劉 兵, 王東生, 石煥南

(1.北京市商業(yè)學(xué)校, 北京 102209 ; 2.北京電子科技職業(yè)學(xué)院, 北京 100176;3.北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院, 北京 100011)

0 引言

定義 1[1～4]設(shè) Ω? ?n,φ:Ω→?,

(a) 若對(duì)于任何x,y∈?n,α∈ [0,1], 總有αx+ (1 -α)y∈Ω, 則稱(chēng)Ω為凸集.

(b) 設(shè)Ω為凸集, 若對(duì)于任何x,y∈Ω,α∈ [0,1], 總有

則稱(chēng)φ為Ω上的凸函數(shù).若對(duì)于任何x,y∈Ω,x≠y,α∈ (0,1), 式(1)為嚴(yán)格不等式, 則稱(chēng)φ為Ω上的嚴(yán)格凸函數(shù).若φ- 是Ω上的凸函數(shù), 則稱(chēng)φ為Ω上的凹函數(shù).

對(duì)于凸(凹)函數(shù), 文[5]用分析方法證明了如下定理.

下文先給出受控理論的相關(guān)定義和引理, 然后給出不等式(2)的控制證明.

1 定義和引理

引理3的結(jié)果稱(chēng)為Karamata不等式, 它是受控理論中一個(gè)非常重要的結(jié)論.

2 定理的控制證明

由引理2, 不難證明

據(jù)引理3, 由式(4)和(5)即可分別得到式(2)中左邊和右邊的不等式, 且若f(x)是嚴(yán)格凸(凹)函數(shù), 則式(2)中的不等式是嚴(yán)格的.

3 應(yīng)用舉例

文[5]給出了定理在求和式數(shù)列極限中的兩例應(yīng)用.下面利用定理建立幾個(gè)代數(shù)不等式.

例1令f(x) = lnx(x＞ 0), 則f(x)是凹函數(shù).根據(jù)定理, 有算術(shù)—幾何平均值不等式的加細(xì):

特別當(dāng)a= 1,b=n時(shí), 得到關(guān)于n!的不等式

當(dāng)a= 1,b= 2時(shí), 有不等式

例4對(duì)于任意正整數(shù)n, 文[7]給出了如下不等式:

這樣就得到式(12)的反向不等式

例5文[6]介紹了如下三角函數(shù)不等式: