馬銘磷 陳 亮 李志軍 王夢(mèng)蛟 邱志成

(湘潭大學(xué)自動(dòng)化與電子信息學(xué)院 湘潭 411105)

1 引言

多時(shí)間尺度系統(tǒng)具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，如神經(jīng)元放電模型、輸電線路不同導(dǎo)線耦合作用、化學(xué)反應(yīng)中不同物質(zhì)反應(yīng)速率等[1—4]。簇發(fā)振蕩(bursting oscillations)是多時(shí)間尺度系統(tǒng)中普遍存在的一種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，表現(xiàn)為大幅振蕩與微幅振蕩交替出現(xiàn)[5—7]。當(dāng)系統(tǒng)軌跡表現(xiàn)為大幅振蕩時(shí)，對(duì)應(yīng)激發(fā)態(tài)(SPiking state, SP)；當(dāng)系統(tǒng)軌跡表現(xiàn)為小幅振蕩或幾乎不變時(shí)，對(duì)應(yīng)沉寂態(tài)(Quiescent State, QS)，系統(tǒng)軌跡在激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)之間相互轉(zhuǎn)遷時(shí)，便形成了這種特殊的簇發(fā)振蕩模式。對(duì)于多時(shí)間尺度系統(tǒng)，一直缺少理論分析方法，直到Rinzel[8]提出快慢分析法，才將簇發(fā)振蕩上升到機(jī)理分析的層次。近些年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者借助快慢分析法對(duì)各種非線性系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩進(jìn)行了深入研究，并取得了一系列豐富的成果。如，Bao等人[9]揭示了兩快一慢莫里斯-勒卡(Morris—Lecar, ML)神經(jīng)元模型的混沌簇發(fā)和多穩(wěn)態(tài)放電模式及其生成機(jī)理，并從硬件電路驗(yàn)證了理論分析的正確性；Proskurkin等人[10]研究了化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的簇發(fā)現(xiàn)象；Han等人[11]研究了參數(shù)激勵(lì)Lorenz系統(tǒng)的簇發(fā)行為，報(bào)道了由分岔延遲與混沌危機(jī)引起的混沌簇發(fā)；Ma等人[12]揭示了周期激勵(lì)Jerk電路中由延遲pitchfork分岔誘發(fā)的復(fù)雜簇發(fā)結(jié)構(gòu)；Han等人[13]在Duffing振子中引入多頻參數(shù)激勵(lì)，揭示了turnoverpitchfork-hysteresis與compound-pitchfork誘發(fā)的兩種新簇發(fā)模式；Wei等人[14]研究了參數(shù)激勵(lì)與外部激勵(lì)聯(lián)合激勵(lì)下機(jī)械系統(tǒng)的簇發(fā)動(dòng)力學(xué)行為，并揭示了由Hopf分岔與同宿分岔引起的復(fù)雜級(jí)聯(lián)型簇發(fā)模式。

1971年，美籍華裔科學(xué)家Chua[15]提出了憶阻器的基本概念，揭示了電荷與磁通之間的關(guān)系；2008年，惠普公司研究員首次在物理上制作了憶阻器[16]。由于憶阻器具有獨(dú)特的非線性和記憶效應(yīng)，采用憶阻器在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)硬件電路中模擬生物突觸受到了廣泛的關(guān)注[17,18]。如，Chen等人[19]采用圖解法研究了憶阻型FitzHugh-Nagum電路的簇發(fā)生成機(jī)理；Lin等人[20]研究了局部有源憶阻器在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路中的多穩(wěn)態(tài)模式；文獻(xiàn)[21]簡(jiǎn)要闡述了基于憶阻器的混沌、儲(chǔ)存器及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路中的研究進(jìn)展。最近，一些學(xué)者更是研究了憶阻系統(tǒng)中的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，Wen等人[22]在Jerk電路中引入3次憶阻器模型，在周期參數(shù)激勵(lì)下研究了激勵(lì)頻率與幅值對(duì)簇發(fā)模式的影響。目前針對(duì)憶阻系統(tǒng)的研究，多數(shù)學(xué)者是基于連續(xù)的憶阻系統(tǒng)上，也有部分學(xué)者研究了分段光滑模型。如，Wang等人[23]研究了基于2次非線性函數(shù)的憶阻器模型及其混沌吸引子, 并設(shè)計(jì)了分段光滑憶阻器的硬件電路；Ponce等人[24]在一個(gè)4D分段線性憶阻系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了多重的focuscenter-cycle分岔；Amador等人[25]分析了一個(gè)分段線性憶阻器模型，并在一個(gè)3D混沌系統(tǒng)中引入該憶阻模型，揭示了其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

目前，針對(duì)憶阻系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩研究相對(duì)較少，特別是對(duì)于分段線性憶阻系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象幾乎沒有學(xué)者進(jìn)行過研究。分段線性憶阻模型的引入使系統(tǒng)出現(xiàn)了各種非光滑分界面，系統(tǒng)軌跡在穿越非光滑分界面時(shí)出現(xiàn)了一些特殊的穿越形式，從而導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，而傳統(tǒng)非線性分析法無法解釋這些現(xiàn)象。本文為了揭示分段線性憶阻系統(tǒng)的簇發(fā)動(dòng)力學(xué)行為，結(jié)合文獻(xiàn)[26]中的理論基礎(chǔ)，并在一非自治系統(tǒng)中引入分段線性憶阻器模型與外部周期激勵(lì)項(xiàng)，建立了一種兩時(shí)間尺度的4D分段線性憶阻系統(tǒng)。借助微分包含定理，在不同系統(tǒng)參數(shù)條件下，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)軌跡在非光滑分界面處的突然躍遷與非光滑分岔均會(huì)引起系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩，并深入分析了簇發(fā)行為的形成機(jī)理，為分段線性憶阻器在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的潛在應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)Itoh等人[27]對(duì)憶阻器的描述，憶阻器揭示了電荷(q(t))與磁通(φ(t))的關(guān)系，憶阻器又分為磁控型與荷控型。本文采用的分段線性磁控型憶阻器為

式中，x, y, z, w為狀態(tài)變量，其中w為所用分段線性憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量，α, β, γ為系統(tǒng)參數(shù)，W(w)為憶導(dǎo)函數(shù)，x為憶阻器的輸入項(xiàng)，W(x)x為憶阻器的輸出項(xiàng)。在不加外部周期激勵(lì)下，即A=0, 轉(zhuǎn)化為4D混沌系統(tǒng)，在引入外部周期激勵(lì)后，設(shè)定ω=0.01，考慮系統(tǒng)變量x, y, z, w以固有頻率O(1.0)振蕩，即O(dx/dt, dy/dt, dz/dt,dw/dt)≈O(1.0)≡T1，而周期激勵(lì)頻率ω=0.01≡T2。由于T1, T2存在不同尺度耦合，系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩等特殊的非線性行為便產(chǎn)生了。固定參數(shù)a=1, b=2, 分段線性憶阻器特性如圖1所示。分段線性憶阻器的引入導(dǎo)致式(3)被分界面(記為Σ: {x,y, z, w|w=±1})分成3個(gè)子區(qū)域，即區(qū)域D—: {(x, y, z,w |w＜—1)}, D0: {(x, y, z, w |—1＜w＜1)}和D+: {(x,y, z, w |w＞1)}，其示意圖如圖2所示。式(3)的軌跡在不同的子區(qū)域會(huì)受到不同的子系統(tǒng)控制，當(dāng)在D—, D0和D+分別受到相應(yīng)子系統(tǒng)控制時(shí)，在相應(yīng)的子區(qū)域有對(duì)應(yīng)的吸引子(包括穩(wěn)定與不穩(wěn)定的吸引子)，這里將此種吸引子定義為系統(tǒng)的名義平衡軌跡(Nominal Equilibrium Orbits, NEO)。

