洪惠宇

（中國電子科技集團(tuán)公司第十四研究所，江蘇南京 210039）

極坐標(biāo)格式算法（polar format algorithm，PFA）是一種典型的聚束模式成像方法［1］。該算法通過二維插值將極坐標(biāo)格式數(shù)據(jù)投影至直角坐標(biāo)系，通過二維傅里葉變換，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)大斜視數(shù)據(jù)的良好聚焦。然而在利用PFA 算法實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離高分辨成像過程中，由于所需二維矩陣規(guī)模龐大，需要進(jìn)行大量的距離/方位向插值處理，占用大量的硬件運(yùn)算資源，限制了PFA 算法的工程應(yīng)用［2］。因此，現(xiàn)有的PFA 工程化應(yīng)用主要從二維插值的高效實(shí)現(xiàn)著手。

美國Sandia 實(shí)驗(yàn)室提出Chirp-Z 變換應(yīng)用于PFA 的可行性，孫進(jìn)平等［3］則對(duì)該可行性進(jìn)行了具體研究，并給出了詳細(xì)的實(shí)現(xiàn)過程；文獻(xiàn)［2，4］提出通過尺度變換替代二維插值以提升處理效率，并給出尺度變換因子的具體確定方式；聶鑫［5］從數(shù)據(jù)錄取源頭出發(fā)，提出變波門大斜視滑動(dòng)聚束成像技術(shù)，降低了距離向采樣點(diǎn)數(shù)的需求；吳玉峰等［6］則對(duì)PFA 成像算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種先線性距離走動(dòng)校正，后PFA 插值的方法。本文著眼于降低數(shù)據(jù)矩陣規(guī)模，通過改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償及方位處理算法，使得原本需要在全距離頻域段進(jìn)行的插值處理只需要在有效距離幅寬內(nèi)進(jìn)行插值，原本需要在全孔徑時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的方位插值處理只需要在有效方位幅寬內(nèi)進(jìn)行方位頻域插值，極大地降低了插值運(yùn)算資源的開銷，提升了PFA算法的實(shí)時(shí)處理性能。

1 PFA成像模型

雷達(dá)發(fā)射的線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)表達(dá)如下：

其中，矩形窗函數(shù)rect（x）為

式中：τ為雷達(dá)快時(shí)間維變量，s；Tp為脈沖寬度，s；f0為載波起始頻率，Hz；k為調(diào)頻斜率，Hz/s。

極坐標(biāo)格式下，PFA 成像場(chǎng)景幾何示意圖如圖1所示。

合成孔徑雷達(dá)（synthetic aperture radar，SAR）利用機(jī)載雷達(dá)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)方位向的高分辨率成像，其在孔徑時(shí)間t的二維基帶回波信號(hào)s（τ，t）可表示為：

式中：Ta為合成孔徑積累時(shí)間，s；RT為場(chǎng)景中目標(biāo)點(diǎn)p（xt，yt）相對(duì)于雷達(dá)平臺(tái)的距離，m；c為光速，取c=3×108m/s。

根據(jù)駐項(xiàng)原理及傅里葉變換的位移/調(diào)制性質(zhì)，得到距離頻域S0（fτ，t）：

式中：fτ為雷達(dá)快時(shí)間τ的頻域表示，Hz。

頻域脈壓參考函數(shù)H（fτ）為：

現(xiàn)有PFA 算法直接乘以運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償函數(shù)ψ（fτ），使場(chǎng)景中心回波相位為零。

式中：R0表征孔徑時(shí)刻t雷達(dá)相對(duì)場(chǎng)景中心的距離，m。

經(jīng)過匹配濾波與運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償后的信號(hào)用S（fτ，t）表示，如式（6）所示。

在近場(chǎng)平面波假設(shè)下，有：

式中：r表示圖1 中從坐標(biāo)原點(diǎn)O指向場(chǎng)景中目標(biāo)點(diǎn)p（xt，yt）的矢量；θ、φ分別為孔徑時(shí)間t下的方位角、俯仰角，rad。

得到極坐標(biāo)格式下距離頻域S（fτ，t）的表達(dá)：

式中：Ky、Kx為波數(shù)域，1/m。

在式（8）全距離頻域段進(jìn)行距離向插值，在全孔徑時(shí)間內(nèi)進(jìn)行方位向插值，并將極坐標(biāo)格式排列的數(shù)據(jù)通過插值變成矩形坐標(biāo)，再通過距離方位向的二維快速傅里葉變換（fast fourier transform，F(xiàn)FT），實(shí)現(xiàn)對(duì)場(chǎng)景的二維成像。

