李 蔚，朱志浩，高 直，董俊杰，劉建平

(1.鹽城工學(xué)院電氣工程學(xué)院，江蘇鹽城 224002；2.鹽城工學(xué)院信息工程學(xué)院，江蘇鹽城 224002)

工業(yè)生產(chǎn)中，經(jīng)常使用機(jī)械臂進(jìn)行多種操作。當(dāng)僅僅使用機(jī)械臂進(jìn)行簡(jiǎn)單的搬運(yùn)、裝配等操作時(shí)，只需對(duì)其進(jìn)行位置跟蹤控制；當(dāng)涉及復(fù)雜裝配、拋光、打磨等操作時(shí)，不僅需要控制其運(yùn)動(dòng)軌跡，還需要控制其對(duì)于約束面的力，以便完成復(fù)雜的生產(chǎn)作業(yè)。因此針對(duì)機(jī)械臂的力/位混合控制成為當(dāng)前機(jī)械化工業(yè)的一個(gè)研究重點(diǎn)［1］?；谶@一問(wèn)題，Raibert 等［2］提出了機(jī)器人位置/力控制，即將機(jī)器人的任務(wù)空間劃分為兩個(gè)正交子空間，分別設(shè)計(jì)不同的控制器進(jìn)行控制，其中在與約束面相切的方向進(jìn)行力控制，在法線方向進(jìn)行位置控制；文獻(xiàn)［3-4］提出了降階的機(jī)械臂力/位混合控制算法，基于約束面，對(duì)機(jī)械臂模型進(jìn)行降階；文獻(xiàn)［5-6］建立了一種新的動(dòng)力學(xué)模型和滑?？刂品椒ǎM(jìn)一步解決了機(jī)器人的控制問(wèn)題；文獻(xiàn)［7-8］采用了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的技術(shù)，對(duì)不確定性函數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)學(xué)習(xí)，降低了濾波誤差對(duì)跟蹤性能的影響；文獻(xiàn)［9-10］提出了一種魯棒自適應(yīng)控制算法，應(yīng)用反步法和自適應(yīng)算法修正機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)，利用自適應(yīng)方法對(duì)動(dòng)力學(xué)模型中的非線性部分和未知擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，同時(shí)克服系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響；文獻(xiàn)［11-12］使用命令濾波技術(shù)和反步法，解決了加速度不連續(xù)的問(wèn)題，同時(shí)構(gòu)建了誤差補(bǔ)償系統(tǒng)；文獻(xiàn)［13-14］對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行了一種坐標(biāo)變換，結(jié)合自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，確保末端執(zhí)行的精度。

顯然，以往的研究大多是將控制方案分成兩個(gè)子部分，分別設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行控制，由于對(duì)于未知參數(shù)不能快速修正，系統(tǒng)往往需要較長(zhǎng)的響應(yīng)與跟蹤時(shí)間。本文將兩個(gè)子部分整合在同一坐標(biāo)空間和控制器中，并根據(jù)自適應(yīng)滑?？刂扑惴ê徒惦A方法的優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于自適應(yīng)降階滑模算法的機(jī)械臂力/位混合控制器設(shè)計(jì)方案。

1 問(wèn)題描述

1.1 受約束的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

取x為機(jī)械臂末端位置向量，q∈Rn（n為機(jī)械臂自由度）為機(jī)械臂的角度向量，約束方程為Φ(x) = 0，取x=h(q)，則約束方程可以寫(xiě)為：

約束方程的雅可比矩陣為：

受約束的機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：D(q) ∈R(n×n)為慣性矩陣；C(q，?) ∈R(n×n)為離心力與哥氏力矩陣；G(q) ∈Rn為重力項(xiàng)矢量；τf為約束力矢量，N；τ為控制輸入力矩矢量，N。

式（3）描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有如下性質(zhì)［15］：

性質(zhì)1是一個(gè)斜對(duì)稱矩陣，可得：

性質(zhì)2慣性矩陣D(q)正定對(duì)稱有界，即存在k1、k2，滿足下式：

性質(zhì)3存在參數(shù)線性化關(guān)系，即

1.2 模型的降階

由機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可知其動(dòng)力學(xué)模型是受約束的，因此可以憑借約束方程對(duì)模型進(jìn)行降階。

約束力方程為：

式中：λ為接觸力矢量。

對(duì)式（1）關(guān)于q求導(dǎo)，得：

圖1 為帶有垂直約束的二自由度機(jī)械臂的模型。圖1 中l(wèi)1、l2分別為機(jī)械臂兩個(gè)連桿的長(zhǎng)度，m；q1為連桿1 與水平方向的夾角，rad；q2為連桿1與連桿2的夾角，rad。

由圖1 可知，二自由度機(jī)械臂末端受到力的約束，機(jī)械臂的自由度由兩個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)。圖1 中q1描述了機(jī)械臂的約束運(yùn)動(dòng)，q2可用q1來(lái)表示，形式為：

則：

將式（9）代入式（3），可推導(dǎo)出：

則受約束的二自由度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程亦可表示為：

式中：

由式（12）可得

考慮(q1)的值對(duì)于λ的影響，有：

（1）當(dāng)Jq= 0 時(shí)，λ的值由(q1)的表達(dá)來(lái)決定。

（2）當(dāng)Jq≠0時(shí)，λ的值為：

式（12）等號(hào)兩邊同時(shí)左乘LT(q1)，可得：

即：

式中：

式（15）即為降階后受約束的二自由度的機(jī)械臂模型，具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1Jq(q1)L(q1)=LT(q1)JTq(q1)= 0。

性質(zhì)2D?L(q1)- 2CL(q1，q?1)為斜對(duì)稱矩陣。

2 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)qd(t)為機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的期望角度，為機(jī)械臂末端所受到的期望約束力，滿足Φ(qd)= 0，=(qd)λd，定義以下變量：

式中：q1d為q1的期望角度，rad；q1e為角度誤差，rad；qr1為系統(tǒng)誤差向量，rad；Λ為一個(gè)常數(shù)矩陣，且Λ＞0。

滑模函數(shù)s為：

力誤差eλ為：

式中：λd為機(jī)械臂末端的期望接觸力，N。

設(shè)計(jì)控制器為：

用于控制力的項(xiàng)：

式中：Kλ為一個(gè)常數(shù)矩陣，且Kλ＞0。

由式（6）、式（19），可得自適應(yīng)控制器：

自適應(yīng)律?為：

式中：Γ為正定常對(duì)角矩陣。

證：設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)為

等號(hào)兩邊關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，得：

式中：JTq=JTq(q1)。

將 式（21）代 入 式（24），且 由 于(q1)-2CL(q1，)為斜對(duì)稱矩陣，得：

由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，且s和?有界，q1e和也均有界?→0，則：

式中：λmin為矩陣LTL的最小特征值。

由式（25）可知：‖ ‖s可漸近收斂于零，進(jìn)而可知t→∞，q1e→0，即當(dāng)t→∞時(shí)，跟蹤誤差趨于零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 仿真分析

以圖1 機(jī)械臂系統(tǒng)模型為例，使用MATLAB中的simulink 模塊對(duì)受約束機(jī)械臂模型進(jìn)行仿真，驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的“基于自適應(yīng)降階滑模的力/位混合控制算法”的有效性。圖1 機(jī)械臂兩個(gè)連桿長(zhǎng)度均為1 m，質(zhì)量m1=m2= 1 kg。機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型（公式（3））參數(shù)如下：

由于二自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

則由圖1 可得，機(jī)械臂末端在笛卡爾空間中的位置為：

約束函數(shù)為x1=Φ(x) = 0，則

由Φ(x) =Φ(h(q)) =Φ(q1)及式（32）可得：

當(dāng)q1+q2= π 時(shí) ，q1= 0，q2= π， 則Jq(q) = 0，λ= 0；

當(dāng)q1+q2≠π時(shí)，Jq（q）≠0，則由式（14）求λ。

由l1= 1 m、l2= 1 m及式（32），可得：

l1cosq1+l2cos(q1+q2)= 0

又由圖1可知：

則cos(q1+q2)= cos(π -q1)

即

初始狀態(tài)取[q1?]=[1.0 0]，則期望位置為q1d= 0.8 + 0.1cost，理想接觸力為λd= 1 +2.5sint，控制器參數(shù)如下：

仿真結(jié)果如圖2~圖3所示。

由圖2可看出：在位置跟蹤上，本文所使用的基于自適應(yīng)降階滑模的力/位混合控制算法在0.4 s 時(shí)就已經(jīng)跟蹤上，而傳統(tǒng)的機(jī)械臂自適應(yīng)位置控制方法在2 s 才跟蹤上。因此，與傳統(tǒng)方法對(duì)比，本文所使用的算法提高了響應(yīng)速度并且有極好的跟蹤效果。由圖3 可以看出：在力控制方面，本文所使用算法雖然初始時(shí)由于受到干擾以及震動(dòng)的影響，有一定的波動(dòng)，且出現(xiàn)一定的誤差，但很快就在0.7 s 后趨于穩(wěn)定，且誤差被限定在極小的范圍內(nèi)，從而驗(yàn)證了本文算法的有效性。

圖4~圖8 分別為本文算法所使用參數(shù)p1、p2、p3、p4、p5的估計(jì)誤差項(xiàng)。由圖4~圖8 可以看出：經(jīng)過(guò)自適應(yīng)降階滑?？刂破鞯挠绊?，本文所使用的控制算法與傳統(tǒng)方法相比，整體參數(shù)誤差較小，雖然個(gè)別參數(shù)仍有一定的誤差，但也趨于平緩穩(wěn)定，因此也在一定程度上證明了控制器的有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

由于自適應(yīng)滑模算法能夠提高對(duì)未知參數(shù)的修正能力，降低系統(tǒng)的不確定性，而降階方法可以提升控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度，文章引入自適應(yīng)滑模算法，并將其與降階方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的力/位混合控制。仿真結(jié)果表明該控制方案能夠讓機(jī)械臂快速準(zhǔn)確地跟蹤位置信號(hào)和力信號(hào)，具備極好的穩(wěn)定性，驗(yàn)證了控制方案的有效性。