圖1 分段線性憶阻器的特性圖

圖2 (w, z)平面示意圖

3 分岔分析

式(3)對(duì)應(yīng)3個(gè)子系統(tǒng)相應(yīng)的Jacobi矩陣記為J—,J0和J+。由于系統(tǒng)向量場(chǎng)在分界面Σ: {x, y, z, w|w=±1}上的不連續(xù)，系統(tǒng)軌跡在穿越分界面時(shí)可能出現(xiàn)非光滑分岔，借助微分包含理論，引入輔助參數(shù)q(q∈[0, 1])，通過Clarke定義[28]得到廣義Jacobi矩陣

當(dāng)輔助參數(shù)q從0變化到1時(shí)，廣義Jacobi矩陣的特征值可以穿過分界面，引起兩種余維數(shù)為1的非光滑分岔，包含非光滑fold分岔(Non-Smooth Fold Bifurcation, NSFB)與非光滑Hopf分岔(Non-Smooth Hopf Bifurcation, NSHB)。

情況 2 α=7，類似地，可以計(jì)算子系統(tǒng)的Jacobi矩陣及其對(duì)應(yīng)的特征根為

在每一個(gè)子區(qū)域，系統(tǒng)受到該子區(qū)域的控制，則有相應(yīng)的名義平衡軌跡，記為NEO0和NEO±，可以發(fā)現(xiàn)在α=7時(shí)，子區(qū)域D0存在不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)，意味著系統(tǒng)軌跡在穿越該區(qū)域分界面時(shí)，可能會(huì)發(fā)生非光滑分岔，由于區(qū)域D—與D+對(duì)應(yīng)Jacobi矩陣相同，這里僅考慮穿越Σ—1:{x, y, z, w|w=—1}時(shí)的情況，引入輔助參數(shù)q，其對(duì)應(yīng)的特征方程為

一對(duì)純虛根的出現(xiàn)，意味著可能會(huì)產(chǎn)生Hopf分岔，通過計(jì)算可知為sup-Hopf分岔。

4 簇發(fā)振蕩及其機(jī)理

因?yàn)橹芷诩?lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率存在顯著量級(jí)差，系統(tǒng)存在兩時(shí)間尺度效應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)軌跡表現(xiàn)為大幅振蕩時(shí)，對(duì)應(yīng)激發(fā)態(tài)(SPiking state, SP)，當(dāng)軌跡表現(xiàn)為微幅振蕩或幾乎不振蕩時(shí)，對(duì)應(yīng)沉寂態(tài)(Quiescent State, QS)，系統(tǒng)軌跡在激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)之間相互轉(zhuǎn)遷時(shí)，便形成了簇發(fā)振蕩現(xiàn)象。考慮到參數(shù)α 的重要影響，分別在兩種參數(shù)情況下研究系統(tǒng)的簇發(fā)行為，即α=4(情況 1)與α=7(情況 2)，并選取適當(dāng)?shù)募?lì)幅值A(chǔ)，使系統(tǒng)軌跡能夠穿越分界面處斷層。需要指出的是，所有數(shù)值仿真結(jié)果都是基于4階Runge-Kutta算法。

情況 1 設(shè)定參數(shù)α=4，激勵(lì)幅值A(chǔ)=0.2，式(3)的(w, z)平面被分界面Σ:{x, y, z, w |w=±1}分成D0和D±3個(gè)區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域分別有對(duì)應(yīng)的子系統(tǒng)控制的穩(wěn)定的名義平衡軌跡NEO0和NEO±。