2 PFA快速處理算法

現(xiàn)有PFA 算法在運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償后，在全距離頻域段進(jìn)行距離向插值，而后在全孔徑時(shí)間內(nèi)進(jìn)行方位向插值，占用大量運(yùn)算資源。為了降低插值的運(yùn)算開銷，提升處理效率，本文提出改進(jìn)的PFA處理流程，如圖2 所示。圖2 中，通過二次運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償算法，PFA 算法只需在有效成像幅寬內(nèi)進(jìn)行距離向插值處理；再通過改進(jìn)的方位向處理方法，在有效方位幅寬內(nèi)進(jìn)行方位頻域插值處理。

2.1 二次運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償

圖2 中，針對(duì)運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償函數(shù)ψ（fτ），提出“粗補(bǔ)償+精補(bǔ)償”策略。在粗補(bǔ)償校正線性距離走動(dòng)后，再經(jīng)過逆快速傅里葉變換（inverse fast fourier transform，IFFT），在距離向保留成像距離幅寬所需點(diǎn)數(shù)，以降低后續(xù)距離向插值的點(diǎn)數(shù)。

雷達(dá)相對(duì)于場(chǎng)景中心的距離隨孔徑時(shí)間t的變化R（t）表達(dá)如下：

式中：RB為航線相對(duì)于場(chǎng)景中心的垂直距離，m；v為雷達(dá)平臺(tái)速度，m/s。

為簡化分析，這里的雷達(dá)與場(chǎng)景位于同一平面，即俯仰角φ為0。將式（9）在孔徑中心時(shí)刻t0（此時(shí)斜視角為θ0）處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，得到合成孔徑時(shí)間t內(nèi)的距離徙動(dòng)表達(dá)，如式（10）所示。

由式（10）可知，孔徑時(shí)間內(nèi)的線性距離走動(dòng)可表示為：

式中：θt為每個(gè)錄取脈沖相對(duì)于場(chǎng)景的斜視角，rad。

從而得到距離粗補(bǔ)償相位分量：

結(jié)合式（3）、式（12），得到粗補(bǔ)償后的回波信號(hào)，如式（13）所示。

對(duì)式（13）進(jìn)行逆傅里葉變換至距離時(shí)域，得：

其中，sinc(x)函數(shù)定義為

此時(shí)，已完成孔徑時(shí)間內(nèi)線性距離走動(dòng)校正?？稍诖嘶A(chǔ)上進(jìn)行距離向的截?cái)?，只保留成像幅寬需要的距離向點(diǎn)數(shù)，從而降低了距離向插值點(diǎn)數(shù)的需求。

進(jìn)一步，對(duì)截取后的距離時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換至距離頻域，表達(dá)式同式（13），但距離頻域點(diǎn)數(shù)已壓縮至距離幅寬所需的點(diǎn)數(shù)。

此時(shí)，通過精補(bǔ)償分量使式（13）場(chǎng)景中心回波相位為0。剩余距離分量表示為：

從而得到距離粗補(bǔ)償分量表達(dá)：

通過上述補(bǔ)償后，得到回波距離頻域信號(hào)：

同樣，此時(shí)回波距離頻域信號(hào)相對(duì)于場(chǎng)景中心的回波相位為0。后續(xù)只需在有效幅寬點(diǎn)數(shù)上進(jìn)行距離插值處理，得到

式中：Ky′為距離插值后的波數(shù)域表達(dá)，1/m；φ0為孔徑中心時(shí)刻的俯仰角，rad。

由式（18）可知，相較于全距離頻域段的插值，二次運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償后的運(yùn)算量大幅降低，提升了處理的效率。

2.2 改進(jìn)的方位向處理方法

距離向插值完成后，現(xiàn)有PFA 處理方法是在全孔徑積累脈沖內(nèi)進(jìn)行方位向插值，而后分別進(jìn)行方位與距離維的FFT處理以實(shí)現(xiàn)二維成像。這種方法由于需要在時(shí)域全孔徑積累脈沖內(nèi)進(jìn)行插值，運(yùn)算開銷大。為了減少運(yùn)算開銷，本文將改進(jìn)方位處理方法，利用傅里葉變換的尺度特性，首先進(jìn)行方位FFT處理，從而可以在方位向只保留成像方位幅寬所需的點(diǎn)數(shù)，繼而進(jìn)行方位頻域的插值處理，從而降低方位插值的運(yùn)算點(diǎn)數(shù)，提升實(shí)時(shí)性能。

距離向插值完成后，式（8）中方位波數(shù)域可進(jìn)一步表達(dá)為：

現(xiàn)有PFA 算法直接在全孔徑積累脈沖內(nèi)進(jìn)行方位向插值：

改進(jìn)的方位處理方法如下：

距離頻域插值后的信號(hào)表示為：

對(duì)式（21）進(jìn)行方位向傅里葉變換，得

在得到方位頻域的結(jié)果后，基于圖像方位向輸出像素點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)小于原始方位積累脈沖數(shù)這一前提，保留方位向幅寬需要的點(diǎn)數(shù)，從而只需在方位幅寬內(nèi)進(jìn)行插值處理，就能極大地降低方位插值所需的運(yùn)算量。

