楊 靜，朱志臻，石躍武，崔志同，吳 偉，陳 偉

(1. 火箭軍工程大學(xué)， 西安 710025； 2. 強(qiáng)脈沖輻射環(huán)境模擬與效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室； 3. 西北核技術(shù)研究所：西安 710024)

寬帶測(cè)量系統(tǒng)可用于脈沖電場(chǎng)測(cè)量，廣泛應(yīng)用于高空核電磁脈沖(high altitude electromagnetic pulse，HEMP)試驗(yàn)測(cè)量領(lǐng)域[1-4]。為獲得寬帶電場(chǎng)測(cè)量系統(tǒng)的帶寬及測(cè)量范圍等頻率響應(yīng)信息，需進(jìn)行標(biāo)定[5-7]，通過(guò)考察測(cè)量系統(tǒng)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)輸入電場(chǎng)的響應(yīng)進(jìn)行。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)輸入為不同頻率的正弦波時(shí)，稱為頻域標(biāo)定。頻域標(biāo)定可方便地獲得測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線，但輸入正弦波的幅值有限，一般為μV·m-1～100 V·m-1量級(jí)，對(duì)于低靈敏度核電磁脈沖測(cè)量系統(tǒng)實(shí)施難度大。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)輸入為方波或雙指數(shù)波等脈沖信號(hào)時(shí)，稱為時(shí)域標(biāo)定。與使用環(huán)境類似，時(shí)域標(biāo)定電場(chǎng)環(huán)境一般用于獲得測(cè)量系統(tǒng)的線性工作范圍及過(guò)沖等信息。充分利用寬帶測(cè)量系統(tǒng)的時(shí)域標(biāo)定結(jié)果推算系統(tǒng)頻率響應(yīng)-3 dB通帶上下限，是對(duì)頻域標(biāo)定的有益補(bǔ)充，有助于更好地了解寬帶測(cè)量系統(tǒng)的特性。

本文首先根據(jù)寬帶測(cè)量系統(tǒng)頻率響應(yīng)特點(diǎn)，將其建模為一階巴特沃斯濾波器，在此基礎(chǔ)上建立寬帶測(cè)量系統(tǒng)時(shí)域標(biāo)定過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。然后將階躍信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)輸入信號(hào)，解析推導(dǎo)了系統(tǒng)-3 dB通帶上限頻率fc_H與輸出響應(yīng)上升沿tr之間的關(guān)系，即fc_H=0.35/tr。這個(gè)關(guān)系式可用于對(duì)測(cè)量系統(tǒng)fc_H的估計(jì)。由于實(shí)際采用的寬帶測(cè)量系統(tǒng)頻響曲線的過(guò)渡段可能比一階巴特沃斯濾波器更陡或高頻響應(yīng)存在一定抖動(dòng)，為描述具有此類頻率響應(yīng)特點(diǎn)的測(cè)量系統(tǒng)，可將寬帶測(cè)量系統(tǒng)分別建模為高階巴特沃斯和二階切比雪夫低通濾波器，通過(guò)擬合方式，對(duì)上述關(guān)系式的常系數(shù)進(jìn)行修正，得到的系數(shù)均不小于0.35，表明采用公式fc_H=0.35/tr對(duì)寬帶測(cè)量系統(tǒng)的fc_H進(jìn)行的估計(jì)較為保守。因階躍信號(hào)在實(shí)際中不存在，采用上升時(shí)間tr0為0.5 ns和2.5 ns的方波作為標(biāo)準(zhǔn)輸入，通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算了tr隨fc_H的變化關(guān)系，結(jié)果表明在采用的標(biāo)準(zhǔn)方波前沿tr0遠(yuǎn)小于0.35/fc_H時(shí)，上述估計(jì)才有效。針對(duì)HEMP使用需求，本文還推導(dǎo)了采用雙指數(shù)波形作為標(biāo)準(zhǔn)輸入時(shí)，輸出波形的解析表達(dá)式。解析和數(shù)值結(jié)果都表明，fc_H=0.35/tr不適用于標(biāo)準(zhǔn)輸入為雙指數(shù)波的情形。最后將寬帶測(cè)量系統(tǒng)建模為一階巴特沃斯高通濾波器，將理想方波作為標(biāo)準(zhǔn)輸入，通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真給出了系統(tǒng)-3 dB頻率響應(yīng)下限頻率fc_L與輸出波形平頂降和方波半高寬之間的關(guān)系，可用于對(duì)測(cè)量系統(tǒng)fc_L的估計(jì)。根據(jù)推導(dǎo)過(guò)程，分析給出了標(biāo)定用方波的半高寬選取原則。針對(duì)實(shí)際需求，進(jìn)一步推導(dǎo)了利用輸出波形平頂降的斜率估計(jì)fc_L的公式。

