李鑫華 段賽花

【摘 要】 隨著新課程改革的持續(xù)推進(jìn)，核心素養(yǎng)逐步成為當(dāng)前教育教學(xué)的重心內(nèi)容，教師在課堂教學(xué)中不僅要維護(hù)學(xué)生的主體地位，更要促進(jìn)學(xué)生各項(xiàng)素養(yǎng)的同步發(fā)展，以具備當(dāng)前素質(zhì)教育要求的品格與能力.本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)展開研究，探析在“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”課程教學(xué)中培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的教學(xué)思路與方案設(shè)計(jì)，并通過教學(xué)反思提出教學(xué)過程中的優(yōu)勢(shì)與不足，進(jìn)一步提升教師的教學(xué)水平.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)設(shè)計(jì);雙曲線

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》明確將數(shù)學(xué)定義為“研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”，數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象是圖形、數(shù)量及其關(guān)系，從現(xiàn)實(shí)世界的事物中總結(jié)出數(shù)學(xué)的規(guī)律、結(jié)構(gòu)、概念、本質(zhì)，并用數(shù)學(xué)語言對(duì)之表述，它是一種數(shù)學(xué)思維過程，也是一種非常重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).課程標(biāo)準(zhǔn)明確了數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)形式，即獲得數(shù)學(xué)概念及規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題與模型，形成數(shù)學(xué)思想和方法，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系.本文以“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，提出相應(yīng)路徑，以期促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升.

1 學(xué)情分析

“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課面向高二學(xué)生，從方法掌握方面分析，學(xué)生已經(jīng)具備了高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力，掌握了其中的規(guī)律要點(diǎn)，具有一定的空間想象、抽象概括以及推理運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但是學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象方面的思維能力還略顯淺薄，需要進(jìn)一步引導(dǎo)與訓(xùn)練.

2 教材分析

“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”在蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1的第二章第三節(jié)，在此課前學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，而雙曲線是學(xué)生學(xué)習(xí)的另一種圓錐曲線，基于學(xué)生對(duì)圓、橢圓等相關(guān)知識(shí)的了解，通過能力與理解遷移，可以幫助學(xué)生更輕松地掌握該課知識(shí)，獲得數(shù)學(xué)抽象能力的進(jìn)一步提升.

3 教學(xué)目標(biāo)

本課的教學(xué)目標(biāo)在于引導(dǎo)學(xué)生掌握并理解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等內(nèi)容，并能夠熟練運(yùn)用推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，具有一定的數(shù)學(xué)審美能力.

4 教學(xué)過程

4.1 通過創(chuàng)設(shè)情景，獲得數(shù)學(xué)概念

情境1 （利用多媒體播放圖片）花瓶、北京摩天大樓、巴西利亞大教堂、法拉利主題公園.引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖片，并提出問題：這些圖案中我們可以發(fā)現(xiàn)哪些幾何圖形呢？

學(xué)生：雙曲線.

情境2 （利用多媒體展示PPT）已知某地有A、B、C三個(gè)監(jiān)測(cè)站，A在B的正東方向，之間相距10km，而C在B的北偏西30°方向，之間距離為6km，而M為敵人堡壘，在某個(gè)時(shí)刻A收到了敵方的信號(hào)，6s后B和C兩地同時(shí)收到該信號(hào)，假設(shè)該信號(hào)的傳播速度為每秒一公里，那么請(qǐng)嘗試確定敵方碉堡的位置.

針對(duì)上述情境問題，學(xué)生采取畫圖的方式嘗試解決問題，假設(shè)AB在直線軸x上，取AB中點(diǎn)為原點(diǎn)設(shè)立坐標(biāo)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探尋M點(diǎn)位置的規(guī)律，并由教師引導(dǎo)提出當(dāng)|MB-MA|為固定值時(shí)，M會(huì)形成怎樣的曲線軌跡？利用幾何畫板演示其軌跡.

設(shè)計(jì)意圖 高中生雖然處于邏輯思維發(fā)展迅速的階段，但形象思維仍發(fā)揮著重要的作用，從具體形象的場(chǎng)景入手，有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和求知的動(dòng)機(jī).利用其他學(xué)科的資源設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生從大量的具體實(shí)例中抽取出一般的、概括性的知識(shí)，并讓學(xué)生嘗試用自己的語言去總結(jié)歸納共性的本質(zhì)知識(shí).學(xué)生通過親自操作獲得概念的過程，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程.

本環(huán)節(jié)通過兩個(gè)情境完成教學(xué)導(dǎo)入過程，情境一利用含有雙曲線的圖片引導(dǎo)學(xué)生從生活中的美學(xué)設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，進(jìn)而引入本課課程;情境二則利用虛擬的情境，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用畫圖的方式將抽象的問題形象化，不僅為探究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ)，而且對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有一定的培育作用.

4.2 應(yīng)用建構(gòu)理論，內(nèi)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

活動(dòng)1 （折紙）首先，準(zhǔn)備一張A4紙，在上面確定兩點(diǎn)分別為F1和F2，將F1作為圓心，以小于兩點(diǎn)之間的距離為半徑作一個(gè)圓，在圓上任意確定一點(diǎn)為P，通過折疊的方式，選擇一個(gè)點(diǎn)P1和F2重合，并將折痕繪出，確定為l1（如圖1）;

找到F1P1半徑所在直線并再次進(jìn)行折疊，該折痕與l1相交確定點(diǎn)M1.而后隨機(jī)確定點(diǎn)P2，P3，P4，P5，P6……并重復(fù)上述操作過程，由此便發(fā)現(xiàn)折痕逐步形成了兩條對(duì)稱的曲線（如圖2）.

由此引出雙曲線概念，并要求學(xué)生思考得到雙曲線的條件.

學(xué)生 ①在同一個(gè)平面內(nèi)②存在一個(gè)動(dòng)態(tài)的點(diǎn)③該動(dòng)態(tài)變化的點(diǎn)距離兩個(gè)固定點(diǎn)之間距離差的絕對(duì)值固定不變.

教師 根據(jù)上述條件，你能準(zhǔn)確得出一個(gè)雙曲線圖像嗎？

教師與學(xué)生共同展開研究，分別提出假設(shè)1|PF1-PF2|=F1F2和假設(shè)2|PF1-PF2|>F1F2，要求學(xué)生再次嘗試，并發(fā)現(xiàn)假設(shè)1形成兩條射線，假設(shè)2無法構(gòu)成圖形.由此得出完整的雙曲線定義.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)采取折紙游戲的方式展開活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生確定了雙曲線這一抽象概念的具體形態(tài)與基本構(gòu)成條件，并由此得出完整的定義.在該過程中，學(xué)生不僅具有濃厚的探索興趣，而且還能將抽象的定義形象化，可以有效深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解.

活動(dòng)2 （探究）

教師提問 根據(jù)上述所學(xué)內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn)，雙曲線與橢圓之間具有一定的相似關(guān)系，你們可以結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，提出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟嗎？

學(xué)生 ①構(gòu)建坐標(biāo)系，F(xiàn)1F2為x軸上兩點(diǎn)，且F1F2被y軸垂直平分.

②設(shè)點(diǎn)M（x，y）為雙曲線上任意一點(diǎn).

③根據(jù)等量關(guān)系列式：|MF1-MF2|=2a.

④代入等式：

（x+y）2+y2-（x-y）2+y2=2a（*）.

⑤化簡(jiǎn).

化簡(jiǎn)過程相對(duì)較難，采取小組合作的方式.小組1通過等式兩邊分別做平方后進(jìn)行化簡(jiǎn);小組2則選擇去掉絕對(duì)值符號(hào)，先轉(zhuǎn)化為±2a，在化簡(jiǎn)過程中再選擇等號(hào)兩端平方處理.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)采取思維遷移的方式展開，以橢圓方程的推導(dǎo)過程遷移到雙曲線之上，并在遇到困難時(shí)引導(dǎo)學(xué)生展開合作，不僅提升了學(xué)生解決問題的能力，而且促進(jìn)了思維的轉(zhuǎn)化與推導(dǎo)能力.

4.3 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，嘗試模型應(yīng)用

問題1 已知方程（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2），如何進(jìn)一步化簡(jiǎn)？

學(xué)生 結(jié)合橢圓、雙曲線定義可知：

2c>2a>0，

即：c>a>0，

所以：c2-a2>0，

設(shè)：c2-a2=b2（b>0），

代入后可得：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)公式講究簡(jiǎn)潔與對(duì)稱，在推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，學(xué)生得出的結(jié)果相對(duì)復(fù)雜，這時(shí)就需要挖掘新的潛藏條件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)公式的優(yōu)化，這對(duì)學(xué)生的邏輯推理以及數(shù)據(jù)分析能力有著重要的輔助效果.