圖3給出了α=4時(shí)(w, z)平面的相圖，z的時(shí)序圖如圖4(a)所示。可以發(fā)現(xiàn)，在圖3中，(w, z)平面相圖被w=±1分成了4個(gè)部分，由4個(gè)沉寂態(tài)(Quiescent States, QSs)與4個(gè)激發(fā)態(tài)(SPiking states,SPs)組成，當(dāng)系統(tǒng)軌跡遇到非光滑分界面時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)突然躍遷到相應(yīng)的穩(wěn)定名義平衡軌跡上，出現(xiàn)激發(fā)態(tài)，然后逐漸收斂穩(wěn)定下來，形成沉寂態(tài)。在圖5中，(x, z)平面相圖出現(xiàn)類似渦卷的現(xiàn)象，是由系統(tǒng)軌跡在分界面處的4次躍遷后，逐漸收斂到相應(yīng)的穩(wěn)定NEOs形成。由圖4(a)的z時(shí)序圖可知，z的運(yùn)動(dòng)軌跡在分界面處的躍遷點(diǎn)在大幅振蕩和小幅振蕩之間交替進(jìn)行，圖4(b)為狀態(tài)變量z的局部放大圖，T1與T2為運(yùn)動(dòng)軌跡收斂到NEOs過程的振蕩周期。為了揭示簇發(fā)振蕩的形成機(jī)理，圖6把(w, z)平面相圖與系統(tǒng)NEO0, NEO±疊加在一起，3支NEOs分別在對(duì)應(yīng)子區(qū)域控制3個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖3 α=4時(shí)(w, z)平面相圖

圖4 (x, z)平面相圖

圖5 α=4時(shí)變量z的時(shí)序圖及局部放大圖

如圖6所示，假設(shè)軌跡從P1點(diǎn)出發(fā)，沿著NEO0進(jìn)行小幅振蕩并且逐漸穩(wěn)定在NEO0上形成QS1，因?yàn)樵谧訁^(qū)域D0中NEO0是穩(wěn)定吸引子，所以系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡能夠逐漸穩(wěn)定在NEO0上。當(dāng)軌跡運(yùn)動(dòng)到A1點(diǎn)時(shí)，即遇到非光滑分界面Σ—1:{x, y, z, w|w=—1}，由于在子區(qū)域D—中NEO—才是穩(wěn)定的吸引子，軌跡迅速躍遷到了NEO—上，形成了激發(fā)態(tài)SP1，隨后又逐漸穩(wěn)定到NEO—上形成沉寂態(tài)QS2，軌跡嚴(yán)格沿著NEO—運(yùn)動(dòng)一直到A3點(diǎn)。同樣地，在分界面w=—1處，軌跡迅速跳躍到子區(qū)域D0的穩(wěn)定NEO0上，形成了激發(fā)態(tài)SP2，然后振幅逐漸減小，最后收斂在NEO0上形成沉寂態(tài)QS3，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到了A4點(diǎn)，由于分界面w=1的作用，軌跡又迅速躍遷到NEO+上，形成了SP3，接著逐漸穩(wěn)定到NEO+，然后嚴(yán)格在NEO+上運(yùn)動(dòng)直到A2點(diǎn)，同樣在分界面Σ+1處發(fā)生穩(wěn)定性交換，軌跡跳躍到NEO0形成SP4，回到P1點(diǎn)，完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)。

圖6 α=4時(shí)(w, z)平面相圖與NEOs疊加圖

在頻率上，圖4(b)為SP2與SP3的局部放大圖，軌跡振蕩的頻率可以近似為子區(qū)域D0與D+對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)特征值共軛復(fù)根虛部的數(shù)值。由前面理論計(jì)算可知，子系統(tǒng)在D0與D+對(duì)應(yīng)的特征值分別為λ(0)=—0.204±j3.612, λ(+)=—0.126±j3.423, 可知SP2與SP3的振蕩頻率為ω1=3.612, ω2=3.423。由圖4(b)的數(shù)值仿真結(jié)果計(jì)算可知，T1=1.75,ω1N=2π/T1=3.590; T2=1.83, ω2N=2π/T2=3.433。