1 計(jì)算模型

1.1 數(shù)學(xué)模型

本文通過(guò)寬帶測(cè)量系統(tǒng)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)輸入信號(hào)的行時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)估計(jì)系統(tǒng)的頻域響應(yīng)-3 dB通帶上下限。標(biāo)定過(guò)程及數(shù)學(xué)模型如圖1所示：標(biāo)定平臺(tái)產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)電場(chǎng)作為寬帶測(cè)量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)輸入，根據(jù)輸入和輸出的波形特征計(jì)算和評(píng)估測(cè)量系統(tǒng)的特性。仿真中，將標(biāo)準(zhǔn)輸入hin(t)建模為理想方波、雙指數(shù)波及階躍信號(hào)等函數(shù)，將寬帶測(cè)量系統(tǒng)建模為具有明確轉(zhuǎn)移函數(shù)表達(dá)式的濾波器，如巴特沃斯低通濾波器和切比雪夫?yàn)V波器等，在頻域有

Hout(jω)=Hin(jω)Hm(jω)

(1)

其中：Hout(jω)為輸出波形的頻譜；Hin(jω)為標(biāo)準(zhǔn)輸入信號(hào)的頻譜；Hm(jω)為寬帶測(cè)量系統(tǒng)的頻譜。通過(guò)傅里葉反變換可求得時(shí)域輸出hout(t)。推導(dǎo)可獲得輸入和輸出波形的數(shù)字特征與濾波器模型通帶上下限頻率fc_H和fc_L的關(guān)系，用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際標(biāo)定過(guò)程中對(duì)測(cè)量系統(tǒng)頻率響應(yīng)通帶上下限的估計(jì)。

圖1中，tr0，tw0表征輸入波形的數(shù)字特征。tr0為輸入波形的上升時(shí)間，定義為由峰值的10%上升到峰值的90%所需的時(shí)間；tw0為輸入波形半高寬，定義為波形上升至峰值的50%到下降至50%之間的時(shí)間。受寬帶測(cè)量系統(tǒng)帶寬的限制，輸出波形可能會(huì)發(fā)生一定的畸變，高頻成分損失會(huì)造成波形前沿變緩，有時(shí)會(huì)伴隨著振鈴和過(guò)沖現(xiàn)象，低頻成分損失會(huì)造成波形發(fā)生脈寬變窄和平頂降等現(xiàn)象，典型輸出波形如圖2所示。

圖2中，tr，tw，A，B表征輸出波形的數(shù)字特征。tr為輸出波形的上升時(shí)間；tw為輸出波形的半高寬。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)方波作為輸入時(shí)，輸出波形會(huì)出現(xiàn)平頂降，A和B分別為平頂處的最大值和最小值，表征平頂降的程度，如圖2(b)所示

1.2 標(biāo)準(zhǔn)輸入模型

標(biāo)準(zhǔn)輸入hin(t)可為理想方波、階躍信號(hào)及雙指數(shù)波等。理想方波記為

(2)

頻域表示為

(3)

其中：C為輸入波形的幅值；tw0為輸入波形的半高寬。

單位階躍信號(hào)常記為ε(t)，傅里葉變換式為

(4)

雙指數(shù)波的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Hin3(t)=Ck0(e-βt-e-αt)ε(t)

(5)

其中：k0為歸一化系數(shù)；α，β為波形參數(shù)，決定了波形的形狀，不同的α，β組合可形成不同前沿和半高寬的雙指數(shù)波形[8]，α>β。雙指數(shù)波的頻域表達(dá)式為

(6)

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)IEC 61000-2-9[9-10]給出的HEMP E1成分，C=50 kV·m-1，k0=1.3，α=6×108s-1，β=4×107s-1。

1.3 寬帶測(cè)量系統(tǒng)的濾波器模型

電磁脈沖試驗(yàn)中使用的寬帶測(cè)量系統(tǒng)一般在較寬的頻帶內(nèi)具有比較平坦的頻率響應(yīng)，且寬帶測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)上限fc_H與下限fc_L相差較大，因此將其建模為一個(gè)低通濾波器和一個(gè)高通濾波器的級(jí)聯(lián)。為簡(jiǎn)化分析，后續(xù)討論中濾波器模型通帶最大衰減設(shè)為-3 dB，對(duì)阻帶起始頻率和阻帶最小衰減不作要求。這樣，將寬帶測(cè)量系統(tǒng)建模為巴特沃斯低通濾波器時(shí)

(7)

其中：ωc_H為通帶-3 dB截止角頻率,ωc_H=2πfc_H；N為濾波器階數(shù)，N越大，過(guò)渡段越陡。N=1， 5， 10時(shí)，典型巴特沃斯低通濾波器的幅度響應(yīng)如圖3所示。由圖3可見，巴特沃斯濾波器在通帶內(nèi)具有平坦的幅度響應(yīng)和單調(diào)下降的過(guò)渡段，將寬帶測(cè)量系統(tǒng)頻率響應(yīng)建模為巴特沃斯濾波器具有代表性。巴特沃斯高通濾波器情形與低通濾波器類似，不再贅述。

實(shí)際采用的寬帶測(cè)量系統(tǒng)的高頻響應(yīng)可能存在一定抖動(dòng)，為描述具有此類頻率響應(yīng)特點(diǎn)的測(cè)量系統(tǒng)，可將寬帶測(cè)量系統(tǒng)建模為二階I型切比雪夫低通濾波器。同樣設(shè)濾波器通帶抖動(dòng)為3 dB，對(duì)阻帶起始頻率和阻帶最小衰減不作要求。

2 -3 dB通帶頻率上限與輸出波形前沿的關(guān)系

2.1 輸入波形為階躍信號(hào)

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)輸入波形為階躍信號(hào)，寬帶測(cè)量系統(tǒng)建模為一階低通的巴特沃斯濾波器，通過(guò)傅里葉變換推導(dǎo)輸出波形表達(dá)式，給出輸出波形脈沖前沿與寬帶測(cè)量系統(tǒng)-3 dB頻率上限fc_H的關(guān)系。

一階低通巴特沃斯濾波器模型的頻率響應(yīng)可表示為

(8)

輸出波形的頻域表達(dá)式為

Hout1(jω)=Hin2(jω)Hm1(jω)

(9)

傅里葉反變換可得輸出波形為

hout1(t)=0.5sgnt-ε(t)e-ωc_Ht+0.5

(10)

(11)

即

(12)

當(dāng)寬帶測(cè)量系統(tǒng)的高頻特性與一階低通巴特沃斯濾波器類似，且輸入波形為理想階躍信號(hào)或方波時(shí)，可根據(jù)式(12)估算寬帶測(cè)量系統(tǒng)的高頻特性。

2.2 輸入波形為非理想方波

理想方波的上升時(shí)間tri=0，實(shí)際輸入方波的上升時(shí)間tri不可視為0。針對(duì)HEMP頻段，以上升時(shí)間為0，0.5 ns和2.5 ns的方波為例，得到輸出波形上升時(shí)間tr隨一階巴特沃斯低通濾波器-3 dB通帶頻率上限fc_H的變化關(guān)系，如圖4所示。由圖4可見，當(dāng)fc_H?0.35/tr時(shí)，可根據(jù)式(12)來(lái)估計(jì)測(cè)量系統(tǒng)的-3 dB通帶頻率上限fc_H；當(dāng)fc_H與0.35/tr相當(dāng)時(shí)，采用式(12)估計(jì)fc_H的偏差較大；當(dāng)fc_H足夠大時(shí)，輸出波形前沿等于輸入波形前沿，式(12)同樣不適用。因此，采用式(12)估計(jì)寬帶測(cè)量系統(tǒng)的-3 dB通帶頻率上限時(shí)，需保證標(biāo)準(zhǔn)方波輸入的前沿足夠小，即tr?0.35/fc_H。