問題2 判斷下列雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算其中的a，b，c值.

（1）x225-y216=1. （2）y225-x216=1.

（3）4x2-9y2=36. （4）4x2-9y2=-36.

學(xué)生 將方程化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，進(jìn)而得出所求內(nèi)容.

問題3 如何根據(jù)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)所在軸？

學(xué)生 同樣將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，系數(shù)為正的變量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸為焦點(diǎn)所在軸.

設(shè)計(jì)意圖 問題二主要考察學(xué)生對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程要素的掌握能力，問題三考察學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形之間對(duì)應(yīng)的特征關(guān)系，可以強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)抽象思維.

4.4 基于深度學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)思想

思考題 通過這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？仔細(xì)說說你的收獲.

設(shè)計(jì)意圖 利用開放性的總結(jié)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)不同層次的學(xué)生依次回答，由基礎(chǔ)層學(xué)生開始，從雙曲線的概念與定義、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方式，逐步深化細(xì)化到優(yōu)秀學(xué)生層次，提出方程化簡(jiǎn)的技巧、類比、數(shù)形結(jié)合等各種思想與要素，通過這樣的過程，完善學(xué)生核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.

5 教學(xué)反思

根據(jù)本課的教學(xué)設(shè)計(jì)過程，總結(jié)了三點(diǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)：第一，要精心設(shè)計(jì)問題.在該課程教學(xué)的設(shè)計(jì)中，問題是每一個(gè)環(huán)節(jié)之間相互聯(lián)系的關(guān)鍵要素，通過問題層層推進(jìn)，不僅強(qiáng)化了學(xué)生的思維能力，而且從開始的觀察、比較，到后來的發(fā)現(xiàn)問題、提出質(zhì)疑，以及最后的分析并解決問題，學(xué)生的思維能力得到了快速成長(zhǎng)，而且針對(duì)雙曲線這一抽象概念的理解不斷深化，這就是問題引導(dǎo)下的教學(xué)成果;第二，要促進(jìn)學(xué)生的自主形成.在本課教學(xué)設(shè)計(jì)中，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程主要由學(xué)生獨(dú)立完成，既沒有讓教師給出答案，也沒有過分限制學(xué)生的推導(dǎo)方式，僅僅通過問題引導(dǎo)與啟發(fā)，幫助學(xué)生搭建起思維的骨架，進(jìn)而通過“經(jīng)歷、發(fā)現(xiàn)、解答”的過程完成學(xué)習(xí)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思維的升華;第三，要巧妙滲透數(shù)學(xué)思想.這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)鍵要素，在問題設(shè)計(jì)的過程中，需要融入遷移、對(duì)比、推理、數(shù)形結(jié)合等各種思想的運(yùn)用環(huán)境，幫助學(xué)生面對(duì)抽象問題時(shí)找到關(guān)鍵要素，并得以有效解決.

對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)，首先可以通過創(chuàng)設(shè)情景，獲得數(shù)學(xué)概念.將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活建立了關(guān)聯(lián)，這種生動(dòng)形象的情境創(chuàng)設(shè)，容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使他們更自主地建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，喚起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，或改變?cè)姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)，以同化或順應(yīng)當(dāng)前新知識(shí)，完成對(duì)事物本質(zhì)屬性即概念的清晰牢固的認(rèn)知與構(gòu)建.其次可以應(yīng)用建構(gòu)理論，內(nèi)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

教師要以學(xué)生為中心，采用“問題解決”的教學(xué)模式，具體程序?yàn)椋孩偬岢鰡栴}.引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而提出有障礙性和探索性的問題.②分析問題.采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生討論交流，開展自主性探究活動(dòng).③解決問題.教師引導(dǎo)學(xué)生實(shí)地解決問題.最后是認(rèn)知升華階段.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題解決的全過程進(jìn)行總結(jié)分析提煉，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).再者可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，嘗試模型應(yīng)用.在數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的能力不斷得到提升.最后基于深度學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)思想.

綜上所述，在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形成過程為核心，引導(dǎo)學(xué)生在推導(dǎo)過程中不斷深化數(shù)學(xué)思想，并真正具備數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，能夠在潛移默化中建立數(shù)學(xué)眼光與抽象認(rèn)知，達(dá)到高效教學(xué)的目的.

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