8所示曲線，TB方法計(jì)算結(jié)果存在較大偏差。

圖10為利用G-TF/SF和TB方法計(jì)算有耗地面上z=0.25 m(即k=10)面上的電場幅值。由圖10可見，G-TF/SF方法的計(jì)算結(jié)果在1.51～1.513 V·m-1范圍內(nèi)，與理論值符合很好，而TB方法與理論值相差較大。

3 結(jié)論

本文將G-TF/SF方法應(yīng)用于地面的電磁環(huán)境計(jì)算，四周采用CPML吸收邊界，減小了計(jì)算過程中由于地面四周截?cái)喈a(chǎn)生的邊緣效應(yīng)。與傳統(tǒng)TF/SF方法一樣，G-TF/SF方法在總場邊界處加上或減去入射場，但G-TF/SF方法把部分總場邊界埋在CPML層中，在傳統(tǒng)總場邊界條件的基礎(chǔ)上，需對埋在CPML層G-TF/SF邊界入射波值乘以相應(yīng)的系數(shù)，保證入射波等效到主網(wǎng)格區(qū)域進(jìn)行計(jì)算。相應(yīng)的系數(shù)可通過FDTD預(yù)處理計(jì)算不同CPML深度處的衰減值而得到。

本文用G-TF/SF方法模擬計(jì)算了自由空間電磁波傳播及水平有耗地面上的電磁特性。結(jié)果表明，G-TF/SF可高精度地對自由空間的電磁波傳播及水平有耗地面電磁環(huán)境進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，驗(yàn)證了G-TF/SF方法的可靠性，與TB方法相比，展現(xiàn)了G-TF/SF方法的優(yōu)越性。本文的相關(guān)研究可為后續(xù)將G-TF/SF應(yīng)用于真實(shí)粗糙地面及分層媒介的電磁環(huán)境計(jì)算提供理論依據(jù)和技術(shù)支撐。