情況 2 設(shè)定參數(shù)α=7，激勵(lì)幅值A(chǔ)=0.2。由計(jì)算可知，在子區(qū)域D0的特征值為λ(0)=0.0189±j3.472，因此D0對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)控制的NEO0是不穩(wěn)定的，軌跡運(yùn)動(dòng)到子區(qū)域D0中，不會(huì)穩(wěn)定在該子區(qū)域?qū)?yīng)的NEO0上，軌跡在穿越非光滑分界面Σ:{x,y, z, w |w=±1}時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生非光滑分岔。通過前面理論推導(dǎo)，在q=0.984742時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生非光滑sup-Hopf分岔，形成周期振蕩。

圖7給出了α=7時(shí)，(w, z)平面的相圖，由于分界面Σ:{x, y, z, w |w=±1}的存在，系統(tǒng)軌跡由4個(gè)SP與2個(gè)QS組成，需要指出的是與圖3的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡是不同的分岔機(jī)理造成的。z的時(shí)序圖如圖8(a)所示，其局部放大圖如圖8(b)所示，由此可見，在分界面兩側(cè)的運(yùn)動(dòng)形式不同，振蕩的頻率也不相同，周期振蕩的產(chǎn)生與終止均是由非光滑sup-Hopf分岔形成的。圖9顯示了(x, z)平面的相圖，可以看到系統(tǒng)周期振蕩的軌跡。

圖7 α=7時(shí)(w, z)平面相圖

圖9 (x, z)平面相圖

圖8(b)可見，軌跡的SP分為左右兩邊不同的形態(tài)，振蕩的頻率也不相同，在子區(qū)域D0中NEO0是不穩(wěn)定的，軌跡在穿越分界面進(jìn)入子區(qū)域D0后開始周期振蕩，在穿出分界面進(jìn)入D+或D—后結(jié)束周期振蕩，振蕩幅值逐漸減小并緩慢穩(wěn)定在該子系統(tǒng)控制的穩(wěn)定NEO上。由前面理論計(jì)算可知，由非光滑sup-Hopf產(chǎn)生的特征根為λ(0)=±j3.4499，子區(qū)域D+對(duì)應(yīng)一組特征根為λ(+)=—0.175±j3.654 ，因此軌跡在D0和D+振蕩的頻率為ω3=3.4499,ω4=3.654，由圖8(b)的數(shù)值仿真計(jì)算得，T3=1.806, ω3N=2π/T3=3.479; T4=1.716, ω4N=2π/T4=3.662。

圖8 α=7時(shí)變量z的時(shí)序圖及局部放大圖

為了更詳細(xì)地揭示簇發(fā)振蕩形成的機(jī)理及分岔機(jī)制，圖10將α=7時(shí)(w, z)平面相圖與對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)控制的NEOs疊加在一起。依然假設(shè)系統(tǒng)軌跡從P1點(diǎn)出發(fā)，在子區(qū)域D—中該子系統(tǒng)控制的NEO—是穩(wěn)定吸引子。

圖10 α=7時(shí)(w, z)平面相圖與NEOs疊加圖

因此軌跡能逐漸收斂并穩(wěn)定下來，沿著NEO—移動(dòng)形成運(yùn)動(dòng)軌跡P1P2，直到遇到非光滑分界面Σ—1:{x, y, z, w |w=—1}上A3點(diǎn)，由于非光滑sup-Hopf分岔的產(chǎn)生，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡開始振蕩，形成SP2，因?yàn)樽訁^(qū)域D0對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)控制NEO0是不穩(wěn)定的，所以運(yùn)動(dòng)軌跡在進(jìn)入D0后并不會(huì)收斂到NEO0上，而是因非光滑sup-Hopf分岔產(chǎn)生周期振蕩，如P3點(diǎn)，其振蕩頻率數(shù)值上可以近似為特征根λ(0)=±j3.4499的虛部值。軌跡一直振蕩，直到遇到非光滑分界面Σ+1:{x, y, z, w |w=+1}上A4點(diǎn)，又因?yàn)楫a(chǎn)生非光滑sup-Hopf分岔，周期振蕩消失，隨著進(jìn)入子區(qū)域D+，由于D+中子系統(tǒng)控制的NEO+是穩(wěn)定的，運(yùn)動(dòng)軌跡逐漸收斂并穩(wěn)定在NEO+上，形成運(yùn)動(dòng)軌跡P4P5，如P4點(diǎn)，其振蕩頻率數(shù)值上可以近似為D+對(duì)應(yīng)特征根λ(+)=—0.175±j3.654的虛部值。系統(tǒng)軌跡沿著NEO+一直運(yùn)動(dòng)到A2點(diǎn)，同樣地，再次遇到非光滑分界面w=1，產(chǎn)生非光滑sup-Hopf分岔，進(jìn)入周期振蕩，振蕩隨著軌跡運(yùn)動(dòng)到w=—1的非光滑分界面上，在A1點(diǎn)產(chǎn)生的非光滑sup-Hopf分岔消失，然后系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)入子區(qū)域D—，隨之收斂到NEO—上到達(dá)P1點(diǎn)，完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)。