2.3 輸入波形為雙指數(shù)波

若標(biāo)準(zhǔn)輸入波形為雙指數(shù)波形，寬帶傳輸系統(tǒng)建模為一階低通的巴特沃斯濾波器時(shí)，輸出波形的傅里葉變換式為

Hout2(jω)=Hin3(jω)Hm1(jω)

(13)

當(dāng)ωc_H≠α且ωc_H≠β時(shí)，通過(guò)傅里葉反變換可得輸出波形為

hout2(t)=Ck0(k1e-βt+k2e-αt+

k3e-ωc_Ht)ε(t)

(14)

由式(14)可知，輸出波形的前沿同時(shí)受到α，β，ωc_H的影響。以IEC 61000-2-9中規(guī)定的HEMP E1作為標(biāo)準(zhǔn)輸入,不同fc_H對(duì)應(yīng)的輸出波形如圖5所示；輸出波形的上升時(shí)間tr隨濾波器模型的fc_H的變化關(guān)系如圖6所示。由圖6可見，tr和fc_H不再滿足式(12)。因此，標(biāo)定用輸入波形為雙指數(shù)波時(shí)，不推薦使用式(12)估計(jì)寬帶測(cè)量系統(tǒng)的-3 dB通帶頻率上限。

2.4 測(cè)量系統(tǒng)的高階低通濾波器模型

當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)過(guò)渡段較陡時(shí)，寬帶測(cè)量系統(tǒng)可建模為高階低通巴特沃斯濾波器。以fc_H=100 MHz為例，標(biāo)準(zhǔn)方波輸入對(duì)應(yīng)的輸出波形的前沿部分如圖7所示。由圖7可見，巴特沃斯低通濾波器模型的階數(shù)越高，輸出波形的振鈴和過(guò)沖現(xiàn)象越明顯，對(duì)應(yīng)的峰值越大，上升時(shí)間越小。若輸入波形無(wú)過(guò)沖，而寬帶測(cè)量系統(tǒng)的輸出波形出現(xiàn)過(guò)沖，寬帶測(cè)量系統(tǒng)的過(guò)渡段陡峭是可能的原因之一。

不同階數(shù)巴特沃斯濾波器輸出波形的上升時(shí)間tr隨-3 dB通帶頻率上限fc_H的變化關(guān)系如圖8所示。由圖8可見，fc_H相同時(shí)，階數(shù)越高，輸出波形的上升時(shí)間tr越小。利用y=-bx+a對(duì)圖8進(jìn)行擬合，并固定斜率b=-1，可得到a的值。擬合得到不同階數(shù)巴特沃斯濾波器對(duì)應(yīng)的a及標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，如表1所列。令fc_H=α/tr，則α=10a，計(jì)算得到的α也列于表1。由表1可知，α<0.35，表明對(duì)于頻率響應(yīng)過(guò)渡段較陡的測(cè)量系統(tǒng)，采用式(12)對(duì)通帶-3 dB頻率上限fc_H進(jìn)行估計(jì)時(shí)，得到的fc_H偏小。

表1 不同階數(shù)巴特沃斯濾波器模型對(duì)應(yīng)的擬合參數(shù)Tab.1 Fitting parameters corresponding to Butterworthfilter models with different orders

2.5 測(cè)量系統(tǒng)的I型切比雪夫低通濾波器模型

當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)在高頻處存在波動(dòng)時(shí)，可采用二階I型切比雪夫低通濾波器模型。以fc_H=100 MHz為例，階躍函數(shù)經(jīng)過(guò)二階I型切比雪夫低通濾波器后輸出的波形如圖9所示。由圖9可見，階躍函數(shù)經(jīng)過(guò)二階切比雪夫?yàn)V波器模型后輸出波形出現(xiàn)過(guò)沖和振鈴。輸出波形上升時(shí)間tr隨二階I型切比雪夫低通濾波器模型fc_H的變化關(guān)系如圖10所示。

同樣采用y=-bx+a對(duì)圖10的曲線進(jìn)行線性擬合，并固定斜率b=-1，得到的擬合參數(shù)如表2所列。仿真結(jié)果表明，不考慮其他因素，若實(shí)際寬帶測(cè)量系統(tǒng)的高頻特性部分出現(xiàn)上翹，頻率響應(yīng)曲線接近二階的切比雪夫?yàn)V波器時(shí)，根據(jù)(12)式計(jì)算的fc_H偏小約3%。

表2 切比雪夫?yàn)V波器模型的擬合參數(shù)Tab.2 Fitting parameters of Chebyshev filter model

3 -3 dB通帶頻率下限與輸出波形平頂降的關(guān)系

為考察寬帶測(cè)量系統(tǒng)的低頻特性，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)輸入波形為理想方波，將寬帶傳輸系統(tǒng)建模為一階高通巴特沃斯濾波器，通過(guò)推導(dǎo)輸出波形表達(dá)式，給出輸出波形參數(shù)隨寬帶測(cè)量系統(tǒng)fc_L(角頻率記為ωc_L，ωc_L=2πfc_L)的變化關(guān)系。典型輸出波形及平頂相關(guān)參數(shù)A，B，tw的定義如圖2(b)所示。

一階高通巴特沃斯濾波器模型的頻率響應(yīng)可表示為

(15)

那么，輸出波形的頻域可表示為

Hout3(jω)=Hin1(jω)Hm2(jω)

(16)

通過(guò)傅里葉反變換求解輸出波形為

(17)

(18)

當(dāng)x?1時(shí)，忽略x2及更高階小量，有

(19)

即

(20)

當(dāng)A-B?A時(shí)，式(20)可寫為

(21)

式(21)右側(cè)第一項(xiàng)為輸出波形平頂?shù)男甭省?/p>

以脈寬為1 μs的理想方波作為輸入，一階高通巴特沃斯濾波器模型的fc_L分別為100， 200 ， 500 kHz和1 MHz時(shí)，輸出波形如圖11所示。

上述分析可知，輸出波形的平頂以e指數(shù)函數(shù)形式隨時(shí)間下降，fc_Ltw足夠小時(shí)，平頂近似為線性下降。通過(guò)選取合適半高寬的方波，可用式(20)快速估計(jì)寬帶測(cè)量系統(tǒng)的低頻特性。由圖11可見， 當(dāng)tw過(guò)小時(shí)，A與B的值接近，讀數(shù)偏差造成的影響較大；tw過(guò)大時(shí)，平頂降不滿足線性假設(shè)，采用式(20)估計(jì)的結(jié)果偏差較大，實(shí)際工程使用需觀察輸出波形的平頂降，采用合適的tw。當(dāng)A-B?A時(shí)，可采用式(21)通過(guò)輸出波形平頂降的斜率來(lái)估計(jì)fc_L。

4 結(jié)論

根據(jù)寬帶測(cè)量系統(tǒng)的特點(diǎn)，本文將寬帶測(cè)量系統(tǒng)建模為濾波器，進(jìn)而建立了時(shí)域標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到了濾波器-3 dB通帶頻率上下限與其對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方波的時(shí)域響應(yīng)關(guān)系式(12)和式(20)。依據(jù)式(12)和式(20)可實(shí)現(xiàn)對(duì)寬帶測(cè)量系統(tǒng)頻率響應(yīng)通帶上下限的工程估計(jì)，給工程應(yīng)用帶來(lái)了很大的方便。

依據(jù)推導(dǎo)，采用式(12)估計(jì)寬帶測(cè)量系統(tǒng)通帶上限頻率fc_H時(shí)應(yīng)采用標(biāo)準(zhǔn)方波作為輸入，且方波的上升時(shí)間應(yīng)盡可能小，遠(yuǎn)小于0.35/fc_H；若輸入波形為雙指數(shù)波，式(12)不再適用；對(duì)于測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線過(guò)渡段比一階巴特沃斯濾波器更陡或頻率響應(yīng)通帶不夠平坦(如高頻部分出現(xiàn)波動(dòng))等情況，采用式(12)估計(jì)得到的fc_H比較保守。受測(cè)量系統(tǒng)低頻響應(yīng)的影響，輸出波形的平頂以e指數(shù)函數(shù)形式隨時(shí)間下降。采用式(20)估計(jì)fc_L時(shí)需注意觀察輸出波形的平頂降，選取合適的輸入方波半高寬tw，使輸出波形平頂近似線性下降。同時(shí)輸入方波的半高寬tw應(yīng)保證A，B間有足夠的距離，保證讀數(shù)精度；若輸出波形前沿部分存在過(guò)沖或振鈴，影響A的讀取時(shí)，若滿足A-B?A，可通過(guò)平頂降的斜率來(lái)估算fc_L。