在方位頻域進(jìn)行重采樣，其重采樣后的峰值頻率f′a為：

由式（24）可知，峰值頻率位置與距離向無關(guān)，從而完成方位向的去距離耦合。

農(nóng)場(chǎng)雖然耕地面積較大但大型谷物聯(lián)合收割機(jī)和配套農(nóng)具數(shù)量多遠(yuǎn)多于地方，部分合作社和農(nóng)戶要等到農(nóng)場(chǎng)收獲完成后租賃農(nóng)場(chǎng)機(jī)械進(jìn)行收獲作業(yè)，錯(cuò)過了最佳收獲時(shí)期無法保證顆粒歸倉。

3 兩種算法的運(yùn)算量對(duì)比及結(jié)果驗(yàn)證

3.1 兩種算法的運(yùn)算量對(duì)比

從距離維與方位維兩個(gè)角度，將現(xiàn)有PFA 成像處理算法與PFA 改進(jìn)算法進(jìn)行運(yùn)算的對(duì)比分析。

3.1.1 現(xiàn)有PFA算法

距離維：傳統(tǒng)PFA 成像處理算法在運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償后，需在全距離頻域段進(jìn)行插值處理，所需的運(yùn)算量（針對(duì)復(fù)數(shù)乘法器的開銷）為：

式中：γ為加權(quán)系數(shù)，R為插值濾波器長度，L為插值濾波器因子，Nr為距離向采樣點(diǎn)數(shù)。

方位維：傳統(tǒng)PFA 成像處理算法對(duì)全孔徑積累脈沖進(jìn)行插值，結(jié)合后續(xù)FFT 處理，運(yùn)算開銷為：

式中：Na為全孔徑的積累脈沖數(shù)。

3.1.2 PFA快速處理算法

采用本文二次運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償處理后，距離維的運(yùn)算開銷：

式中：Ir為圖像距離幅寬所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)。

采用改進(jìn)的方位處理算法，首先進(jìn)行方位FFT 處理，繼而保留成像所需的方位幅寬點(diǎn)數(shù)Ia，在方位頻域進(jìn)行插值處理，其運(yùn)算開銷為：

為比較兩種算法的運(yùn)算量，定義距離評(píng)估因子、方位評(píng)估因子和綜合評(píng)估因子如下：

顯然，評(píng)估因子越小，運(yùn)算開銷就越小，運(yùn)算方法越有優(yōu)勢(shì)。

3.2 兩種算法運(yùn)算量對(duì)比的評(píng)估因子驗(yàn)證

對(duì)于滿足一般要求的插值濾波器，取γ=1.2、R=5、L=5，則在典型矩陣規(guī)模下，兩種算法運(yùn)算量評(píng)估因子的對(duì)比如表1所示。

由表1 可知，在大斜視遠(yuǎn)距離高分辨成像需求的背景下，由于二維矩陣的規(guī)模較大，采用本文的PFA 改進(jìn)算法，在不影響成像指標(biāo)的前提下，比現(xiàn)有的PFA 算法可節(jié)約近一半的運(yùn)算量，大大提升了處理的實(shí)時(shí)性能，便于實(shí)現(xiàn)其工程應(yīng)用的推廣。

表1 兩種算法運(yùn)算量的評(píng)估因子對(duì)比Table 1 Evaluation factors comparison of computation between two algorithms

4 結(jié)束語

本文從傳統(tǒng)PFA 算法的運(yùn)算量著眼，從距離維與方位維兩個(gè)角度，著重于降低數(shù)據(jù)矩陣的規(guī)模，從而減少距離/方位向的插值點(diǎn)數(shù)，以達(dá)到節(jié)約運(yùn)算量、提升實(shí)時(shí)處理效率的目的。具體地說，在距離維，通過“粗補(bǔ)償+精補(bǔ)償”的方式，即通過距離粗補(bǔ)償校正孔徑時(shí)間內(nèi)的線性距離走動(dòng)，繼而變換至距離時(shí)域，截取成像需要的距離幅寬點(diǎn)數(shù)，再變換回距離頻域，進(jìn)行使場(chǎng)景中心回波相位為0的精補(bǔ)償處理；在方位維，利用傅里葉變換的尺度特性，在方位插值前進(jìn)行方位FFT處理，繼而截取成像所需的方位向點(diǎn)數(shù)，再在方位頻域進(jìn)行插值處理。最后通過兩種算法的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)在大斜視遠(yuǎn)距離高分辨成像需求的背景下，采用本文的PFA 改進(jìn)算法，在不影響成像指標(biāo)的前提下，可節(jié)約近一半的運(yùn)算量，從而大大提升了處理的實(shí)時(shí)性能，有利于其工程應(yīng)用的推廣。