5 電路仿真

為了揭示分段線性憶阻系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，本文采用混沌電路的模塊化設(shè)計(jì)方法對(duì)式(3)在Multisim仿真電路中設(shè)計(jì)如圖11所示電路。運(yùn)算放大器采用TL082CD實(shí)現(xiàn)積分運(yùn)算與比例運(yùn)算，模擬乘法器采用AD633AN實(shí)現(xiàn)非線性項(xiàng)。所有的有源器件采用±15V供電。在系統(tǒng)參數(shù)α=7時(shí)，對(duì)式(3)的狀態(tài)方程作時(shí)間尺度變換，設(shè)時(shí)間尺度變換因子τ0=100，并且式(2)憶導(dǎo)模型用W(w)=[1/2sign(|w|—1)+3/2]代替，可得轉(zhuǎn)換后的方程為

圖11的電路能夠?qū)崿F(xiàn)式(3)的動(dòng)力學(xué)行為，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取β=14, e=1.2, γ=0.12, ω=0.01,A=0.2時(shí)，相應(yīng)的電路參數(shù)為

基于Multisim電路平臺(tái)，設(shè)計(jì)圖11所示電路，保持頻率f=ωτ0/2π=0.159 Hz與其他系統(tǒng)參數(shù)不變，改變參數(shù)α的值，得到α=7(情況 2)與α=4(情況 1)兩種參數(shù)條件下的不同簇發(fā)模式，圖12和圖13電路仿真結(jié)果與Matlab數(shù)值仿真結(jié)果一致。

圖11 分段線性憶阻系統(tǒng)簇發(fā)振蕩的電路原理圖

圖12 α=7時(shí)Multisim電路仿真圖

圖13 α=4時(shí)Multisim電路仿真圖

6 結(jié)束語(yǔ)

本文在一非自治系統(tǒng)中引入分段線性憶阻器模型與外部周期激勵(lì)項(xiàng)，當(dāng)周期激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，構(gòu)建了一種兩時(shí)間尺度的分段線性憶阻系統(tǒng)。由于分段線性憶阻模型的引入，原系統(tǒng)被分成不同的子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域有相應(yīng)的控制子系統(tǒng)，系統(tǒng)軌跡在穿越兩個(gè)子區(qū)域的非光滑分界面時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生特殊的動(dòng)力學(xué)行為?；贛atlab數(shù)值仿真與Multisim電路仿真，在不同的系統(tǒng)參數(shù)條件下，揭示了兩種不同的簇發(fā)模式；系統(tǒng)在激發(fā)態(tài)(SP)和沉寂態(tài)(QS)之間相互轉(zhuǎn)遷并不像連續(xù)系統(tǒng)一樣由系統(tǒng)固有分岔產(chǎn)生，而是在非光滑分界面處產(chǎn)生的非光滑分岔與臨界條件改變所形成。本文首次對(duì)分段線性憶阻系統(tǒng)的簇發(fā)動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究，揭示了兩種新的簇發(fā)模式與分岔機(jī)理，進(jìn)一步豐富了分段線性憶阻系統(tǒng)的簇發(fā)路徑。